§4.6

正弦定理、余弦定理根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)在△ABC中，假設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，那么1.正弦定理、余弦定理知識(shí)梳理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝

＝

＝2Ra2＝

；b2＝

；c2＝_______________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝

，c＝

；(2)sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；(3)a∶b∶c＝

；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝

；cosB＝

；cosC＝____________2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.在△ABC中，a、b和A時(shí)，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)S＝

a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝

absinC＝

＝

；(3)S＝

r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑).acsinBbcsinA1.三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；知識(shí)拓展2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；3.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.()(2)在△ABC中，假設(shè)sinA＞sinB，那么A＞B.()(3)在△ABC的六個(gè)元素中，任意三個(gè)元素可求其他元素.()(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，三角形ABC為銳角三角形.()(5)在△ABC中， .()(6)在三角形中，兩邊和一角就能求三角形的面積.()思考辨析×√××√√

1.(2016·天津)在△ABC中，假設(shè)AB＝，BC＝3，C＝120°，那么AC等于A.1 B.2 C.3 D.4考點(diǎn)自測(cè)答案解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化簡(jiǎn)得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).應(yīng)選A.

2.(教材改編)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，那么c等于答案解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，

3.在△ABC中，假設(shè)sinB·sinC＝cos2，且sin2B＋sin2C＝sin2A，那么△ABC是A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案解析∴2sinB·sinC＝1＋cosA＝1－cos(B＋C)，∴cos(B－C)＝1，∵B、C為三角形的內(nèi)角，∴B＝C，又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，綜上，△ABC為等腰直角三角形.4.(2016·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，假設(shè)b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，那么角C＝.答案解析因?yàn)?sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.令a＝5，b＝3，c＝7，那么由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，答案解析題型分類深度剖析題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形答案解析1①證明：sinAsinB＝sinC；證明那么a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.解答由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，思維升華應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧(3)兩邊和夾角或三邊可利用余弦定理求解.(4)靈活利用式子的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如出現(xiàn)a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理.

答案解析(邊化角)

(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cosAsinC，那么b等于A.6 B.4 C.2 D.1答案解析(角化邊)由題意，得sinAcosC－cosAsinC＝2cosAsinC，即sinAcosC＝3cosAsinC，由正弦、余弦定理，得整理得2(a2－c2)＝b2， ①又a2－c2＝b， ②聯(lián)立①②得b＝2，應(yīng)選C.題型二和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題例2(2016·浙江)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.b＋c＝2acosB.(1)證明：A＝2B；證明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.解答由sinB≠0，得sinC＝cosB.思維升華(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.

跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.假設(shè)c2＝(a－b)2＋6，C＝，那么△ABC的面積是答案解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6. ①由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.

題型三正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用命題點(diǎn)1判斷三角形的形狀例3(1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，假設(shè)<cosA，那么△ABC為A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形答案解析即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因?yàn)樵谌切沃衧inA>0，所以cosB<0，即B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形.

(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，假設(shè)bcosC＋ccosB＝asinA，那么△ABC的形狀為A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定答案解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA>0，∴sinA＝1，即A＝

，∴△ABC為直角三角形.引申探究1.例3(2)中，假設(shè)將條件變?yōu)?sinAcosB＝sinC，判斷△ABC的形狀.解答∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosBsinA，∴sin(A－B)＝0，又A，B為△ABC的內(nèi)角.∴A＝B，∴△ABC為等腰三角形.2.例3(2)中，假設(shè)將條件變?yōu)閍2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判斷△ABC的形狀.解答又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC為等邊三角形.命題點(diǎn)2求解幾何計(jì)算問(wèn)題解答例4

(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.因?yàn)镾△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.(2)假設(shè)AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng).解答在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，又由(1)知AB＝2AC，所以解得AC＝1.思維升華(1)判斷三角形形狀的方法①化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.②化角：通過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論.(2)求解幾何計(jì)算問(wèn)題要注意①根據(jù)的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示；②選擇在某個(gè)三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理.

跟蹤訓(xùn)練3(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，假設(shè)c－acosB＝(2a－b)cosA，那么△ABC的形狀為A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案解析∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝

或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC為等腰或直角三角形.(2)(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，那么AB的取值范圍是.答案解析如下圖，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB于點(diǎn)F，那么BF<AB<BE.在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，

二審結(jié)論會(huì)轉(zhuǎn)換審題路線圖系列(1)求cosA的值；標(biāo)準(zhǔn)解答審題路線圖返回返回課時(shí)作業(yè)A.135° B.105° C.45°

D.75°答案解析√又由題知，BC<AB，∴A＝45°.1234567891011121312345678910111213√答案解析3.(2016·西安模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，假設(shè)bcosC＋ccosB＝asinA，且sin2B＝sin2C，那么△ABC的形狀為A.等腰三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形√答案解析由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A，在三角形中sinA≠0，∴sinA＝1，∴A＝90°，由sin2B＝sin2C，知b＝c，綜上可知△ABC為等腰直角三角形.123456789101112134.在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，那么此三角形的解的情況是A.有一解 B.有兩解C.無(wú)解 D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定√答案解析∴角B不存在，即滿足條件的三角形不存在.12345678910111213答案解析√即a2＋c2－b2＝ac，1234567891011121312345678910111213√答案解析12345678910111213答案解析123456789101112138.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.假設(shè)(a2＋c2－b2)tanB＝ac，那么角B的值為.答案解析12345678910111213答案解析8又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，∴a＝8.1234567891011121312345678910111213*10.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足asinB＝bcosA.假設(shè)a＝4，那么△ABC周長(zhǎng)的最大值為.答案解析12由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2