1.（2010遼寧）設(shè)橢圓：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，直線的傾斜角為60o，．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如果=，求橢圓的方程．【解析】設(shè)，由題意知＜0，＞0.（Ⅰ）直線的方程為，其中.聯(lián)立得解得因?yàn)?，所?即得離心率．（Ⅱ）因?yàn)?，所?由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為2.（2013安徽）如圖，分別是橢圓：+=1（）的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的頂點(diǎn)，是直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)，=60°．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）已知△的面積為40，求a,b的值．【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）設(shè)；則在中，面積3.(2014新課標(biāo)1)已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程．【解析】（Ⅱ）．4.（2010安徽文）橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率求橢圓E的方程；求∠F1AF2的角平分線所在直線的方程.解：（1）設(shè)橢圓E的方程為由e=EQ\F(1,2)，得EQ\F(c,a)=EQ\F(1,2)，b2=a2-c2=3c2.∴將A（2,3）代入，有，解得：c=2,橢圓E的方程為（Ⅱ）由(Ⅰ)知F1（-2,0），F(xiàn)2（2,0），所以直線AF1的方程為y=EQ\F(3,4)(X+2)，即3x-4y+6=0.直線AF2的方程為x=2.由橢圓E的圖形知，∠F1AF2的角平分線所在直線的斜率為正數(shù).設(shè)P（x，y）為∠F1AF2的角平分線所在直線上任一點(diǎn)，則有若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率為負(fù)，不合題意，舍去.于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0.所以∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為2x-y-1=0.5.(2015浙江理)已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．解：（1）由題意知，可設(shè)直線的方程為.由消去，得.因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以。 ①將線段中點(diǎn)代入直線方程解得。 ②由①②得或。（2）令，則，且到直線的距離為。設(shè)的面積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故面積的最大值為.6.（2016全國(guó)1）設(shè)圓的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.解：（Ⅰ）因?yàn)椋?，故，所以，?又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以.由題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：（）.（Ⅱ）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，.由得.則，.所以.過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線：，到的距離為，所以.故四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時(shí)，四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時(shí)，其方程為，，，四邊形的面積為12.綜上，四邊形面積的取值范圍為.7.（2014安徽）設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，（Ⅰ）若的周長(zhǎng)為16，求；（Ⅱ）若，求橢圓的離心率．【解析】：（Ⅰ）由得。因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為16，所以由橢圓定義可得故。（Ⅱ）設(shè)，則且，由橢圓定義可得在中，由余弦定理可得即化簡(jiǎn)可得，而，故于是有，因此，可得故為等腰直角三角形．從而，所以橢圓的離心率．8.（2015安徽）設(shè)橢圓的方程為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段上，滿足，直線的斜率為．（Ⅰ）求的離心率；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的方程．【解析】（1）由題設(shè)條件知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，從而，進(jìn)而得，故．（2）由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果可得，直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．又點(diǎn)在直線上，且,從而有，解得，所以，故橢圓的方程為．9.(2016全國(guó)3)已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).（I）若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ；（II）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.解：由題設(shè).設(shè)，則，且.記過(guò)兩點(diǎn)的直線為，則的方程為......3分（Ⅰ）由于在線段上，故.記的斜率為，的斜率為，則.所以.......5分（Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則.由題設(shè)可得，所以（舍去），.設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為.當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得.而，所以.當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合.所以，所求軌跡方程為.10.已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱。解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對(duì)稱兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得，即，，這就是弦中點(diǎn)軌跡方程。它與直線的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)聯(lián)立，得則必須滿足，即，解得11. 已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點(diǎn)，為橢圓的中心.求證：直線和直線的斜率之積是定值.證明 設(shè)且，則，（1），（2）得：，，.又，，（定值）.12.已知,橢圓C過(guò)點(diǎn)A（1,）,兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1,0）,（1,0）.（1）求橢圓C的方程；（2）E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值.【答案】（1）；（2）.試題分析：（1）由c=1,利用待定系數(shù)法設(shè)橢圓方程為,代入A可得橢圓方程為；（2）直線AE方程為,代入消去得,設(shè)E（,）,F（,）則由根與系數(shù)的關(guān)系得,,直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),在上式中以-k代替k,可得,,故直線EF的斜率.試題解析：（1）由題意,c=1,可設(shè)橢圓方程為.因?yàn)锳在橢圓上,所以,解得=3,=（舍去）.所以橢圓方程為.13.（2007年高考全國(guó)卷Ⅰ）如圖6，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且。求四邊形面積的最小值。解

由方程可知，，則。設(shè)直線與軸的夾角為，因?yàn)?，所以直線與軸

QPNMFO的夾角為。代入弦長(zhǎng)公式得，QPNMFO所以四邊形面積的最小值為。14.(全國(guó)卷II)、、、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值．解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過(guò)點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+2－1=0設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則從而亦即(1)當(dāng)≠0時(shí)，MN的斜率為－，同上可推得故四邊形面積令=得∵=≥2當(dāng)=±1時(shí)=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)∴②當(dāng)=0時(shí)，MN為橢圓長(zhǎng)軸，|MN|=2，|PQ|=?！郤=|PQ||MN|=2綜合①②知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。15.（2013全國(guó)2）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：eq\O(\s\UP7(x2),—,\s\DO6(a2))+\O(\s\UP8(y2),—,\s\DO7(b2))=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)的直線x+yeq\R(,3)=0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為eq\F(1,2).（Ι）求M的方程（Ⅱ）C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD的面積最大值.【解】（Ⅰ）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)?eq\b\lc\{(\a\al\co1(b2x\O(2,1)+a2y\O(2,1)=a2b2,b2x\O(2,2)+a2y\O(2,2)=a2b2))?eq\F(y1-y2,x1-x2)=eq\F(b2(x1+x2),a2(y1+y2))?kAB=eq\F(b2x0,a2y0)OP的斜率為eq\F(1,2)?eq\F(x0,y0)=2，直線x+yeq\R(,3)=0的斜率為1?kAB=1?1=eq\F(2b2,a2)?a2=2b2……=1\*GB3①由題意知直線x+yeq\R(,3)=0與x軸的交點(diǎn)F(eq\R(,3)，0)是橢圓的右焦點(diǎn)，則才c=eq\R(,3)?a2b2=3……=2\*gb3②聯(lián)立解得=1\*GB3①、=2\*gb3②解得a2=6，b2=3所以M的方程為：eq\O(\s\UP7(x2),—,\s\DO6(6))+eq\O(\s\UP8(y2),—,\s\DO7(3))=1（Ⅱ）聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\al\co1(x+y\R(,3)=0,\O(\s\UP7(x2),—,\s\DO6(6))+\O(\s\UP8(y2),—,\s\DO7(3))=1))，解得A(eq\F(4\R(,3),3),eq\F(\R(,3),3))、B(0,eq\R(,3))，求得|AB|=eq\F(4\R(,6),3)依題意可設(shè)直線CD的方程為：y=x+mCD與線段AB相交?eq\F(5\R(,3),3)<m<eq\R(,3)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\al\co1(y=x+m,\O(\s\UP7(x2),—,\s\DO6(6))+\O(\s\UP8(y2),—,\s\DO7(3))=1))消去x得：3x2+4mx+2m26=0……(*)設(shè)C(x3,y3)，D(