2020高考數(shù)學全套知識點（通用版）

i.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

如：集合A={x|y=Igx},B={y|y=lgx},C={（x,y）|y=Igx},A、C中元素

各表示什么？

2.進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A=[lx?-2x-3=0},B={x|ax=l}

若BuA,則實數(shù)a的值構(gòu)成的集合為

（答:{-1，0,小

3.注意下列性質(zhì)：

（1）集合{a〃a2,……，a"}的所有子集的個數(shù)是2、

（3）德摩根定律：

Cu（AUB）=（CuA）A（CuB）,Cu（Af1B）=（CUA）U（G；B）

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

的取值范圍。

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”（v）,“且"（A）和“非”（f.

若p人q為真，當且僅當p、q均為真

若pvq為真，當且僅當p、q至少有一個為真

若「P為真，當且僅當p為假

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

(互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。)

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對

應元素的唯一性，哪幾種對應能構(gòu)成映射？

(一對一，多對一，允許B中行元素無原象)

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？

(定義域、對應法則、值域)

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

10.如何求復合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是[a,b],b>-a>0,則函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x)的定義域是

(答：[a,-a])

11.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

（一一對應函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

（①反解x：②互換x、y；③注明定義域）

l+x(x>0)

如：求函數(shù)f（x）="，:J的反函數(shù)

-x2(X<0)

x-l(x>l))

(答：f-'(x)h

—(x<o)

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性;

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性?

（取值、作差、判正負）

如何判斷復合函數(shù)的單調(diào)性？

)

15.如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間(a,b)內(nèi)，若總有f，(x)WO則f(x)為增函數(shù)。(在個別點上導數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性)，反之也對，若f'(x)40呢？

值是()

A.OB.1C.2D.3

由已知f(x)在[1,+8)上為增函數(shù)，則,[41，即a43

，a的最大值為3)

16.函數(shù)兀v)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關(guān)于原點對稱)

若f(-x)=-f(x)總成立of(x)為奇函數(shù)o函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱

若f(-x)=f(x)總成立of(x)為偶函數(shù)=函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

(1)在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一

個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

函數(shù)，T是一個周期。）

如:

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(-x)的圖象關(guān)于網(wǎng)_對稱

f(x)與-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱

f(x)與-f(-x)的圖象關(guān)于里對稱

￡篡)與「魚)的圖象關(guān)于直線y=x對稱

￡。)與￡(22-*)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

f(x)與-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱

將y=f(x)圖象左移a(a>0)個單位>丫='汽+a)

右移a(a>0)個單位y=f(x-a)

上移b(b>0)個單位：y-f(x+a)+b

下移b(b>0)個單位y=f(x+a)-b

注意如下“翻折”變換:

y=log2X

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(1)一次函數(shù)：y=kx+b(kwO)

(2)反比例函數(shù)：y=5(kH())推廣為y=b+占(kw())是中心O，(a,b)的雙曲線。

(3)二次函數(shù)丫=ax?+bx+c(ax0)=a［x+￡1+寫聲圖象為拋物線

應用：①“三個二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系一一二次方程

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

③求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

A>0

』>k

如：二次方程ax?+bx+c=O的兩根都大于ko,

2a

f(k)>0

由圖象記性質(zhì)?。ㄗ⒁獾讛?shù)的限定！）

(6)“對勾函數(shù)"y=x+^(k>0)

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？

20.你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？

loga—=logaM-log.,N,logaA/M=—logaM

Nn

21.如何解抽象函數(shù)問題？

（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

(2)xeR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。

22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)

性法，導數(shù)法等。）

如求下列函數(shù)的最值:

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為a,半徑為R的弧長公式和扇形面積公式

嗎？

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

又如：求函數(shù)y=1-V^cos^-xj的定義域和值域。

(*.*1-V2co?T-xj)=1-V2sinx>0

/.sinx<，如圖：

2

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點、

對稱軸嗎？

y=sinx的增區(qū)間為2k7t—~7T,2_kji+—TC(/,k￡Z)\

減區(qū)間為21＜兀+0，2kK+—(keZ)

22

圖象的對稱點為(kir,0),對稱軸為x=kn+^(keZ)

y=cosx的增區(qū)間為［2km2kn+兀|(kGZ)

減區(qū)間為［2k7T+m2k兀+2可(k￡Z)

圖象的對稱點為(k兀+3,0J,對稱軸為X=k7l(k￡Z)

y=tanx的增區(qū)間為(卜兀一［?,k7i+kGZ

26.正弦型函數(shù)y=Asin(o)x+cp)的圖象和性質(zhì)要熟記。［或y=Acos(cox+叫

(1)振幅|A|,周期丁=瑞2冗

若f(xo)=土A,貝Ijx=x0為對稱軸。

若f(x0)=O,則(x0,0)為對稱點，反之也對。

(2)五點作圖：令cox+(p依次為0,不兀，當，2兀，求出x與y,依點(x,y)作

圖象。

(3)根據(jù)圖象求解析式。(求A、①、中值)

解條件組求3、中值

△正切型函數(shù)y=Atan((ox+(p),1=六

27.在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面一一先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角

的范圍。

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意(到)運用函數(shù)的有界性了嗎？

29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？

(平移變換、伸縮變換)

平移公式：

(1)點P(x,y)—=("k)>p,(X，，y'),貝

平移至[y'=y+k

(2)曲線f(x,y)=0沿向量；=(h,k)平移后的方程為f(x-h,y-k)=O

如：函數(shù)y=2sin(2x-0-l的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)=sinx的圖象？

30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導公式了嗎？

“k?尹a”化為a的三角函數(shù)一“奇變，偶不變，符號看象限”，“奇一偶

指k取奇、偶數(shù)。

9兀

如：cos——

4

又如：函數(shù)y=sma+tana,貝打的值為

cosa+cota

A.正值或負值B.負值C.非負值D.正值

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降嘉公式及其逆向應用了嗎？

理解公式之間的聯(lián)系:

應用以上公式對三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含

三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）

具體方法：

（1）角的變換：如|3=（a+B）-a,=[a-切....

（2）名的變換：化弦或化切

（3）次數(shù)的變換：升、降暴公式

（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運用代數(shù)運算。

如：已知,.；nac;a=tan(a-13)=-g,求tan(|3-2a)的值。

，上一1""口sinacosacosa,.1

(由已知得：-----；—=------=1,..tana=-

2sin-a2sina2

2_l

/、Itan(B-a)-tana3一2」）

/.tan(p-2a)=tan[(p-a)-al=----——---------

'>LW/」l+tan(p-a).tana

32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形?

（應用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）

[a=2RsinA

正弦定理：-^―=—=-^―=2R<?Jb=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

(1)求角c；

((1)由已知式得：1-COS(A+B)+2COS2C-1=1

⑵由正弦定理及屋=目+卡得:

33.用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。

反正弦：arcsinxe--,—xG[-L1]

L22.

反余弦：arccosxG[0,兀Xe[-b1]

反正切：arctanxe(-(xeR)

34.不等式的性質(zhì)有哪些？

答案：c

35.利用均值不等式：

a?+b222ab(a,beR")；a+b>2Vab:ab4(&；求最值時，你是否注

意到“a,beR，"且''等號成立”時的條件，積(ab)或和(a+b)其中之一為定值？(一正、

二定、三相等)

注意如下結(jié)論：

當且僅當a=b時等號成立。

,,4

如：若x>0,2-3x--的最大值為

x---------

當且僅當3x=±又x>0,=”■時，ymax=2-473)

(V2X+22y>2砂+2y=2亞，/.最小值為2后)

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法等)

并注意簡單放縮法的應用。

37.解分式不等式募號>a（a#0）的一般步驟是什么？

（移項通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。）

38.用“穿軸法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

39.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？

（找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|X-3HX+1]<1

（解集為卜|x>$）

41.會用不等式|a|-|b區(qū)|a土b|4|a|+|b|證明較簡單的不等問題

如：設(shè)f（x）=x'-x+13,實數(shù)a滿足|x-a|vl

證明:

(按不等號方向放縮)

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？(可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題)

如:a<f(x)恒成立<=>a<f(x)的最小值

a>f(x)恒成立oa>f(x)的最大值

a>f(x)能成立。a>f(x)的最小值

例如：對于一切實數(shù)x,若|x-三+卜+2|>卻亙成立，貝人的取值范圍是

(設(shè)u=|x-3|+|x+2],它表示數(shù)軸上到兩定點-2和3距離之和

43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：a0+1-a。=d(d為常數(shù))，a?=a,+(n-l)d

等差中項：x,A,y成等差數(shù)列Io2A=x+y

,,h,(a,+a?)nn(n-l)

前n項和=口一=na,+△——zd

22

性質(zhì)：｛an｝是等差數(shù)列

(2)數(shù)列｛a211Tb｛a2n｝,｛ka°+b｝仍為等差數(shù)列；

(3)若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d,a,a+d：

（4）若an,b.是等差數(shù)列S/T.為前n項和，則皂^=基2；

bmTzm-I

（5）｛an｝為等差數(shù)列oSn=aM+bn（a,b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二

次函數(shù)）

S”的最值可求二次函數(shù)Sn=an?+bn的最值；或者求出｛an｝中的正、負分界項，即：

a>0

當％>0,d<0,解不等式組"一八可得5?達到最大值時的n值。

a

ln+i<0

當為<0,d>0,由（鐮-°八可得S0達到最小值時的n值。

如：等差數(shù)列｛a0｝,Sn=18,an+an_1+an_2=3,$3=1,貝Un=

44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

等比中項：x、G、y成等比數(shù)列=>G?=xy,或G=±歷

叫(q=1)

前n項和：S="a.p-q"（要注意！）

n（

1-qq*D

性質(zhì)：｛an｝是等比數(shù)列

(2)S.,S2n-Sn,S3n-S2n仍為等比數(shù)列

45.由S0求a0時應注意什么？

（n=l時，a,=Sj,n22時，an=Sn-Sn_,）

46.你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？

例如：（1）求差（商）法

如：｛aj滿足于1+齊a?+.......+^ran-2n+5<1>

解：

n22時,2a1+2｝&2+.......+^Tan-i-2n-l+5<2>

[練習]

數(shù)列｛aj滿足S"+S"]=艮+1,a1=4,求a”

（注意到a向=$向-$?代入得：要=4

5n

又S1=4,...｛Sj是等比數(shù)歹U，S?=4"

n-2時，an=S?-Sn,,=……=3?4"T

（2）疊乘法

例如：數(shù)列｛a_｝中，a1=3,==」一，求2?

a?n+1

解：

（3）等差型遞推公式

由an-a-]=f（n）,a,=a0,求a」用迭加法

n>2時，a2-a,=f(2)

a-a=f(3)

32卜兩邊相加，得:

an-a?_!=f(n)

［練習］

數(shù)列｛aj，a1=1,a0=3"T+a.|(nN2),求a“

(4)等比型遞推公式

an=ca^T+d(c、d為常數(shù)，cwO,cwl,dwO)

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an+x=c(aI1T+x)

+等)是首項為

a,c為公比的等比數(shù)列

［練習］

數(shù)列｛a_｝滿足aj=9,3an+l+an=4,求a”

(5)倒數(shù)法

2a

例如：a,=han+1=—、，求a”

a?+2

由已知得：—

^n+Ia

^n2an

為等差數(shù)列，-=1.公差為!

2

47.你熟悉求數(shù)列前n項和的常用方法嗎？

例如：（1）裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。

如：｛aj是公差為d的等差數(shù)列，求之1

aa

k=lkk+l

解:

［練習］

求和：1+」一+————+....+--------!--------

1+21+2+31+2+3+,+n

（2）錯位相減法：

若｛aj為等差數(shù)列，｛b.｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛a。、｝（差比數(shù)列）前n項

和，可由S0-qS”求S”，其中q為｛b“｝的公比。

（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。

S=a.+a+........4-a.+a,

n"'92nnn'相加

s?=a?+a?_,+.........+a2+a,

［練習］

//I,

1

（由f（x）+f------------1----------------------------

22H----------7

1+X]1+x1+X

...原式=K1）+f（2）+f（；）+f（3）+f（J+f（4）+f（；）

48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r,n期后，本利和為:

△若按復利，如貸款問題一一按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款一一分期等額

歸還本息的借款種類）

若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）

后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復利），那么每期應還

X元，滿足

p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)

49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

(m,為各類辦法中的方法數(shù))

分步計數(shù)原理：N=m,?m,......mn

(m,為各步驟中的方法數(shù))

(2)排列：從n個不同元素中，任取m(mWn)個元素，按照一定的順序排成一

列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為A：

(3)組合：從n個不同元素中任取m(mWn)個元素并組成一組，叫做從n個不

規(guī)定：C°=1

(4)組合數(shù)性質(zhì)：

50.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少

問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。

如：學號為1,2,3,4的四名學生的考試成績

則這四位同學考試成績的所有可能情況是()

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成兩類：

(1)中間兩個分數(shù)不相等，

(2)中間兩個分數(shù)相等

相同兩數(shù)分別取90,91,92,對應的排列可以數(shù)出來，分別有3,4,3種，.?.有10

種。

共有5+10=15(種)情況

51.二項式定理

C：為二項式系數(shù)(區(qū)別于該項的系數(shù))

性質(zhì)：

(1)對稱性：C：=C；r(r=0,1,2,....,n)

(2)系數(shù)和：C：+C；+…+C：=2"

(3)最值：n為偶數(shù)時，n+1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第

(5+1)項，二項式系數(shù)為C：；n為奇數(shù)時，(n+1)為偶數(shù)，中間兩項的二項式

系數(shù)最大即第HI項及第3+1項，其二項式系數(shù)為C“2=CJ

22

如：在二項式（X-1）”的展開式中，系數(shù)最小的項系數(shù)為（用數(shù)字表示）

共有12項，中間兩項系數(shù)的絕對值最大，且為第1上?=6或第7項

2

由C；i"T（-l）r,.?.取r=5即第6項系數(shù)為負值為最?。?/p>

2<XM220t

又如：(l-2x)=a()H-a^+a^+.......+a201Mx"(xeR),則

a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+……+(a0+a2OO4)=(用數(shù)字作答)

令x=l，得：a0+a2+........+a2004=1

原式=2003a。+（a+a.+........+a.）=2（X）3xl+l=2（X）4）

U\0UIXLAJH/

52.你對隨機事件之間的關(guān)系熟悉嗎？

（1）必然事件C,P（￡l）=1,不可能事件相P（（|））=0

（2）包含關(guān)系：AuB,“A發(fā)生必導致B發(fā)生”稱B包含A。

（3）事件的和（并）：A+B§gAUB“A與B至少有一個發(fā)生”叫做A與B的和

（并）。

（4）事件的積（交）：A?B或APIB“A與B同時發(fā)生”叫做A與B的積。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。

(6)對立事件(互逆事件)：

“A不發(fā)生”叫做A發(fā)生的對立(逆)事件，AAUA=Q,AnA=<t>

(7)獨立事件：A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨

立事件。

A與B獨立，A與后，五與B,A與否也相互獨立。

53.對某一事件概率的求法：

分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列組合的方法，即

口,八A包含的等可能結(jié)果m

一次試驗的等可能結(jié)果的總數(shù)n

(2)若A、B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)

(3)若A、B相互獨立,則P(A?B)=P(A)?P(B)

(4)P(A)=1-P(A)

(5)如果在一次試驗中A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復試驗中A恰好發(fā)生

如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

(1)從中任取2件都是次品：

(2)從中任取5件恰有2件次品;

(3)從中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次(每次抽1件)，...n=103

而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”

?42?6+4344

103125

(4)從中依次取5件恰有2件次品。

解析：?.?一件一件抽取(有順序)

分清(1)、(2)是組合問題，(3)是可重復排列問題，(4)是無重復排列問題。

54.抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機數(shù)表法)常常用于總體個數(shù)較少時,

它的特征是從總體中逐個抽??；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征是均衡

成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中

有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等

性。

55.對總體分布的估計一一用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望(平均值)和

方差去估計總體的期望和方差。

要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

(2)決定組距和組數(shù)：

(3)決定分點；

(4)列頻率分布表；

(5)畫頻率直方圖。

其中，頻率=小長方形的面積=組距x慧

組距

樣本平均值：x=—（X1+X2+...+Xn）

樣本方差：S2=:[（X]—又）2+區(qū)_天）2+……+（X?-X）2]

如：從10名女生與5名男生中選6名學生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組

成此參賽隊的概率為。

56.你對向量的有關(guān)概念清楚嗎？

（1）向量一一既有大小又有方向的量。

（2）向量的?！邢蚓€段的長度，|a|

(3)單位向量|a()|=l,ao=一

|a|

(4)零向量0,|0|=0

長度相等一：

（5）相等的向量oa=b

方向相同

在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。

（6）并線向量（平行向量）一一方向相同或相反的向量。

規(guī)定零向量與任意向量平行。

b〃a（bH0）o存在唯一實數(shù)九，使b=^a

（7）向量的加、減法如圖:

(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

的一組基底。

(9)向量的坐標表示

；是一對互相垂直的單位向量，則有且只有一對實數(shù)x,y,使得

a=xi+yj,稱(x,y)為向量a的坐標，記作：a=(x,y),即為向量的坐標

表示。

57.平面向量的數(shù)量積

—>—>—>—>—>—>

(1)a?b=|a|?|b|cos。叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)。

數(shù)量積的幾何意義：

-?—>—>―?—>

a?b等于|a|與b在a的方向上的射影|b|cosO的乘積。

(2)數(shù)量積的運算法則

注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律(a?b)?ca?(b?c)

(3)重要性質(zhì)：設(shè)a=(x］,yj,b=(x2,y2)

—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

(2)ab?a?b=|a|?|b|或a?b=-|a|?|b|

->—>—>

<=>a=Xb(bwO,九惟一確定)

［練習］

—>—>—>->―>->

(1)已知正方形ABCD,邊長為1,AB=a,BC=b,AC=c,貝！J

答案：

(2)若向量a=(x,1),b=(4,x),當*=___時a與匕共線且方向相同

答案：2

-＞―?__＞—＞

（3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°,那么|a+3b|=

答案：

58.線段的定比分點

設(shè)I“X1,yj,P2（x2,y2）,分點P（x,y）,設(shè)P?是直線/上兩點，P點在

/上且不同于B、P2,若存在一實數(shù)入，使還=入范，則九叫做P分有向線段

諾2所成的比C＞0,P在線段PF2內(nèi)，九＜0，P在PF2外），且

如：AABC,A（X],yj,B（x2,y2）,C（x3,y3）

則AABC重心G的坐標是（'I+；+X3,%+,+丫3）

X.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？

59.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？

平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線〃線＜~~＞線〃面＜~＞面〃面

判定-＞線，線《一＞線工面＜一＞面_1_面＜.1質(zhì).

線〃線＜＞線＞1_面＜_＞面〃面

線面平行的判定:

a〃b,bu面a,azana〃面a

a

線面平行的性質(zhì):

三垂線定理（及逆定理）:

PAJ_面a,AO為PO在a內(nèi)射影，au面a,則

線面垂直:

面面垂直：

a_L面a,au面B=>p_La

面a_L面0,aAp=/,aua,a_L/=a_Lp

a_L面a,1>_1面。=2〃5

面a_La,而p_Lana〃p

60.三類角的定義及求法

(1)異面直線所成的角0,0°<0<90°

(2)直線與平面所成的角0,0°W。W90°

(3)二面角：二面角a-/-0的平面角。，0°<0<180°

(三垂線定理法：Ada作或證ABJ.B于B,作BOJ_棱于O,連AO,則AO_L棱/,

ZAOB為所求。)

三類角的求法：

①找出或作出有關(guān)的角。

②證明其符合定義，并指出所求作的角。

③計算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。

［練習］

(1)如圖，OA為a的斜線OB為其在a內(nèi)射影，OC為a內(nèi)過O點任一直線。

(0為線面成角，ZAOC=Y，ZBOC=P)

(2)如圖，正四棱柱ABCD—AiBCiDi中對角線BDi=8,BDi與側(cè)面BiBCG所成

的為30°。

①求BD,和底面ABCD所成的角：

②求異面直線BDi和AD所成的角；

③求二面角Ci—BD,—B,的大小。

(3)如圖ABCD為菱形，ZDAB=60°,PDJ_而ABCD,且PD=AD,求面PAB

與面PCD所成的銳二面角的大小。

(VAB/7DC,P為面PAB與面PCD的公共點，作PF〃AB,則PF為面PCD與面PAB

的交線……)

61.空間有幾種距離？如何求距離？

點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。

將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長(如：三垂線定理

法，或者用等積轉(zhuǎn)化法)。

如：正方形ABCD—AiBiGDi中，棱長為a,則：

(1)點C到面ABiC,的距離為；

(2)點B到面ACBi的距離為；

(3)直線A,D|到面ABiC,的距離為；

(4)面ABC與面AiDC,的距離為:

(5)點B到直線AICI的距離為o

62.你是否準確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？

正棱柱一一底面為正多邊形的直棱柱

正棱錐——底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：

RtASOB,RtASOE,RtABOE和RtASBE

它們各包含哪些元素？

S正棱錐側(cè)=:(2?11'(C-----底面周長，h'為斜高)

V錐=g底面積X高

63.球有哪些性質(zhì)？

(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面r=7R2-(12

(2)球面上兩點的距離是經(jīng)過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角!

(3)如圖，。為緯度角，它是線面成角；a為經(jīng)度角，它是面面成角。

(4)S球=4TIR2,V球=-7iR3

鄧環(huán)3

(5)球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r

之比為R：r=3：lo

如：一正四面體的棱長均為VL四個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為

()

A.3nB.4nC.3/兀D.6n

答案：A

64.熟記下列公式了嗎？

(1)/直線的傾斜角aw[0,兀)，k=tana=X~—fa,X)x2j

L7

x2