高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期第一次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）參考公式：·球的體積公式，其中R表示球的半徑.·如果事件A，B互斥，那么．·如果事件A，B相互獨(dú)立，那么．·任意兩個(gè)事件A與B，若，則．一、選擇題1.設(shè)集合，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.2.若a，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，取，則，即充分性不成立；當(dāng)時(shí)，有，則，故，所以，即，即必要性成立；綜上，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，得到，又，函?shù)是減函數(shù)，所以，又，得到，所以，故選：A.4.函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一：因?yàn)?，即，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除；當(dāng)時(shí)，，即，因此，故排除A.故選:D.方法二：由方法一，知函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除；又，所以排除A.故選：D.5.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減，得，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以．由，解得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為．故選：A．6.下列說法不正確的是（）A.甲、乙、丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的甲種個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為18B.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，.…，的方差為32C.在一個(gè)列聯(lián)表中，計(jì)算得到的值，則的值越接近1，可以判斷兩個(gè)變量相關(guān)的把握性越大D.已知隨機(jī)變量，且，則〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：設(shè)樣本容量為，則，故，故A正確.對(duì)于B：設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，…，的均值為，則數(shù)據(jù)，，.…，的均值為，故數(shù)據(jù)，，.…，的方差為：，故B正確.對(duì)于C：越大，可以判斷兩個(gè)變量相關(guān)的把握性越大，越小則把握性越小，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得：，故D正確.故選：C.7.已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，點(diǎn)在的圖象上，下列說法錯(cuò)誤的是（）A. B.直線是圖象的一條對(duì)稱軸C.在上單調(diào)遞減 D.是奇函數(shù)〖答案〗B〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以.又，所以.因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心是，所以，，則，.又，所以，則，A正確.，則直線不是圖象的一條對(duì)稱軸，B不正確.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，C正確.，是奇函數(shù)，D正確.故選：B.8.如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個(gè)球的表面積和為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，過點(diǎn)作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點(diǎn)為最大球的球心，連接并延長，交于點(diǎn)，則⊥，設(shè)最大球的半徑為，則，因?yàn)椤祝?，即，解得，即，則，故設(shè)最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點(diǎn)分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設(shè)為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個(gè)球的表面積和為.故選：B9.如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與分別在第一?二象限交于兩點(diǎn)，內(nèi)切圓半徑為，若，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在上的切點(diǎn)分別為，則，由及雙曲線的定義可知，，故四邊形是正方形，得，于是，故，所以，于是，在中，由余弦定理可得，從而，所以.故選：D.第Ⅱ卷（選擇題）二、填空題10.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足.則______.〖答案〗〖解析〗由，得，所以.故〖答案〗：.11.已知，則________．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，兩邊求?dǎo)可得，令，得到，即，故〖答案〗為：.12.設(shè)圓：上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于,則圓半徑的取值范圍是_________.〖答案〗〖解析〗圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，因?yàn)閳A上恰有相異兩點(diǎn)到直線的距離等于，所以，即，所以.故〖答案〗為：13.設(shè)某學(xué)校有甲、乙兩個(gè)校區(qū)和兩個(gè)食堂，并且住在甲、乙兩個(gè)校區(qū)的學(xué)生比例分別為和；在某次調(diào)查中發(fā)現(xiàn)住在甲校區(qū)的學(xué)生在食堂吃飯的概率為，而住在乙校區(qū)的學(xué)生在食堂吃飯的概率為，則任意調(diào)查一位同學(xué)是在食堂吃飯的概率為________．如果該同學(xué)在食堂吃飯，則他是住在甲校區(qū)的概率為________．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）〖答案〗〖解析〗記為事件“該同學(xué)住在甲校區(qū)”，為事件“該同學(xué)在食堂吃飯”，則，，故，如果該同學(xué)在食堂吃飯，則他是住在甲校區(qū)的概率為，故〖答案〗為：；.14.在矩形中，是平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則______；是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗依題意，構(gòu)建以為原點(diǎn)，為軸的直角坐標(biāo)系，所以，則又，故，所以；由知，所以在以為直徑的圓上，為圓心，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以，故可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到與的距離之和，又，則在直線上，即對(duì)應(yīng)線段，所以要求，只需求的最小值即可，而關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，故，此時(shí)，即，所以的最小值為.故〖答案〗為：；..15.記不超過的最大整數(shù)為．若函數(shù)既有最大值也有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗取，則，所以函數(shù)既有最大值也有最小值，即在區(qū)間上既有最大值也有最小值，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，只有最小值，無最大值，不合題意，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，則，此時(shí)只有最小值，沒有最大值，不合題意，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，則，此時(shí)有最大值為，最小值為，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，只有最大值，無最小值，不合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故〖答案〗為：.三、解答題16.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（1）求的值；（2）求值；（3）求．解：（1）由，得到，即，得到，又，所以，由余弦定理得.（2）由（1）知，所以，得到，，所以.（3）由，，得到，所以，又，由，知，所以，得到，所以.17.如圖，多面體ABCDEF是由一個(gè)正四棱錐與一個(gè)三棱錐拼接而成，正四棱錐A-BCDE的所有棱長均為.（1）在棱DE上找一點(diǎn)G，使得面面AFG，并給出證明;（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)F到面ADE的距離;（3）若，求直線DF與面ABC所成角的正弦值.解：（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，面面，證明如下：因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以.在正方形中，，所以，在正方形中，，因?yàn)?，所以，因?yàn)槊?，所以面，因?yàn)槊?，所以面?（2）連接，交于點(diǎn)，連接，，則，又因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以面，所以四邊形為矩形，，又，面，面，又，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，即，，所以，點(diǎn)到面的距離為.（3）因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則有取，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于的一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.（1）求的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，記的面積為，過線段的中點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率分別為.①求的取值范圍；②求證：定值.（1）解：由題意知，解得，所以的方程為；（2）①解：易知，設(shè)直線方程為，如下圖所示：聯(lián)立，消去可得，所以，且，可得，令，可得，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在時(shí)單調(diào)遞增；所以可得；即的取值范圍為.②證明：易知，可得；所以；因此為定值.19.已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，，，，且是與的等差中項(xiàng)．（1）求：數(shù)列和的通項(xiàng)公式．（2）設(shè)，求.（3）若對(duì)于數(shù)列、，在和之間插入個(gè)，組成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，則，故，所以，則，由，則，又由是與的等差中項(xiàng)，所以，即，解得或（舍去），故，（2）由，則，則，，兩式相減得，，，則，其中①，②①-②相減可得，則所以，則；（3）根據(jù)題意可得，則，故，則，故當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，所以共有項(xiàng)，共有個(gè)，則20.，，已知的圖象在處的切線與x軸平行或重合．（1）求的值；（2）若對(duì)，恒成立，求a的取值范圍；