隨機變量§2.2幾種常用分布為了全面地研究隨機試驗的結果，揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，有必要引入隨機變量的概念。設E為隨機試驗，其樣本空間為Ω={e}是基本事件的集合，若對每一個基本事件或樣本點e

Ω

有一個實數X(e)與之對應，這樣就得到一個定義在Ω

上的單值實函數X(e)，稱X(e)為隨機變量，簡記為X。引入隨機變量后，任何隨機事件均可通過隨機變量來表示。隨機變量建立隨機變量的概念后，就可以把一個個孤立的隨機試驗結果（事件）通過隨機變量聯(lián)系起來，去研究它們的概率分布及隨機試驗的全部結果，就可能用數學分析的方法來研究整個隨機試驗。隨機變量的分布函數定義：設X是一個隨機變量，x是任意實數，函數稱為X的分布函數。對于任意實數x1，x2（x1<x2

）,有若已知X的分布函數，就可以知道X落在區(qū)間（x1，x2]上的概率，從這個意義上來說，分布函數完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。分布函數是普通函數，正是通過它我們能用數學分析的方法來研究隨機變量。分布函數的性質1.分布函數是不減函數對任意實數x1，x2（x1<x2

）2.3.分布函數是右連續(xù)的隨機變量的概率密度定義：如果對于隨機變量X

的分布函數F(x)，存在非負函數f(x)，使得對于任意實數x有則稱X為連續(xù)型隨機變量，函數f(x)稱為X的概率密度函數，簡稱概率密度概率密度的性質1.2.3.對任意實數x1，x2（x1<x2

）4.若f(x)在x

點連續(xù)，則有隨機變量的概率密度隨機變量的數字特征1.數學期望(代表值)對于離散型隨機變量其定義來自于加權平均的概念對于連續(xù)型隨機變量2.方差與標準差（分散度）3.變異系數（變差系數）當均值一定時，標準差是實驗數據分散度的度量標準。標準差的計算是以均值為基準的，因此僅僅根據標準差還不能充分說明分散度的大小。當標準差相同而均值不同時，其相對分散度是不同的。在統(tǒng)計分析中，常采用復合的特征數—變異系數C例：對標準產品M8螺栓進行靜載拉伸試驗，已知螺栓為滾壓螺紋，強度等級4.8級；試驗時預緊力不加控制；樣本容量n=14。試驗結果：螺栓的破斷拉伸應力為475.4,478.7,483.6,489.1,497.3,502.7,502.7,510.9,516.4,519.1,519.1,524.6,530.1,543.7(N/mm2)。試計算該樣本的均值、標準差及變異系數。解：變異系數31.均勻分布則稱X在(a,b)內服從均勻分布。記作X~U(a,b)對任意實數c,d(a<c<d<b)，都有§2.2幾種常用分布f(x)0ab若一、二項分布（貝努里分布）某車間有10臺7.5千瓦的機床，如果每臺機床使用情況是相互獨立的，且每臺機床平均每小時開動12分鐘，問全部機床用電超過48千瓦的可能性是多少？某系統(tǒng)平均無故障工作時間T＝1000h，在1500h的任務期內需要備件更換，現(xiàn)只有3個備件，問能達到的可靠度是多少？2.指數分布則稱X服從參數為

>0的指數分布。其分布函數為若若產品的失效概率密度為指數分布，則

即代表其失效率f(x)x0例.機械零件的壽命X(年）服從參數為3的指數分布(1)求該機械零件壽命超過2年的概率。(2)已知該機械零件已使用了1.5年，求它還能使用2年的概率為多少？解：(1)(2)指數分布無記憶性（無后效性）正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布正態(tài)分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布其中

為實數，

>0，則稱X服從參數為(

,

2)的正態(tài)分布,記為N(

,

2)，可表為X～N(

,

2).若隨機變量

f(x)0x(1)單峰對稱密度曲線關于直線x=

對稱；正態(tài)分布有兩個特性：f(x)

0x(2)

的大小直接影響概率的分布

越大，曲線越平坦，

越小，曲線越陡峻，f(x)μ0x0.50.40.30.20.1-2246N(3,4/5)N(3,1)N(3,5/4)4.標準正態(tài)分布參數

＝0，

2＝1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。f(x)μ0x0.40.30.20.1-224-4分布函數表示為其密度函數表示為一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布表供讀者查閱

(x)的值。如，若Z~N(0,1),

(0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)

(x)＝1－

(－x)；(2)若X～N(

,

2)，則設X

N(

,

2),求P{

-3

<X<

+3

}本題結果稱為3

原則.在工程應用中，通常認為P{|X|≤3}=0.9974≈1.

如在質量控制中，常用標準指標值±3

作兩條線，當生產過程指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報.表明生產出現(xiàn)異常.例P{|X|≤3}即Z=±3電車門高度是按男子碰頭的機會少于1％來設計的。假設穿皮鞋的男子的平均身高為178cm，標準差為6cm，問車門高度應設計成多大尺寸。多少人中會有一人身高達到226cm?設男子的平均身高為175cm，標準差為6cm，女子的平均身高為163cm，標準差為5cm。問偶然相遇的一對男女中，女子高于男子的概率是多少？若X為隨機變量，且隨機變量Y=lnX服從正態(tài)分布N(μ,σ2),即5對數正態(tài)分布則稱X是一個對數正態(tài)分布變量，X=eY服從對數正態(tài)分布，其概率密度函數為：正態(tài)分布的密度元為將y=lnx，dy=dx/x代入上式σ=1.6σ=0.5σ=0.2f(x)0x21340.81.6對數正態(tài)分布的密度函數曲線（μ=0）對數正態(tài)分布的密度函數曲線是單峰的且是偏態(tài)的對數正態(tài)分布的分布函 數同樣，可令可將上式轉化為標準正態(tài)分布μ

和σ既不是對數正態(tài)分布的位置參數和尺度參數，也不是其均值和標準差，而是它的“對數均值”和“對數標準差”。對數正態(tài)分布的數字特征對數正態(tài)分布的可靠度函數若隨機變量X在[0,∞)上取值，具有概率密度函數則稱X服從三參數為(m,η,γ)的威布爾分布，記為X~W(m,η,γ)m形狀參數η

尺度參數γ

位置參數6威布爾（Weibull）分布三參數威布爾分布的分布函數1/ηm=0.5m=1m=1.5m=2m=3η

=1，γ

=1f(t)0t2134形狀參數m的大小，決定了威布爾分布密度函數曲線的形狀m>1時，趨向呈單峰性，峰高隨m減小而降低，m=3~4時與正態(tài)分布近似；m=1時，為二參數指數分布；與t=γ

相交于縱坐標為1/η處。m<1時，密度函數曲線與t=γ

相交不相交，而是與之漸進1/η

η

=1，γ

=1m=0.5m=1m=1.5m=2m=3f(t)0t2134位置函數γ

的大小，反映了威布爾分布密度函數曲線的起始點位置在橫坐標上的變化，又稱“起始參數”或“轉移參數”γ

>0時，起點在+x值區(qū)γ

=0時，起點在坐標原點γ

<0時，起點在-x值區(qū)可靠性分析中，γ具有極限值的含義，產品在t=γ以前不會失效，又稱為最小保證壽命。m=