福建省福州市青芝中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，則(

)A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?參考答案：B【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】集合．【分析】先求出集合A，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系可判斷【解答】解：由題意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都屬于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B?A．故選B．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合之間關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)試題．2.設(shè)、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么過兩點(diǎn)，的直線與圓的位置關(guān)系是（

）（A）相離.

（B）相切.

（C）相交.

（D）隨m的變化而變化.參考答案：（理）D3.設(shè)，，則“”是“”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略4.給出下列四個(gè)命題：①垂直于同一平面的兩條直線相互平行；②垂直于同一平面的兩個(gè)平面相互平行；③若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；④若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任一直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：B5.已知函數(shù)f（x）＝，函數(shù)g(x)=f(x）一2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.［一1，3)B.〔-3，一1〕C.［-3，3）D.［一1，1)參考答案：A

【知識點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；分段函數(shù)的應(yīng)用．B9解析：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）﹣2x=，而方程﹣x+3=0的解為3，方程x2+4x+3=0的解為﹣1，﹣3；若函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則，解得，﹣1≤a＜3實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣1，3）．故選：A．【思路點(diǎn)撥】化簡g（x）=f（x）﹣2x=，而方程﹣x+3=0的解為3，方程x2+4x+3=0的解為﹣1，﹣3；從而可得，從而解得．6.過直線上一點(diǎn)引圓的切線，則切線長的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：B7.下列判斷正確的是（

）A.若命題為真命題，命題為假命題，則命題“”為真命題B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.命題“”的否定是“”D.“”是“”的充分不必要條件參考答案：C8.已知集合，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．A1【答案解析】B

解析：∵集合M={x|y=lg（2﹣x）}=（﹣∞，2），N={y|y=+}={0}，故選B．【思路點(diǎn)撥】由題意先化簡集合M，N；再確定其關(guān)系．9.已知平面向量，，且，則=(

)A.–3

B.–1

C.1

D.3參考答案：C10.設(shè)集合，，則等于（

）A.

B.C.

D.參考答案：A試題分析：由，得，解得，由，得，因此，故答案為A.考點(diǎn)：1、指數(shù)不等式的應(yīng)用；2、集合的交集.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：C略12.已知方程在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________．參考答案：略13.在△ABC中，若cos2A＋cos2B＋cos2C＜1，sinB＝，則(tan2A﹣2)sin2C的最小值為_______．參考答案：【分析】由sinB＝，得B＝或，按B＝或分類討論，由二倍角的余弦公式化簡，利用均值不等式求最值即可.【詳解】在ABC中，由sinB＝，所以B＝或，得cos2B＝，當(dāng)B＝，則C＝，所以，cos2A＋cos2C＜，即cos2A＋cos2（）＜，化簡得：，因?yàn)椋詓in2A＞0，即不成立.當(dāng)B＝，則C＝，(tan2A﹣2)sin2C＝＝＝＝＝＝當(dāng)，即時(shí)取等號故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角的余弦公式的應(yīng)用，也考查了均值不等式求最值和分類討論思想，屬于中檔題.14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時(shí)圓上一點(diǎn)的位置在，圓在軸上沿正向滾動(dòng)。當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于時(shí)，的坐標(biāo)為______________.參考答案：因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣弧，即圓心角,,則,所以，，所以，，所以。15.若直線與圓相切，且圓心C在直線l的上方，則ab的最大值為___________．參考答案：25/4

16.已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|lg(2x＋1)＞0}，則M∩N＝

▲

．參考答案：(0,1)17.點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為___________。參考答案：

解析：橢圓為，設(shè)，三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分l2分)PM2．5是指大氣中直徑小于或等于2．5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量的影響很大。我國PM2．5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2．5日均值在35微克／立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克／立方米～75微克／立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克／立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．

某市環(huán)保局從360天的市區(qū)PM2．5監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取l5天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖，個(gè)位為葉)．(1)從這l5天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記表示空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)，求的分布列；(2)以這l5天的PM2．5日均值來估計(jì)這360天的空氣質(zhì)量情況，則其中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級．參考答案：（1）∵,的可能值為0，1，2，3其分布列為…3分0123

…6分（2）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率為一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)為則～,所以(天)……11分一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)為144天………………12分19.在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，過A1、C1、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD﹣A1C1D1，且這個(gè)幾何體的體積為10．（Ⅰ）求棱AA1的長；（Ⅱ）若A1C1的中點(diǎn)為O1，求異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）設(shè)AA1=h，由題設(shè)=﹣，可求出棱長．（Ⅱ）因?yàn)樵陂L方體中A1D1∥BC，所以∠O1BC即為異面直線BO1與A1D1所成的角（或其補(bǔ)角）那么借助于三角形求解得到結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)AA1=h，由題設(shè)=﹣=10，∴即，解得h=3．故A1A的長為3．

（Ⅱ）∵在長方體中，A1D1∥BC，∴∠O1BC為異面直線BO1與A1D1所成的角（或其補(bǔ)角）．在△O1BC中，AB=BC=2，A1A=3，∴AA1=BC1=，=，∴，則cos∠O1BC===．∴異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值為．【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)，線和面間的距離計(jì)算．解題的關(guān)鍵是利用了法向量的方法求點(diǎn)到面的距離．20.（16分）已知m∈R，對p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的兩個(gè)根，不等式|m﹣5|≤|x1﹣x2|對任意實(shí)數(shù)a∈恒成立；q：函數(shù)f（x）=3x2+2mx+m+有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．求使“p且q”為真命題的實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用二次方程的韋達(dá)定理求出|x1﹣x2|，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，求出命題p為真命題時(shí)m的范圍；利用二次方程有兩個(gè)不等根判別式大于0，求出命題Q為真命題時(shí)m的范圍；p且q為真轉(zhuǎn)化為兩個(gè)命題全真，求出m的范圍．【解答】解：由題設(shè)x1+x2=a，x1x2=﹣2，∴|x1﹣x2|==．當(dāng)a∈時(shí)，的最小值為3．要使|m﹣5|≤|x1﹣x2|對任意實(shí)數(shù)a∈恒成立，只須|m﹣5|≤3，即2≤m≤8．由已知，得f（x）=3x2+2mx+m+=0的判別式△=4m2﹣12（m+）=4m2﹣12m﹣16＞0，得m＜﹣1或m＞4．綜上，要使“p且q”為真命題，只需P真Q真，即，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是（4，8]．【點(diǎn)評】本題考查二次方程的韋達(dá)定理、二次方程有根的判斷、復(fù)合命題的真假與構(gòu)成其簡單命題的真假的關(guān)系能及恒成立問題，屬于中檔題．21.（本小題滿分13分）

如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1，ACC1A1均為正方形，，點(diǎn)D是棱BC的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：平面BCC1B1；

（Ⅱ）求證：A1B//平面AC1D；

（Ⅲ）求平面AC1D與平面ACC1A1所成的銳二面角的余弦值。參考答案：解：（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形所以所以平面

……………1分因?yàn)槠矫?，所?/p>

………………2分又因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以

………3分因?yàn)?所以平面

………………4分（Ⅱ）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)闉檎叫?，所以為中點(diǎn)又為中點(diǎn)，所以為中位線所以

…………6分因?yàn)槠矫妫矫?/p>

所以平面………8分

(Ⅲ)解：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形，

所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系設(shè)，則

………………9分設(shè)平面的法向量為，則有，，所以取，得

………………10分又因?yàn)槠矫嫠云矫娴姆ㄏ蛄繛椤?1分

………12分所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值………………13分略22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰的兩