第五講橢圓知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點(diǎn)一橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的_________________________________的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的________，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的________.注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c為常數(shù)，則有如下結(jié)論：(1)若a＞c，則集合P為________；(2)若a＝c，則集合P為______________；(3)若a＜c，則集合P為________.距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)

焦點(diǎn)焦距橢圓線段F1F2空集知識點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)2a2b2cc2＝a2－b2歸

納

拓

展1．a(chǎn)＋c與a－c分別為橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值和最小值；a與b分別為橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值和最小值．雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(

)(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(

)(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(

)××√√題組二走進(jìn)教材2．(選擇性必修1P115T6)如圖所示，A是圓O內(nèi)一定點(diǎn)，B是圓周上一個動點(diǎn)，AB的中垂線CD與OB交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的軌跡是(

)A．圓

B．橢圓C．雙曲線

D．拋物線[解析]

由題意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r為圓的半徑)且r>|OA|，故E的軌跡為以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓，故選B.B3．(多選題)(選擇性必修1P115T4)長軸長是短軸長的3倍；且經(jīng)過點(diǎn)P(3,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)AD題組三走向高考AC第一課時考點(diǎn)突破·互動探究橢圓的定義及應(yīng)用——自主練透1.過點(diǎn)A(2,0)且與圓x2＋y2＋4x－32＝0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程為______________.[解析]

將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x＋2)2＋y2＝36，圓心B(－2,0)，r＝6，設(shè)動圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，動圓與已知圓的切點(diǎn)為C.則|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝6>4＝|AB|，2．已知F1、F2分別是橢圓5x2＋9y2＝45的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上的動點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的最大值為______，若A(1,1)，則|PA|＋|PF1|的取值范圍為______________________.93[引申]本例2中，若將“A(1,1)”改為“A(2,2)”，則|PF1|－|PA|的最大值為______，|PF1|＋|PA|的最大值為______.[解析]

∵|PF2|＋|PA|≥|AF2|＝2(P在線段AF2上時取等號)，∴|PF1|－|PA|＝6－(|PF2|＋|PA|)≤4，∵|PA|－|PF2|≤|AF2|＝2，(當(dāng)P在AF2延長線上時取等號)，∴|PF1|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|≤8.48名師點(diǎn)撥：1．橢圓定義的應(yīng)用范圍(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓．(2)解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題．2．焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過整體代入可求其面積等．【變式訓(xùn)練】D橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程——師生共研BD[引申]若將本例3中“離心率”改為“焦點(diǎn)”，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________________.名師點(diǎn)撥：1．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件．2．用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟：(1)作判斷：根據(jù)條件判斷焦點(diǎn)的位置；(2)設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置，設(shè)相應(yīng)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．焦點(diǎn)不確定時，要注意分類討論，或設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)；(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，c或m，n的方程組；(4)求解，得方程．可概括為先“定位”，再“定量”．【變式訓(xùn)練】A．若1<t<3，則C為橢圓B．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則2<t<3C．曲線C可能是圓D．若C為雙曲線，則t<1BCB橢圓的幾何性質(zhì)——多維探究角度1橢圓焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、焦距、長軸、短軸D名師點(diǎn)撥：研究橢圓幾何性質(zhì)的步驟(1)將所給方程化成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上．(3)準(zhǔn)確求出a，b進(jìn)而求出橢圓的其他特征值．角度2求橢圓離心率的值BCB名師點(diǎn)撥：求橢圓離心率的方法(2)由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．注意e∈(0,1)．(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．角度3求橢圓離心率的取值范圍B名師點(diǎn)撥：求橢圓離心率取值范圍的方法一般借助幾何量的取值范圍(如|x|≤a，|y|≤b,0<e<1)建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系求解，或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系求解，遇直線與橢圓位置關(guān)系通常由直線與橢圓方程聯(lián)立所得方程判別式Δ的符號求解．【變