1定積分的概念及性質(zhì)2微積分基本公式3定積分的計(jì)算4廣義積分5定積分的應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念及性質(zhì)3一、定積分問題舉例曲邊梯形的面積：設(shè)函數(shù)y=f(x)

在區(qū)間[a,b]

上連續(xù)，且f(x)≥0，則稱由直線x=a，x=b，y=0及曲線y=f(x)所圍成的平面圖形為曲邊梯形。其中曲線弧稱為曲邊，x軸上對應(yīng)區(qū)間[a,b]的線段稱為底邊。y=f(x)Oyab

x在矩形的面積公式，矩形的高是不變的，而曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高f(x)

在區(qū)間[a,b]上是變動的，因此它的面積不能直接計(jì)算。但是，由于曲邊梯形的高f(x)

在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)變化的，所以在一個很小的區(qū)間上它的變化很小，近似于不變。4一、定積分問題舉例所以可把該曲邊梯形沿著軸方向切割成許多窄窄的長條（小曲邊梯形）。Oyabxy=f(x)

把每個小曲邊梯形近似看作一個小矩形，用小矩形面積作為小曲邊梯形面積的近似值，所有小矩形面積之和就是曲邊梯形面積的近似值。

5一、定積分問題舉例abx

y=f(x)yO

分割越細(xì)，誤差越小。

當(dāng)所有的小矩形寬度趨于零時，這個階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了。確定曲邊梯形面積的具體步驟如下：（1）分割用分點(diǎn)把區(qū)間[a,b]任意分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度記為。設(shè)S為曲邊梯形的面積，為第i個小曲邊梯形的面積，則6一、定積分問題舉例（2）取近似（3）求和把n個小矩形面積相加（即階梯形面積）就得到曲邊梯形面積S的近似值在每個小區(qū)間上任取一點(diǎn)，以為底，為高作矩形，其面積為，則得小曲邊梯形的面積的近似值為7一、定積分問題舉例（4）取極限取小區(qū)間長度的最大值，當(dāng)分點(diǎn)數(shù)n無限增大，即

趨于零時，近似的誤差趨向于零，則和式的極限就是曲邊梯形面積S的精確值，即8二、定積分的定義從上述具體問題可以看出，通過“分割、取近似、求和、取極限”的方法可以把曲邊梯形的面積轉(zhuǎn)化為和式的極限。這就是定積分概念的實(shí)際背景，單從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上來考慮問題，就可以抽象出定積分的定義。定義

設(shè)函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上有定義，在區(qū)間[a,b]上任意插入n–1個分點(diǎn)，將區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，，……，記每個小區(qū)間的長度為（）。在每個小區(qū)間上任取一點(diǎn)（），作乘積的和式：9二、定積分的定義記，如果時，和S總是趨向于確定的極限，且這個極限值與[a,b]的分割及點(diǎn)的取法均無關(guān)，則稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上可積，此極限值稱為函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作，即其中f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，[a,b]稱為積分區(qū)間，a稱為積分下限，b稱為積分上限。10二、定積分的定義定積分的定義：積分號被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和式積分下限積分上限（黎曼和）11二、定積分的定義（1）定積分表示一個數(shù)，它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量采用什么字母無關(guān)，即定積分定義的說明：（2）定義中要求積分限a<

b，我們補(bǔ)充如下規(guī)定：當(dāng)a=

b時，；當(dāng)a>

b時，。（3）定積分的存在性（兩個充分條件）定理

設(shè)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。定義

設(shè)f(x)

在區(qū)間[a,b]上有界且只有有限個間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。12三、定積分的幾何意義Oyabxy=f(x)由定積分的定義可以知道，圖中曲邊梯形的面積為：可見，當(dāng)f(x)≥0時，由曲線y=f(x)，直線

x=a，x=b及x

軸所圍成的曲邊梯形的面積A

等于函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上的定積分。即13三、定積分的幾何意義如果

f(x)<0，則由曲線y=f(x)，直線

x=a，x=b及x

軸所圍成的曲邊梯形位于x

軸的下方，此時曲邊梯形面積A

的負(fù)值等于函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上的定積分，Oyabxy=f(x)即14三、定積分的幾何意義如果f(x)

在區(qū)間[a,b]上的值有正有負(fù)，則f(x)

在區(qū)間[a,b]上定積分表示由曲線y=f(x)，直線

x=a，x=b及x

軸所圍成的平面圖形的面積的代數(shù)和，即位于

x

軸上方的面積減去位于x軸下方的面積，即x

yO

y=f(x)A2A1A315四、定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1

函數(shù)的和（差）的定積分等于它們定積分的和（差），即

性質(zhì)2

被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即顯然，這個性質(zhì)可以推廣到有限個函數(shù)。這兩個性質(zhì)是定積分的線性性質(zhì)。16四、定積分的性質(zhì)

性質(zhì)3（積分區(qū)間的可加性）如果將積分區(qū)間分成兩部分，則整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即設(shè)a

<c<b，則

注：值得注意的是不論a，b，c的相對位置如何，上面的等式總成立。

如右圖所示，a<c<b

時，等式同樣成立。17四、定積分的性質(zhì)例6-1已知

，求

性質(zhì)4

如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≡1，則y1Oa

b

x解

因?yàn)樗?8四、定積分的性質(zhì)

性質(zhì)5（積分的比較性質(zhì)）如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥g(x)，則yOa

b

xy

a

b

O

xyOa

b

x19四、定積分的性質(zhì)

性質(zhì)6（奇偶函數(shù)的定積分）如果f(x)

在區(qū)間[–a

,a]上連續(xù)且為奇函數(shù)，則如果f(x)

在區(qū)間[–a,a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則－aOaxy－aOaxy例6-220四、定積分的性質(zhì)

性質(zhì)7（積分估值定理）設(shè)M

與m

分別是f(x)

在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值，則即yMmOa

b

xy=f(x)21四、定積分的性質(zhì)

性質(zhì)8（積分中值定理）如果函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈[a,b]，使得這個公式稱為積分中值公式。積分中值定理的幾何意義：曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為f(ξ

)的一個矩形的面積。由積分中值公式所可得Oaxbxyf

(x)y=f(x)這個公式稱為函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上的平均值。第二節(jié)微積分基本公式23一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在上一節(jié)我們看到，如果直接根據(jù)定積分的定義計(jì)算定積分，一般來說是很復(fù)雜的，甚至是不可能的。因此有必要尋求一種計(jì)算定積分的簡便而有效的方法。設(shè)函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x

為區(qū)間[a,b]上的一點(diǎn)。由于

x∈[a

,

b]，f(x)

在[a,x]上仍連續(xù)，因此定積分存在。這個定積分的寫法有一個不方便之處，就是

x

既表示積分上限，又表示積分變量。24一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)為避免混淆，我們把積分變量改寫成t，于是這個積分就寫成了

如果上限x

在區(qū)間[a,b]上任意變動，則對于每一個取定的x

值，定積分就有一個對應(yīng)的值，因此是積分上限

x

的一個函數(shù)，記作通常稱之為積分上限的函數(shù)或變上限定積分。25一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

定理（原函數(shù)存在定理）若函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在[a,b]上可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)

定理若函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)就是它一個原函數(shù)。

該定理既肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在，又揭示了定積分與原函數(shù)的關(guān)系。26一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)例6-3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）解（1）（2）27一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)例6-4求解這是一個型的未定式，可利用洛必達(dá)法則來計(jì)算，分子的導(dǎo)數(shù)為：因此28二、微積分基本公式

定理如果函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，而F(x)

是f(x)

的一個原函數(shù)，則有上式稱為牛頓—萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式。該公式常采用如下的格式：或29二、微積分基本公式牛頓—萊布尼茨公式是積分學(xué)中的一個基本公式，在被積函數(shù)連續(xù)的條件下，它把定積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的計(jì)算，這就為定積分提供了一個有效而簡便的計(jì)算方法：

先求出被積函數(shù)f(x)

的任意一個原函數(shù)F(x)，然后將積分上限b、積分下限a

分別代入原函數(shù)F(x)

中，再求F(b)與F(a)之差F(b)–

F(a)，所得的結(jié)果就是定積分的值。它揭示了定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系。30二、微積分基本公式例6-5計(jì)算定積分解例6-6計(jì)算定積分解例6-7計(jì)算定積分解31二、微積分基本公式

如果被積函數(shù)是分段函數(shù)，在計(jì)算時就要注意在積分區(qū)間上保證函數(shù)表達(dá)式的唯一性。例6-8計(jì)算解32二、微積分基本公式例6-9計(jì)算解33二、微積分基本公式例6-10已知，求解第三節(jié)定積分的計(jì)算35一、定積分的湊微分法

由牛頓-萊布尼茨公式可知，計(jì)算連續(xù)函數(shù)的定積分最終歸結(jié)為求它的原函數(shù)。這說明連續(xù)函數(shù)的定積分計(jì)算與不定積分計(jì)算有著密切的聯(lián)系。在不定積分的計(jì)算中有換元法和分部積分法，因此在一定條件下也可以在定積分的計(jì)算中應(yīng)用。

若應(yīng)用第一類換元積分法（即湊微分法）可以求出被積函數(shù)的原函數(shù)，即可直接湊微分求出原函數(shù)，然后應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式求出結(jié)果。36一、定積分的湊微分法例6-11計(jì)算定積分解例6-12計(jì)算定積分解37二、定積分的換元積分法

定理設(shè)函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，而函數(shù)x=φ(t)滿足下列條件：（1）x=φ(t)在[α,

β]（或[β,α]）上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（2）φ(α)=a，φ(β)=b，且當(dāng)t

在[α,

β]（或[β,α]）上變化時，x=φ(t)的值在[a,b]上單調(diào)變化，則有換元公式：定理中的條件是為了保證兩端的被積函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，從而可積。應(yīng)用公式計(jì)算時應(yīng)注意，在做變量代換的同時必須相應(yīng)地替換積分的上限和下限，即換元必須換限。38二、定積分的換元積分法例6-13計(jì)算解設(shè)，即，則dx=tdt；并且當(dāng)x=0時t=1，x=4時t=3，于是39二、定積分的換元積分法例6-14計(jì)算解設(shè)，即，則dx=–2tdt；并且當(dāng)x=0時t=1，

時

，于是40二、定積分的換元積分法例6-15計(jì)算解設(shè)，即，則

；并且當(dāng)x=0時t=0，x=ln2時t=1，于是41三、定積分的分部積分法

定理設(shè)函數(shù)u(x)，v(x)

在區(qū)間[a,b]有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有使用該公式時要注意，把先積出來的那一部分代上下限求值，余下的部分繼續(xù)積分。這樣做比完全把原函數(shù)求出來再代上下限簡便一些。這就是定積分的分部積分公式。例6-16計(jì)算解42三、定積分的分部積分法例6-17計(jì)算解43三、定積分的分部積分法例6-18計(jì)算解44三、定積分的分部積分法例6-19計(jì)算解45三、定積分的分部積分法例6-20計(jì)算解46三、定積分的分部積分法例6-21計(jì)算解設(shè)，即，則

；并且當(dāng)x=0時t=0，x=4時t=2，于是第四節(jié)廣義積分48前面研究的定積分，其實(shí)都隱含了兩個條件：積分區(qū)間有限，且被積函數(shù)有界。

但在實(shí)際應(yīng)用中，還會遇到積分區(qū)間是無限區(qū)間，或者被積函數(shù)含有無窮間斷點(diǎn)的情況。

在上述兩種情形下對定積分的定義加以推廣，得到廣義積分的概念。49一、積分區(qū)間是無限區(qū)間的廣義積分

定義設(shè)函數(shù)

f(x)

在[a,+∞)上連續(xù)，取b>a，我們把極限稱為函數(shù)

f(x)

在無限區(qū)間[a,+∞)上的廣義積分，記為若極限存在，稱此廣義積分收斂；若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散。50一、積分區(qū)間是無限區(qū)間的廣義積分類似的，設(shè)函數(shù)

f(x)

在(–∞,b]上連續(xù)，可定義

f(x)

在無限區(qū)間(–∞,b]上的廣義積分為設(shè)函數(shù)

f(x)

在(–∞,+∞)上連續(xù)，可定義

f(x)

在無限區(qū)間(–∞,+∞)上的廣義積分為其中c

為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)右端兩個廣義積分都收斂時，廣義積分才是收斂的，否則是發(fā)散的。

51一、積分區(qū)間是無限區(qū)間的廣義積分按照無窮區(qū)間的廣義積分定義，應(yīng)先求定積分，再求極限。因此，可以把微積分基本公式用到廣義積分的計(jì)算中：

若

F(x)

是

f(x)的一個原函數(shù)，則有52一、積分區(qū)間是無限區(qū)間的廣義積分例6-22計(jì)算廣義積分解

y1O

xy=e–x

該廣義積分值的幾何意義是：當(dāng)b→+∞時，雖然圖中陰影部分是向右無限延伸的，但是其面積卻是有限值1，即表示位于y軸右側(cè)、曲線y=e–x

的下方、x軸上方的圖形面積。53一、積分區(qū)間是無限區(qū)間的廣義積分例6-23計(jì)算廣義積分解例6-24討論廣義積分的斂散性。解由于不存在，所以此廣義積分發(fā)散。54一、積分區(qū)間是無限區(qū)間的廣義積分例6-25計(jì)算廣義積分解55二、被積函數(shù)含有無限間斷點(diǎn)的廣義積分稱為函數(shù)

f(x)

在(a,b]上的廣義積分，記為若極限存在，則稱此廣義積分收斂；若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散。

定義設(shè)函數(shù)

f(x)

在(a,b]上連續(xù)，點(diǎn)a

為f(x)

的無窮間斷點(diǎn)，即。取t>a，我們把極限56二、被積函數(shù)含有無限間斷點(diǎn)的廣義積分設(shè)函數(shù)

f(x)

在[a,b]上除c

點(diǎn)外連續(xù)，點(diǎn)c

為f(x)

的無窮間斷點(diǎn)，即

?？啥x函數(shù)

f(x)

在[a,b]上的廣義積分為右端兩個廣義積分都收斂時，廣義積分才收斂。

類似的，設(shè)函數(shù)

f(x)

在[a

,b)上連續(xù)，點(diǎn)b

為f(x)

的無窮間斷點(diǎn)，即。取t

<b，可定義函數(shù)

f(x)

在[a,b)上的廣義積分為57二、被積函數(shù)含有無限間斷點(diǎn)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分也稱為瑕積分。同樣可以把微積分基本公式應(yīng)用到無界函數(shù)的廣義積分的計(jì)算中來。若

F(x)

是

f(x)在(a,b]上的一個原函數(shù)，則若

F(x)

是

f(x)在[a,b)上的一個原函數(shù)，則58二、被積函數(shù)含有無限間斷點(diǎn)的廣義積分例6-26計(jì)算廣義積分解因?yàn)?，所以點(diǎn)x=1是被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)。于是O11xy第五節(jié)定積分的應(yīng)用60一、定積分應(yīng)用的微元法

1.

用定積分計(jì)算的量的特點(diǎn)：（1）實(shí)際問題中的所求量（設(shè)為F）與一個給定區(qū)間[a,b]有關(guān)，且在該區(qū)間上具有可加性。即F

是確定于[a

,b]上的整體量，當(dāng)把[a,b]分成許多小區(qū)間時，整體量等于各部分量之和，即（2）所求量F

在區(qū)間[a,b]上的分布是不均勻的，也就是說，

F

的值與區(qū)間[a

,b]的長不成正比（否則的話，F(xiàn)使用初等方法即可求得，而勿需用積分方法了）。61一、定積分應(yīng)用的微元法用定積分概念解決實(shí)際問題的四個步驟：第一步：將所求量F

分為部分量之和，即：第三步：寫出整體量F

的近似值：第二步：求出每個部分量的近似值：第四步：取時和式的極限，得：62一、定積分應(yīng)用的微元法

2.

定積分應(yīng)用的微元法（1）若所求量F

與變量x

的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)，且關(guān)于區(qū)間[a

,b]具有可加性，在[a,b]上任取一個小區(qū)間[x

,x+dx]，然后找出在這個小區(qū)間上的部分量ΔF

的近似值，記為（2）將微元dF

在區(qū)間[a,b]上積分（無限累加），即得到所求量的積分表達(dá)式這種方法叫做微元法，dF=f(x)dx稱為F

的微元。63二、定積分在幾何中的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系下，設(shè)圖形由兩條曲線y=f1(x)、y=f2(x)（其中f1(x)

和

f2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且f1(x)≤f2(x)）及直線

x=a、x=b所圍成，求它的面積

A。1.平面圖形的面積根據(jù)定積分的微元法，取x

為積分變量，可得面積微元

于是

y

O

a

b

xy=f1(x)y=f2(x)64二、定積分在幾何中的應(yīng)用

y

d

c

O

xx=j2(y)x=j1(y)類似的，求由兩條曲線x=j1(y)、x=j2(y)（其中j1(y)

和

j2(y)在區(qū)間[c,d]上連續(xù)且j1(y)≤j2(y)）及直線

y=c、y=d所圍成的面積

A。于是根據(jù)定積分的微元法，取y

為積分變量，可得面積微元

65二、定積分在幾何中的應(yīng)用例6-27求由兩條拋物線和所圍成的圖形面積。解首先畫出圖形簡圖，并求出曲線交點(diǎn)坐標(biāo)以確定積分區(qū)間；然后選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量，代入公式計(jì)算。

y1O

1

x

y=x2

y2=x解方程組取x

為積分變量，x

的變化范圍為[0,1]，則得交點(diǎn)(0,0)及(1,1)。66二、定積分在幾何中的應(yīng)用例6-28求由直線和拋物線所圍成的圖形面積。解先畫出圖形簡圖再解方程組取x

為積分變量，x

的變化范圍為[–2,3]，則得交點(diǎn)坐標(biāo)(–2,4)及(3,9)。y–2O3x67二、定積分在幾何中的應(yīng)用例6-29求由拋物線和直線所圍成的圖形面積。解解方程組取y

為積分變量，y

的變化范圍為[–2,4]，則，得交點(diǎn)坐標(biāo)(2,–2)及(8,4)。若取x

為積分變量，那么x

的變化范圍是否為[2,8]？y=x

–4

y4–2O248xx=y+4y

2=2x畫出簡圖68二、定積分在幾何中的應(yīng)用設(shè)在xOy面內(nèi)，由連續(xù)曲線y=

f(x)與直線

x=a，x=b（a<b）及x

軸所圍成的曲邊梯形繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周而形成一個旋轉(zhuǎn)體?，F(xiàn)在考慮用定積分計(jì)算這個旋轉(zhuǎn)體的體積V

。2.旋轉(zhuǎn)體的體積根據(jù)定積分的微元法，取

x

為積分變量，它的變化區(qū)間為[a,b]，相應(yīng)于該區(qū)間上的任一個小區(qū)間[x,x+dx]，與它所對應(yīng)的小窄曲邊梯形繞x

軸旋轉(zhuǎn)形成的薄片的體積ΔA

近似等于以f(x)為底面半徑、dx

為高的扁圓柱體的體積。

yO

ax

x+dx

bxy=

f(x)69二、定積分在幾何中的應(yīng)用于是類似的，在xOy

面內(nèi)，由連續(xù)曲線x=

(y)與直線y=c，y=d

及y

軸所圍成的曲邊梯形繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周而形成一個旋轉(zhuǎn)體的體積為即體積微元70二、定積分在幾何中的應(yīng)用解由公式例6-30

求由曲線與直線x=1，x=2及x

軸所圍成的曲邊梯形，求該曲邊梯形繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積?？芍?，該旋轉(zhuǎn)體的體積為71二