2020-2021學(xué)年上海二中高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共4小題，共12.0分）

1.某地區(qū)植被破壞，土地沙化越來(lái)越嚴(yán)重，最近三年測(cè)得沙漠增加值分別為0.2萬(wàn)公頃、0.4萬(wàn)公頃

和0.76萬(wàn)公頃，則沙漠增加數(shù)y（萬(wàn)公頃）關(guān)于年數(shù)雙年）的函數(shù)關(guān)系較為近似的是（）

A.y=o.2xB.y=—x2+2x

10

c.>=宿D(zhuǎn),iy=0.2+log1（5i

2.已知a=3區(qū)|,6=log叵|,c=log叵|,則（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

3.命題“若/（x）是奇函數(shù)，則/X-乃是奇函數(shù)”的否命題是（）

A.若〃久）是偶函數(shù)，貝仔（-乃是偶函數(shù)

B.若/O）不是奇函數(shù)，則/（-切不是奇函數(shù)

C.若f（-久）是奇函數(shù)，則f（x）是奇函數(shù)

D.若/'（-尤）不是奇函數(shù)，則/（X）不是奇函數(shù)

4.11.若a>0,8>0,a+8=2,則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a,8恒成立的是—（寫(xiě)出所有正

確命題的編號(hào)）

①而W1；②/+@a2+b2>2>?a3+i3>3；⑤1+

ab

A.①③⑤B.②③④C.①③④D.②④⑤

二、單空題（本大題共12小題，共36.0分）

5.已知角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為&亨），貝kosa=.

6.已知函數(shù)四，則回=.

飛門飛

7.函數(shù)/（%）對(duì)一切實(shí)數(shù)比都滿足71開(kāi)客片7盆#翼，并且方程/（%）=0有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)

/假J

實(shí)根的和為.

8.函數(shù)y=?尸的圖象與函數(shù)y=-log?龍的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

9.指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)(2,4),則〃3)=.

10.函數(shù)y=2⑶一久一2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

11,2016ln(Zn2O16)-(/n2O16),n2016=.

12.已知定義在［—1,1］上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上是減函數(shù)，若/(1一爪)</(爪)，則實(shí)數(shù)小的取

值范圍是.

13.設(shè)a>0,a力1,函數(shù)/(久)=log//-2x+3)有最大值，則不等式logj*-1)>0的解集為

14.函數(shù)/(X)=痣的定義域是.

15.函數(shù)y=a"4+1圖象恒過(guò)定點(diǎn)p,且尸在新函數(shù)y=/(%)圖象上，則/(16)=.

16.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上為增函數(shù)，/(1)={),則不等式

f(logLi)>。的解集為.

三、解答題(本大題共5小題，共52.0分)

17.(本題滿分12分)

*承

設(shè)函數(shù)“奠磁=崛a/?i-富-需取:獺'加(虬僦#為：的定義域?yàn)榧?，出，集合?guó)=歌一^；泡嵋.

X'#.1

請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)一元二次不等式，使它的解集為，潸?廨，并說(shuō)明理由。

18.如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)P的距離是2/OTI,從點(diǎn)P沿海岸正東12/OTI處有一個(gè)

城鎮(zhèn).假設(shè)一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為3km",步行的速度是5km",用t(單位：八)表示

他從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間，雙單位：kni)表示此人將船停在海岸處距P點(diǎn)的距離.

海岸？磐鎮(zhèn)

~7-x,12--—

II?

(1)請(qǐng)將t表示為X的函數(shù)t(K);

(2)將船停在海岸處距點(diǎn)P多遠(yuǎn)時(shí)從小島到城鎮(zhèn)所花時(shí)間最短？最短時(shí)間是多少？

19.已知函數(shù)/(x)=舞,x6[3,5].

(I)判斷函數(shù)/(久)在[3,5]上的單調(diào)性，并證明.

(口)求函數(shù)/⑶的最大值和最小值.

20.已知函數(shù)/(X)=(根2+2小).x7n2+mT,m為何值時(shí),函數(shù)『(%)是:

(1)正比例函數(shù)；

(2)反比例函數(shù)；

(3)二次函數(shù)；

(4)南函數(shù).

21.已知函數(shù)/'(x)=2a/+次—a+1,其中aeR,b&R.

(I)當(dāng)a=%=1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)為?

A

(口)當(dāng)時(shí)，如果存在使得fOo)<。，試求a的取值范圍;

0

(HI)如果對(duì)于任意久G[-1,1]，都有/(%)>0成立，試求a+b的最大值.

參考答案及解析

1.答案：C

解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)模型的應(yīng)用，

對(duì)于A,x=1,2時(shí)，符合題意，x=3時(shí)，y=0.6,與0.76相差0.16；

對(duì)于B,x=l時(shí)，y=2.1；x=2時(shí)，y=4.4；x=3時(shí)，y=6.9,相差較大，不符合題意；

對(duì)于C,x=l,2時(shí)，符合題意，％=3時(shí)，y=0.8,與0.76相差0.06,與A比較，符合題意；

對(duì)于D,x=l時(shí)，y-0.2；x=2時(shí)，y—0.45；%=3時(shí)，y<0.7,相差較大，不符合題意；

故選C.

2.答案：A

解析：試題分析：因?yàn)?區(qū)>1,。<log叵|<1,c=log叵|<0,所以a>6>c,故選A

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

3.答案：B

解析：試題分析：用否命題的定義來(lái)判斷解：否命題是同時(shí)否定命題的條件結(jié)論，故由否命題的定

義可知B項(xiàng)是正確的.故選3

考點(diǎn)：否命題

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查否命題的概念，注意否命題與命題否定的區(qū)別.

4.答案：A

對(duì)于命題①ab41：由2=a+bN2-Jab=>ab<l>命題①正確；

對(duì)于命題②G+Jb<41,令61=l：b=1時(shí)候不成立，所以命題②錯(cuò)誤；

解析：對(duì)于命題③。'+/之2：a2+b2=(a+6)2—lab=4—2a6>2,命題③正確；

對(duì)于命題④"+"之3：令。=1/=1時(shí)候不成立，所以命題④錯(cuò)誤；

對(duì)于命題⑤工+?之2」+?=坐=4之2,命題⑤正確.故選A.

abaaabab

5.答案：!

解析：解：若角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為G，弓)，

］

貝b=1,-,?cosa=

故答案為：

根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求得cosa的值.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：叵］

解析：試題分析：根據(jù)題題意：回，回，故國(guó).

考點(diǎn)：1.分段函數(shù)；2,指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算.

軍

7.答案：-

鬟

解析：函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，方程f(x)=0有三個(gè)實(shí)根時(shí)，一定有一個(gè)是工，另外兩個(gè)關(guān)

獸萋

于直線％=工對(duì)稱，其和為1,故方程f(x)=0的三個(gè)實(shí)根之和為

8.答案：y=%

解析：-y=-log3x=logix,

3

.??同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，

則圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，

故答案為：y=x

根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)圖象對(duì)稱性的判斷，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)

鍵.

9.答案:8

解析：解：因?yàn)楹瘮?shù)/(?為指數(shù)函數(shù)，設(shè)其解析式為丫=/9〉?！ㄆ?,

由指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)(2,4),所以。2=4,所以a=2,則f(x)=2七

所以"3)=23=8.

故答案為8.

設(shè)出指數(shù)函數(shù)的解析式，把點(diǎn)(2,4)代入解析式，求出底數(shù)后可得具體解析式，然后直接求/(3).

本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本題主要幫助考生掌

握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

10.答案：2

解析：解：函數(shù)y=2⑶一x-2的零點(diǎn)，就是2⑶=久+2方程的根的個(gè)數(shù)，也就是y=2⑶與y=x+2

由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn).

原函數(shù)由兩個(gè)零點(diǎn).

故答案為：2.

利用函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，判斷即可.

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是中檔題.

11.答案：。

解析：解:令"2016=3則2016=/,

2016皿)2016)_(仇2016產(chǎn)2016

=(et)ln(M/)一-=?嚴(yán)-.

=elntt-=tf-tf=0.

故答案為：0.

令伉2016=3貝眨016=^,然后代入原式化簡(jiǎn)得答案.

本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

12.答案：［0,》

解析：解：根據(jù)題意，偶函數(shù)/(?在區(qū)間［0,1］上是減函數(shù)，

則/(I—m)<f(m)/(|1-m|)</(|m|)=>|1-m|>\m\,

\1—m\>\m\

又由函數(shù)的定義域?yàn)椋邸?,1］,則有一141一根41,

(―1<m<1

解可得：OWzn<5即zn的取值范圍為［0,1)；

故答案為：［0,》

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得f(l-m)<f(m')n/(|1-m|)<=^>|1-m|>

|1-m|>\m\

\m\,又由函數(shù)的定義域可得-1W1-爪W1,解可得小的取值范圍，即可得答案.

(―1<m<1

本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：｛%|1<%<2］

解析：解:va>0,a力1,函數(shù)f(x)=logj/一2x+3)有最大值，

0<a<1,

「不等式loga(x-1)>0,

???0<%-1<1,

解得1<x<2.

二不等式loga"-1)>0的解集為｛X。<X<2］.

故答案為：｛x|l<x<2］.

2

由函數(shù)/(X)=Ioga(x-2x+3)有最大值，得。<a<1,由此能求出不等式log。。-1)>0的解集.

本題考查不等式的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)

用.

14.答案：［2,3)U(3,4)

x-2之0

解析：解：要使函數(shù)有意義，必須卜-3。0所以函數(shù)的定義域：［2,3)U(3,4)

.4—%>0

故答案為：［2,3)U(3,4)

分母不為0,x-2>0,4-x>0,解答即可.

本題考查函數(shù)定義域的求法，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，是基礎(chǔ)題.

15.答案：4

解析：

本題考查指數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，以及待定系數(shù)法求累函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)幕函數(shù)/(x)=x"(a是常數(shù))，由a0=1求出y=ax-4+1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入函數(shù)f(x)的

解析式求出a的值，再求出「(16)的值.

解：設(shè)幕函數(shù)f(x)=/(0是常數(shù))，

由x-4=0得x=4,則y=2,

所以函數(shù)y=ax-4+1圖象恒過(guò)定點(diǎn)P(4,2),

由題意得，2=4。，解得a=1,

則/(%)=/，所以/(16)=4,

故答案為：4.

16.答案：(0,》U(2,+8)

解析：???/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上為增函數(shù)，

又...6)=o,f(l嗎x)>0,

???\logix\>

8J

IT,1

■log^x>Q或、叫工<--，

解得0<久或x>2,

故答案為(0,》U(2,+8)。

17.答案：事》一客一獸y蚓

解析：試題分析：解：?福一篇:一—>?即/*安-瀛<?，

解得-警w舒《:號(hào)……4分

二，=(-3U9……6分

由笠>0，得M-R演，蚓，7分

解得^>-1;二點(diǎn)=裁磷……8分

二“懸產(chǎn)，,寄=《―工期……io分

故，一元二次不等式為雷一輯V：頌?！?2分

考點(diǎn)：函數(shù)定義域及一元二次不等式求解

點(diǎn)評(píng)：一元二次不等式求解要結(jié)合與之相應(yīng)的二次函數(shù)，二次方程考慮，二次不等式的解的邊界值

是二次方程的根

18.答案：解：（1）總的時(shí)間t為駕船行駛的時(shí)間與步行到城鎮(zhèn)的時(shí)間之和，

小島到Q點(diǎn)的距離：V02+%

???從小島到Q點(diǎn)的時(shí)間為：亨，

Q點(diǎn)到城鎮(zhèn)的距離：12-x,

???從Q點(diǎn)到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間為：亨,

???t(x)=+今，0<%<12；

3

5X-3VX2+4

⑵t=15M

令t'=0得％=1.5,

當(dāng)Xe（0,1.5）時(shí)，t'<0,1（久）單調(diào)遞減；當(dāng)Xe（1.5,12）時(shí)，t'>0,t（x）單調(diào)遞增.

故當(dāng)x=1.5時(shí)，1（久）最小，且最短時(shí)間為監(jiān)兒

解析：（1）根據(jù)總的時(shí)間t為駕船行駛的時(shí)間與步行到城鎮(zhèn)的時(shí)間之和，分別表示出從小島到Q點(diǎn)的時(shí)

間為互，

3

從Q點(diǎn)到城鎮(zhèn)所需的時(shí)間為詈，即可求得函數(shù)t（x）,根據(jù)實(shí)際意義，求得定義域，從而得到答案;

（2）利用導(dǎo)數(shù)法，即可求得結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）

引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，

其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型.屬于基礎(chǔ)題.

19.答案:解：（I）函數(shù)/（久）在［3,5］上單調(diào)遞增.

證明：設(shè)任意X1,%2，滿足34%1<%245.

c,、￡,、2x1—12X2—13（%L次）

???/（/）一=三萬(wàn)一石仃=（5）3+1）'

???34<%245,???+1>0,%2+1>0，%1—％2Vo.

.?./（x1）-/（x2）<0,即/（的）</3>

??.f（乃在［3,5］上為增函數(shù).

（n）/O）min=/（3）=t=9

/。)皿,=〃5)=黃=以

解析：(I)函數(shù)〃久)在［3,5］上單調(diào)遞增.運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)

論；

(n)運(yùn)用在［3,5］上單調(diào)遞增，計(jì)算即可得到最值.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

20.答案：解：(1)若/(?為正比例函數(shù)，貝4爪：+7-1；1，解得：m=1.

+2mH0

(2)若/(x)為反比例函數(shù)，則［爪:解得：m=-l.

(3)若/(x)為二次函數(shù)，貝0M：+雪一112,解得：山=旦旦.

(m2+2m02

(4)若/(%)為新函數(shù)，則+2m=1,解得：m=-1±V2.

解析：利用正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和幕函數(shù)的定義求解.

本題主要考查了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和塞函數(shù)的定義，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力，

是基礎(chǔ)題.

21.答案：解：(/)a=b=l時(shí)，/(%)=2x2+%,令/(%)=0,解得％=0或%=-鼻，

???/(%)的零點(diǎn)為0,—

(〃)當(dāng)［時(shí)，/(%)=lax2+|x—a+1,

①當(dāng)。=0時(shí)，/(%)=1+1,/(%)為R上的增函數(shù)，/(一$=0，

???當(dāng)%0<-：時(shí)，f(x)<0,符合題意；

40

②當(dāng)。<0時(shí)，/(%)的圖象開(kāi)口向下，顯然存在%0ER,使得/(%0)<0,符合題意；

③當(dāng)a>0時(shí)，/(%)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為X=—奈f(x)mfn=/(—=1—a—

令1-a一卷<0,解得a>|或0Va<$

綜上，a的取值范圍是(一叫3u(|,+8),

(/〃)①若a=0,/(x)=bx+1,

當(dāng)b=0時(shí)，/(%)=1,符合題意，此時(shí)a+b=0；

當(dāng)b>0時(shí)，/(%)在［―1,1］上是增函數(shù)，

所以譏—f(-1)=—b+1之0,則b<1,止匕時(shí)a+b=Z?<1；

當(dāng)b<0時(shí)，/(%)在［―1,1］上是減函數(shù)，

所以/(%)7n譏=f(l)=b+1>0,則一1<6<0,此時(shí)a+b=b<0；

②若Q>0,/(%)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為X=-白，

當(dāng)一?4—1,即4a—b<0時(shí)，/(%)在［—1,1］上是增函數(shù)，f(x)i=f(—1)——b+1>0,所以b—

4amn

a<1；

(4a-b<0(0<a<-

由,b—a41得,43所以a+bWI；

(a〉0也W］

當(dāng)—V>1,即4a+bW0時(shí)，f(x)在［—1,1］上是減函數(shù)，f(x)min=f(1)=a+￡>+l>0,所以—a—

b<1-,

'4a+b<0(0<a<-

由一4_63］得｛43所以a+%<：;

.a>0<^<0

當(dāng)—1<—9