石化一中2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期中隨堂練習(xí)初二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（本大題共10小題，共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．2．估計(jì)的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間3．下列各組數(shù)中，能組成直角三角形的一組是（）A．6，8，11 B．，3， C．4，5，6 D．2，2，24．用配方法解下列方程，其中應(yīng)在方程左右兩邊同時(shí)加上4的是（）A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2+4x＝5 D．x2+2x＝55．下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（）A．x2+2＝0 B．2x2+3x+2＝0 C．4x2﹣12x+9＝0 D．3x2+5x﹣8＝06．一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的一個(gè)根是0，則a的值是（）A．2 B．1 C．2或﹣2 D．﹣27．如果，那么a一定是（）A．負(fù)數(shù) B．正數(shù) C．正數(shù)或零 D．負(fù)數(shù)或零8．已知直角三角形紙片的兩條直角邊分別為m和n（m＜n），過此三角形銳角的頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個(gè)三角形，若這兩個(gè)三角形都為等腰三角形，則有（）A．m2+2mn+n2＝0 B．m2﹣2mn+n2＝0 C．m2+2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn﹣n2＝09．小華早上從家出發(fā)到離家5千米的國(guó)際會(huì)展中心參觀，實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃多走1千米，結(jié)果比原計(jì)劃早到了15分鐘，設(shè)小華原計(jì)劃每小時(shí)行x千米，可列方程（）A． B． C． D．10．如圖1，以直角三角形的各邊邊長(zhǎng)分別向外作正三角形，再把較小的兩張正三角形紙片按圖2的方式放置在最大正三角形內(nèi)．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．直角三角形的面積 B．較小兩個(gè)正三角形重疊部分的面積 C．最大正三角形的面積 D．最大正三角形與直角三角形的面積差二．填空題（本大題共4小題，共20分）11．函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是．12．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x2﹣10＝．13．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2﹣b+2020＝．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線MN的函數(shù)解析式為y＝﹣x+3，點(diǎn)A在線段MN上且滿足AN＝2AM，B點(diǎn)是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△AOB是以O(shè)A為腰的等腰三角形時(shí)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為．三．解答題（共9小題）15．計(jì)算：4．16．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫圖：（1）在圖中畫一條線段MN，使MN＝；（2）在圖中畫一個(gè)三邊長(zhǎng)均為無理數(shù)，且各邊都不相等的直角△DEF．17．已知等腰三角形ABC的底邊BC＝2cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝4cm，BD＝2cm．（1）求證：CD⊥AB；（2）求△ABC的面積．18．已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，第三邊長(zhǎng)為c，化簡(jiǎn)﹣．19．曉明同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是曉明的探究過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：＝，特例4：（填寫一個(gè)符合上述運(yùn)算特征的例子）．（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：．（3）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律，化簡(jiǎn)：．20．3月20號(hào)上午，2021合肥蜀山區(qū)桃花文化節(jié)在小廟鎮(zhèn)結(jié)義桃園景區(qū)開幕，開幕的當(dāng)天吸引了大批市民前來賞花、踏青、攝影，感受大自然的魅力．一花卉商戶購(gòu)進(jìn)了一批單價(jià)為50元的盆景，如果按每盆60元出售，可銷售800盆，如果每盆提價(jià)0.5元出售，其銷售量就減少10盆，現(xiàn)在要獲利12000元，且銷售成本不超過24000元，問這種盆景銷售單價(jià)確定多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)多少盆盆景？21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的兩根是x1，x2．（1）證明：無論k為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程的一個(gè)根為1，求它的另一個(gè)根和k的值；（3）無論k為何值，方程總有一個(gè)不變的根為．22．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用．例：已知x可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式x2+6x﹣1最小值．解：x2+6x﹣1＝x2+2×3?x+32﹣32﹣1＝（x+3）2﹣10∵無論x取何實(shí)數(shù)，總有（x+3）2≥0．∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．即無論x取何實(shí)數(shù)，x2+6x﹣1的值總是不小于﹣10的實(shí)數(shù)．問題：（1）已知y＝x2﹣4x+7，求證y是正數(shù)．知識(shí)遷移：（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q在CB邊上以cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)．若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)△PCQ的面積為Scm2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S的最大值．23．如圖是盼盼家新裝修的房子，其中三個(gè)房間甲、乙、丙，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作MA，如果梯子的底端P不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作NB．（1）當(dāng)盼盼在甲房間時(shí)，梯子靠在對(duì)面墻上，頂端剛好落在對(duì)面墻角B處，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，則甲房間的寬度AB＝米；（2）當(dāng)他在乙房間時(shí)，測(cè)得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房間的寬AB；（3）當(dāng)他在丙房間時(shí)，測(cè)得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．求丙房間的寬AB．石化一中2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期中隨堂練習(xí)初二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（本大題共10小題，共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）一．選擇題（共10小題）1．下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】先把各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，再判斷．【解答】解：∵＝3；＝2；＝；故選：B．2．估計(jì)的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【分析】利用二次根式的性質(zhì)，得出＜＜，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵＜＜，∴6＜＜7，∴的值在整數(shù)6和7之間．故選：C．3．下列各組數(shù)中，能組成直角三角形的一組是（）A．6，8，11 B．，3， C．4，5，6 D．2，2，2【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個(gè)就是直角三角形．【解答】解：A、62+82≠112，根據(jù)勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（）2+32≠（）2，根據(jù)勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、42+52≠62，根據(jù)勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、22+22＝（2）2，根據(jù)勾股定理的逆定理是直角三角形，故此選項(xiàng)正確．故選：D．4．用配方法解下列方程，其中應(yīng)在方程左右兩邊同時(shí)加上4的是（）A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2+4x＝5 D．x2+2x＝5【分析】根據(jù)配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方分別進(jìn)行解答，即可得出答案．【解答】解：A、因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是﹣2，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方1；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、先在等式的兩邊同時(shí)除以2，得到x2﹣2x＝，因?yàn)榇朔匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是﹣2，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方1；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是4，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方4；故本選項(xiàng)正確；D、因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是2，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方1；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．5．下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（）A．x2+2＝0 B．2x2+3x+2＝0 C．4x2﹣12x+9＝0 D．3x2+5x﹣8＝0【分析】根據(jù)根的判別式Δ＝b2﹣4ac的值的符號(hào)，可以判定個(gè)方程實(shí)數(shù)根的情況，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴此方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴此方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0，∴此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×（﹣8）＝121＞0，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．6．一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的一個(gè)根是0，則a的值是（）A．2 B．1 C．2或﹣2 D．﹣2【分析】把x＝0代入方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得a2﹣4＝0，解得a1＝2，a2＝﹣2，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定滿足條件的a的值．【解答】解：把x＝0代入方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得a2﹣4＝0，解得a1＝2，a2＝﹣2，因?yàn)榉匠虨橐辉畏匠?，所以a﹣2≠0，所以a＝﹣2．故選：D．7．如果，那么a一定是（）A．負(fù)數(shù) B．正數(shù) C．正數(shù)或零 D．負(fù)數(shù)或零【分析】由已知等式變形得＝﹣a，且a≠0，根據(jù)二次根式的非負(fù)性直接判斷即可．【解答】解：如果，那么＝﹣a，且a≠0，所以a一定是負(fù)數(shù)．故選：A．8．已知直角三角形紙片的兩條直角邊分別為m和n（m＜n），過此三角形銳角的頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個(gè)三角形，若這兩個(gè)三角形都為等腰三角形，則有（）A．m2+2mn+n2＝0 B．m2﹣2mn+n2＝0 C．m2+2mn﹣n2＝0 D．m2﹣2mn﹣n2＝0【分析】如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得m2+m2＝（n﹣m）2，整理即可求解．【解答】解：如圖，m2+m2＝（n﹣m）2，2m2＝n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2＝0．故選：C．9．小華早上從家出發(fā)到離家5千米的國(guó)際會(huì)展中心參觀，實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃多走1千米，結(jié)果比原計(jì)劃早到了15分鐘，設(shè)小華原計(jì)劃每小時(shí)行x千米，可列方程（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“原計(jì)劃早到了15分鐘”．等量關(guān)系為：原計(jì)劃所用時(shí)間﹣實(shí)際所用時(shí)間＝，根據(jù)等量關(guān)系列方程．【解答】解：設(shè)小華原計(jì)劃每小時(shí)行x千米，依題意得：﹣＝，故選：B．10．如圖1，以直角三角形的各邊邊長(zhǎng)分別向外作正三角形，再把較小的兩張正三角形紙片按圖2的方式放置在最大正三角形內(nèi)．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．直角三角形的面積 B．較小兩個(gè)正三角形重疊部分的面積 C．最大正三角形的面積 D．最大正三角形與直角三角形的面積差【分析】根據(jù)勾股定理得到c2＝a2+b2，根據(jù)正三角形的面積公式、平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，較長(zhǎng)直角邊為b，較短直角邊為a，由勾股定理得c2＝a2+b2，陰影部分的面積＝（c﹣b）（c﹣a），較小兩個(gè)正三角形重疊部分的邊長(zhǎng)＝a+b﹣c，則較小兩個(gè)正三角形重疊部分的面積＝（a+b﹣c）2＝[a2+b2+2ab+c2﹣2c（a+b）]＝[c2+2ab+c2﹣2c（a+b）]＝（c﹣b）（c﹣a），故知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個(gè)正三角形重疊部分的面積．故選：B．二．填空題（共4小題）11．函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是x＜3．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0列式計(jì)算，即可得到自變量x的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意，得3﹣x≠0且3﹣x≥0，∴3﹣x＞0，解得x＜3，故答案為：x＜3．12．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x2﹣10＝2（x）（x﹣）．【分析】首先將原式提取2，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：原式＝2（x）（x﹣），故答案為：2（x）（x﹣）．13．已知a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2﹣b+2020＝2024．【分析】先根據(jù)根的定義以及根與系數(shù)關(guān)系得出a2+a﹣3＝0，a+b＝﹣1，再把此代數(shù)式進(jìn)行變形，代入數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a+b＝﹣1，a2+a﹣3＝0，∴a2＝﹣a+3，∴a2﹣b+2020＝﹣a+3﹣b+2020＝2023﹣（a+b）＝2023+1＝2024．故答案為：2024．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線MN的函數(shù)解析式為y＝﹣x+3，點(diǎn)A在線段MN上且滿足AN＝2AM，B點(diǎn)是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△AOB是以O(shè)A為腰的等腰三角形時(shí)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）或（，0）或（，0）．【分析】先求得A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），分AO＝OB及AO＝AB兩種情況考慮，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，則y＝3；令y＝0，則﹣x+3＝0，解得x＝3，∴N（3，0），M（0，3），∴OM＝ON＝3，∵AN＝2AM，∴A（1，2），∴OA＝＝，當(dāng)AO＝OB時(shí)，則OB＝，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，0）或（，0）；②當(dāng)AO＝AB時(shí)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），則＝，整理得，（1﹣m）2＝1，解得m＝2或m＝0（舍去），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．綜上所述：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）或（，0）或（，0）．三．解答題（共9小題）15．計(jì)算：4．【分析】利用平方差公式，絕對(duì)值的意義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：4＝4×﹣（﹣1）+3﹣4＝﹣+1+3﹣4＝0．16．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫圖：（1）在圖中畫一條線段MN，使MN＝；（2）在圖中畫一個(gè)三邊長(zhǎng)均為無理數(shù)，且各邊都不相等的直角△DEF．【分析】（1）根據(jù)勾股定理，則只需構(gòu)造一個(gè)以1和4為直角邊的直角三角形，則斜邊MN即為；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，則只需構(gòu)造兩條分別是和2的對(duì)角線，即得到一個(gè)三邊長(zhǎng)均為無理數(shù)的直角三角形．【解答】解：如圖所示：17．已知等腰三角形ABC的底邊BC＝2cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝4cm，BD＝2cm．（1）求證：CD⊥AB；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）先算CD2，BC2，BD2，發(fā)現(xiàn)三者之間的等量關(guān)系，再結(jié)合勾股定理判斷垂直；（2）先設(shè)AD＝x，然后用含有x的式子表示AC，再結(jié)合勾股定理列出方程求x，最后求面積．【解答】（1）證明：∵BC＝2cm，CD＝4cm，BD＝2cm，∴CD2＝16，BC2＝20，BD2＝4，∴CD2+BD2＝BC2，∴三角形BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，∴CD⊥AB．（2）解：設(shè)AD＝xcm，則AB＝（x+2）cm，∵△ABC為等腰三角形，且AB＝AC，∴AC＝x+2，在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，∴x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴AB＝5cm，∴S△ABC＝×AB×CD＝×5×4＝10（cm2）．18．已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，第三邊長(zhǎng)為c，化簡(jiǎn)﹣．【分析】由三邊關(guān)系定理，得到關(guān)系式；判斷出被開方數(shù)的正負(fù)，再化簡(jiǎn)開方，得出結(jié)果．【解答】解：由三邊關(guān)系定理，得3+5＞c，5﹣3＜c，即8＞c＞2，＝＝c﹣2﹣（4﹣c）＝c﹣2﹣4+c＝c﹣6．19．曉明同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是曉明的探究過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：＝，特例4：＝5（填寫一個(gè)符合上述運(yùn)算特征的例子）．（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：＝（n+1）（n為正整數(shù)）．（3）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律，化簡(jiǎn)：．【分析】（1）利用前面三個(gè)特例中數(shù)與數(shù)的關(guān)系寫出第四個(gè)特例；（2）根據(jù)四個(gè)特例中數(shù)子的變換規(guī)律寫出用正整數(shù)n表示的運(yùn)算規(guī)律；（3）根據(jù)（2）中規(guī)律得到原式＝2019×，然后根據(jù)二次根式的乘法法則運(yùn)算．【解答】解：（1）答案為＝5；（2）答案為＝（n+1）（n為正整數(shù)）；（3）原式＝2019×＝2019＝2019．20．3月20號(hào)上午，2021合肥蜀山區(qū)桃花文化節(jié)在小廟鎮(zhèn)結(jié)義桃園景區(qū)開幕，開幕的當(dāng)天吸引了大批市民前來賞花、踏青、攝影，感受大自然的魅力．一花卉商戶購(gòu)進(jìn)了一批單價(jià)為50元的盆景，如果按每盆60元出售，可銷售800盆，如果每盆提價(jià)0.5元出售，其銷售量就減少10盆，現(xiàn)在要獲利12000元，且銷售成本不超過24000元，問這種盆景銷售單價(jià)確定多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)多少盆盆景？【分析】設(shè)這種盆景銷售單價(jià)應(yīng)定為x元，則每盆的利潤(rùn)為（x﹣50）元，可售出（2000﹣20x）盆，根據(jù)總利潤(rùn)＝每盆的利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合銷售成本不超過24000元，即可確定x的值，此題得解．【解答】解：設(shè)這種盆景銷售單價(jià)應(yīng)定為x元，則每盆的利潤(rùn)為（x﹣50）元，可售出800﹣×10＝（2000﹣20x）盆，依題意得：（x﹣50）（2000﹣20x）＝12000，整理得：x2﹣150x+5600＝0，解得：x1＝70，x2＝80．當(dāng)x＝70時(shí)，2000﹣20x＝600（盆），600×50＝30000（元）＞24000元，不合題意，舍去；當(dāng)x＝80時(shí)，2000﹣20x＝400（盆），400×50＝20000（元）＜24000元．答：這種盆景銷售單價(jià)應(yīng)定為80元，這時(shí)應(yīng)進(jìn)400盆盆景．21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的兩根是x1，x2．（1）證明：無論k為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程的一個(gè)根為1，求它的另一個(gè)根和k的值；（3）無論k為何值，方程總有一個(gè)不變的根為x＝﹣1．【分析】（1）證明方程的根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）≥0即可．（2）把x＝1代入方程x2+（k+4）x+k+3＝0，得到關(guān)于k的方程，解答即可．（3）公式法求得方程根判斷即可．【解答】（1）證明：∵方程x2+（k+4）x+k+3＝0，a＝1，b＝k+4，c＝k+3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2≥0，∴無論k為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：把x＝1代入方程x2+（k+4）x+k+3＝0，得1+k+4+k+3＝0，解得k＝﹣4，∴方程x2﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，故k＝﹣4，另一個(gè)根為﹣1．（3）解：∵方程x2+（k+4）x+k+3＝0，a＝1，b＝k+4，c＝k+3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2≥0，∴∴x1＝﹣1，x＝﹣k﹣3，此時(shí)方程總有一個(gè)不變的根為x＝﹣1；故答案為：x＝﹣1．22．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用．例：已知x可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式x2+6x﹣1最小值．解：x2+6x﹣1＝x2+2×3?x+32﹣32﹣1＝（x+3）2﹣10∵無論x取何實(shí)數(shù)，總有（x+3）2≥0．∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．即無論x取何實(shí)數(shù)，x2+6x﹣1的值總是不小于﹣10的實(shí)數(shù)．問題：（1）已知y＝x2﹣4x+7，求證y是正數(shù)．知識(shí)遷移：（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q在CB邊上以cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)．若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)△PCQ的面積為Scm2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S的最大值．【分析】（1）配方求最值．（2）先求s，再配方求最值．【解答】證明：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3．∵（x﹣2）2≥0．∴y≥0+3＝3．∴y＞0．∴