高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市2024屆高三下學(xué)期第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試題（理）第I卷（選擇題）一?選擇題1.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，所以.故選：.2.命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗由命題“，”，可知其否定為“，”，故選：C.3.如圖，已知集合，則陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，，即陰影部分表示的集合為，故選：B.4.對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖1；對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點(diǎn)圖2.表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（）A.變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 B.變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且C.變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 D.變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且〖答案〗C〖解析〗由題意可知，變量的散點(diǎn)圖中，隨的增大而增大，所以變量與呈現(xiàn)正相關(guān)；再分別觀察兩個散點(diǎn)圖，圖比圖點(diǎn)更加集中，相關(guān)性更好，所以線性相關(guān)系數(shù).故選：C.5.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，，則，所以有，，所以.故選：A.6.已知函數(shù)的值域為．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，因為函數(shù)的值域為滿足，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)的最小值小于或等于零；若時，依題意有的最小值，即，若時，不符合題意；綜上：，故選：B.7.筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具，唐陳廷章《水輪賦》：“水能利物，輪乃曲成.升降滿農(nóng)夫之用，低徊隨匠氏之程.始崩騰以電散，俄宛轉(zhuǎn)以風(fēng)生.雖破浪于川湄，善行無跡；既斡流于波面，終夜有聲.”如圖，一個半徑為4的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)一圈，筒車的軸心O距離水面的高度為.在筒車轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，盛水筒P距離水面的高度不低于的時間為（）A.9秒 B.12秒 C.15秒 D.20秒〖答案〗D〖解析〗假設(shè)所在直線垂直于水面，且米，如下示意圖，由已知可得，所以，處劣弧時高度不低于米，轉(zhuǎn)動的角速度為/每秒，所以水筒P距離水面的高度不低于的時間為秒，故選：D.8.現(xiàn)有四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，用四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進(jìn)行著色，每個部分都有4種涂色方法，則有種涂色方法；若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，有兩種情況：①只用三種顏色涂這5個區(qū)域，則有種涂色方法；②用四種顏色涂這5個區(qū)域，則有種涂色方法，所以若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，共有144種涂色方法，故四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為.故選：C.9.已知向量是平面內(nèi)的一組基向量，為內(nèi)的定點(diǎn)，對于內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)時，稱有序?qū)崝?shù)對為點(diǎn)的廣義坐標(biāo)．若點(diǎn)的廣義坐標(biāo)分別為，則“"是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意得：，.因為，所以，則，即因為向量是平面內(nèi)的一組基向量，所以.故“"是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.10.已知點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，若到軸與軸的距離之和的范圍是，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限或軸正半軸上，由題意，，結(jié)合橢圓性質(zhì)有且，其中；所以，解得，橢圓的離心率為.故選：D.11.在所有棱長均相等的直四棱柱中，，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動．當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡長度為，則該四棱柱的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)棱長為，延長，過點(diǎn)作垂直于的延長線于，由，可得；由直四棱柱的性質(zhì)可得，平面，所以；因為，所以.在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓夾在四邊形內(nèi)的部分,即圖中圓弧.因為，所以，因為點(diǎn)的軌跡長度為，所以，即.四棱柱的表面積為.故選：A.12.已知是拋物線上任意一點(diǎn)，若過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為，，則劣弧長度的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示，當(dāng)劣弧長度的最小時，最小，即最小，即最大，即取的最小值，設(shè)，則，則，當(dāng)時，取最小值為，即，即，，即，即劣弧長度的最小值為，故選：D.第Ⅱ卷：（非選擇題）二?填空題13.一個幾何體的三視圖的正視圖是三角形，則這個幾何體可以是___________.（寫出一個你認(rèn)為正確的〖答案〗即可）〖答案〗三棱柱（〖答案〗不唯一）〖解析〗由三視圖可知，正視圖是三角形的幾何體可以是三棱柱，三棱錐，圓錐等.故〖答案〗為：三棱柱（〖答案〗不唯一）14.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞增，不等式，即，等價于，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：15.平面四邊形中，，則的最大值為__________．〖答案〗4〖解析〗如圖所示，因為，設(shè)，且，在中，可得，即，可得，在中，可得，所以，當(dāng)時，即時，取得最大值，最大值為，所以的最大值為.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)．給出下列四個結(jié)論：①；②存在，使得；③對于任意的，都有；④對于任意的，都有．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．〖答案〗②③④〖解析〗因，所以，，因為，，所以，故①錯誤；若，則，即，，即，令，因為，所以存在，使得，即，所以存在，使得，故②正確，因為，因為在上單調(diào)遞減，所以也單調(diào)遞減，所以，，因為在上單調(diào)遞增，所以也單調(diào)遞增，所以，即，即對于任意的，都有，故③正確；由②可知，存在，使得，結(jié)合③可知當(dāng)，，，即，可知當(dāng)，，，即，因為，，得，即，當(dāng)，有，因為，所以，所以，所以，即，當(dāng)，有，因為，所以，所以，即，所以對于任意，都有，故④正確.故〖答案〗為：②③④.三?解答題17.記.（1）當(dāng)時，為數(shù)列的前項和，求的通項公式；（2）記是的導(dǎo)函數(shù)，求.解：（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，.又當(dāng)時，不滿足上式，所以（2）①②①-②得，18.某省舉辦了一次高三年級化學(xué)模擬考試，其中甲市有10000名學(xué)生參考．根據(jù)經(jīng)驗，該省及各市本次模擬考試成績（滿分100分）都近似服從正態(tài)分布．（1）已知本次模擬考試甲市平均成績?yōu)?5分，87分以上共有228人．甲市學(xué)生的成績?yōu)?6分，試估計學(xué)生在甲市的大致名次；（2）在該省本次模擬考試的參考學(xué)生中隨機(jī)抽取40人，記表示在本次考試中化學(xué)成績在之外的人數(shù)，求的概率及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：參考公式：若，有，解：（1）已知本次模擬考試成績都近似服從正態(tài)分布，由題意可得．即，解得．甲市學(xué)生在該次考試中成績?yōu)?6分，且，又，即．學(xué)生在甲市本次考試的大致名次為1587名．（2）在本次考試中，抽取1名化學(xué)成績在之內(nèi)的概率為0.9974．抽取1名化學(xué)成績在之外概率為0.0026．隨機(jī)變量服從二項分布，即．．的數(shù)學(xué)期望為．19.如圖，在正四面體中，是棱的兩個三等分點(diǎn)．（1）證明：；（2）求出二面角的平面角中最大角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接．四面體為正四面體，為正三角形．又為的中點(diǎn)，．同理可得．平面，平面．又平面．（2）解：取的中點(diǎn)為，連接，設(shè)．由（1）得平面．平面．為二面角的平面角，為二面角的平面角，為二面角的平面角．由圖形對稱性可判斷．易得．在中，．在中，．同理可得．．．二面角的平面角最大，其余弦值等于．20.已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為.過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，且直線的斜率之積為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線分別與直線相交于兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).（1）解：設(shè)，，，在雙曲線上，，解得，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：設(shè)，直線，由，消去得，，，直線，令，解得，同理可得，以為直徑的圓的方程為，令，得，，，解得或，以為直徑的圓恒過點(diǎn).21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，判斷的零點(diǎn)個數(shù)并說明理由；（2）若存在，使得當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，．，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．由，，使得．當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．又，有兩個零點(diǎn)．（2）存在，使得當(dāng)時，，即存在，使得當(dāng)時，．設(shè)．（i）當(dāng)時，設(shè)．．在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞增．又，在上恒成立．．當(dāng)時，．取，當(dāng)時，恒成立．當(dāng)時滿足題意．（ii）當(dāng)時，設(shè)．．在上恒成立，在上單調(diào)遞增．又在上恒成立．設(shè)．在上恒成立，在上單調(diào)遞減．又在上恒成立．故恒成立，不合題意．綜上，的取值范圍為．請考生在第22，23題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若為曲線上任意一點(diǎn)，將逆時針旋轉(zhuǎn)得到，求線段中點(diǎn)的軌