高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省日照市2024屆高三上學(xué)期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選:A.2.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?,所以,則.故選：A.3.若無窮等差數(shù)列的公差為，則“”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，，，真命題，即充分行成立；若，則，但，所以，當(dāng)，時(shí)，假命題，必要性不成立.故選：A.4.實(shí)數(shù)滿足，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，即，所以；由，得，因?yàn)椋?，即；綜上，.故選：D.5.在平行四邊形ABCD中，，則（）A.2 B. C. D.4〖答案〗A〖解析〗在平行四邊形ABCD中，如圖所示：因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，即，，,因?yàn)?，所以，因此?故選：A.6.設(shè)A，B為兩個(gè)事件，已知，，，則（）A.0.3 B.0.4C.0.5 D.0.6〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，，則，則，解可得：．故選：B．7.如圖，已知圓柱的斜截面是一個(gè)橢圓，該橢圓的長軸AC為圓柱的軸截面對(duì)角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個(gè)周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖像的一部分，且其對(duì)應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)圖像的一部分，可得，且，所以圓柱的底面直徑，設(shè)橢圓長軸長為2a，短軸長為2b，因?yàn)殡x心率為，可得，所以，由勾股定理得，解得.故選：A.8.設(shè)體積相等的正方體、正四面體和球的表面積分別為，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令正方體、正四面體和球的體積為1，設(shè)正方體的棱長為，則，解得，表面積，設(shè)正四面體的棱長為，則正四面體底面正三角形的外接圓半徑，正四面體的高，體積，解得，表面積，設(shè)球半徑為，則，解得，表面積，所以.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題9.設(shè)為復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，不妨取，則，但，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，解得，D錯(cuò).故選：AC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱D.函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增〖答案〗ACD〖解析〗由圖可知：,且,故，，故，，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD11.數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，那么當(dāng)比較大時(shí)，近似服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為.任意正態(tài)分布，可通過變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.隨機(jī)變量，當(dāng)減小，增大時(shí)，概率保持不變D.隨機(jī)變量，當(dāng)都增大時(shí)，概率增大〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得：，即，故A不正確；對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的準(zhǔn)則，在正態(tài)分布中代表標(biāo)準(zhǔn)差，代表均值,即為圖象的對(duì)稱軸，根據(jù)原則可知數(shù)值分布在的概率是常數(shù)，故由可知，C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.12.在平面四邊形中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，的面積是面積的3倍，又?jǐn)?shù)列滿足，恒有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則（）A.為等比數(shù)列 B.C.為等差數(shù)列 D.〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)交于E點(diǎn)，則，即，故，由于三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)，使得，即得，故，整理得，即，則，即而，故為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，C正確；則，故，故，B正確；又常數(shù)，故不為等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；，故，則，故，D正確，故選：BCD三?填空題13.的展開式中的系數(shù)是___________.〖答案〗40〖解析〗因?yàn)?，所以的展開式中的系數(shù)是40.故〖答案〗為：4014.已知雙曲線的一條漸近線為，則的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)的半焦距為，由題意知，所以，故〖答案〗為：.15.已知平面截一球面得圓，過圓心且與成二面角的平面截該球面得圓.若該球面的半徑為4，圓的面積為，則圓的面積為______〖答案〗〖解析〗如圖所示，由圓的面積為知球心到圓的距離，在中，，∴，故圓半徑，∴圓的面積為.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)的圖象上存在三個(gè)不同的點(diǎn)，使得曲線在三點(diǎn)處的切線重合，則此切線的方程為_______.（寫出符合要求的一條切線即可）〖答案〗（或）〖解析〗設(shè)存在三個(gè)不同點(diǎn)在曲線上，則，且互不相同，由題可得，，故在的切線方程分別為：，，，根據(jù)題意可得由①可知，，由②，令，則，即，平方可得，，即，由于互不相同，則，則可得，故，則，由此可得其切線方程為：，故〖答案〗為：（或）四?解答題17.記的三個(gè)內(nèi)角分別為，，.其對(duì)邊分別為，，,若，的面積為.（1）求；（2）若，求.解：（1）由余弦定理知：在中，，，即又，即.（2）由（1）知，則角為銳角.，.由正弦定理知：，則，..又，，.18.已知個(gè)正數(shù)排成行列，表示第行第列的數(shù)，其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且公比都為.已知.（1）求公比；（2）記第行的數(shù)所成的等差數(shù)列的公差為，把所構(gòu)成的數(shù)列記作數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題意知成等差數(shù)列，其公差為，，又成等比數(shù)列，且，公比，由于，故；（2）結(jié)合（1）問，由，公差為，所以，而，故，所以；又，所以，由于為等差數(shù)列，公差為，所以，即，所以.19.隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，社會(huì)對(duì)高素質(zhì)人才的需求不斷擴(kuò)大，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2021年的考研人數(shù)是377萬人，2022年考研人數(shù)是457萬人.某省統(tǒng)計(jì)了該省其中四所大學(xué)2023年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：

A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)2023年畢業(yè)人數(shù)（千人）87542023年考研人數(shù)（千人）0.60.40.30.3（1）已知與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）假設(shè)該省對(duì)選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放0.6萬元的補(bǔ)貼，若大學(xué)的畢業(yè)生中小江?小沈選擇考研的概率分別為，該省對(duì)小江?小沈兩人的考研補(bǔ)貼總金額的期望不超過0.75萬元，求的取值范圍.參考公式：.解：（1）由題意得，又，，，，所以，故得關(guān)于的線性回歸方程為；（2）設(shè)小江?小沈兩人中選擇考研的人數(shù)為，則的所有可能值為，，，，，則，可得，又因?yàn)?，可得，?20.如圖，在直角梯形中，.現(xiàn)將沿對(duì)角線翻折到，使平面平面.若平面平面，平面平面，直線與確定的平面為平面.（1）證明：；（2）求平面與平面所成角余弦值.（1）證明：在直角梯形中，因?yàn)?，又平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面，所?（2）解：設(shè)，連接，則直線為直線，由（1）知，由題意知，取的中點(diǎn)，連接，則因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面所以平面取的中點(diǎn)，連接，則四邊形為正方形，連接，則所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則所以，取，得設(shè)平面的法向量為，則所以，取，得所以.所以平面與平面所成角的余弦值為.21.已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，求證：.（1）解：由題意知，，令，得，又因?yàn)?，則，，①當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，所以此時(shí)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，有，令得：，所以在和上單調(diào)遞增，令得：，所以在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，有，令得：，所以在和上單調(diào)遞增，令得：，所以在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）解：由題意知在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，即存在唯一的，使得，即得，若要證明，則只需證明，即只需證明即可，不妨設(shè)，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，有不等式成立，綜上所述：若在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則.22.已知橢圓，其上焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.若過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，同時(shí)交拋物線于點(diǎn)（如圖1所示，點(diǎn)在橢圓與拋物線第一象限交點(diǎn)下方）.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并證明；（2）過點(diǎn)與直線垂直的直線交拋物線于點(diǎn)（如圖2所示），試求四邊形面積的最小值.解：（1）設(shè)拋物線的方程為，由橢圓得：，則，故拋物線的