湖北省重點高中智學(xué)聯(lián)盟2023年秋季高三年級10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題學(xué)校：新洲一中（邾城校區(qū)）命題人：黃宏斌審題人：陳雙雄一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一A.M=NB.M∪N=NC.N?MD.M∩N=?2.已知命題p：?x∈?1,3，x2?a?3≤0.若p為假命題，則a的取值范圍為()3.已知a<b<c且a+2b+4c=0，則的取值范圍是()A.(?∞,)B.(,1)C.(0,)D.(,1)4.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f(?x)=4x，則f(2)等于()A.?8B.8C.?6D.65.已知角a終邊上一點p(?2,3)，則cs()的值為()A.B.C.D.6.設(shè)函數(shù)f(x)=+x?a2x∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≤有解，則實數(shù)a的值為()A.B.C.D.7.已知a,b,c分別為?ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且a?cosC+3a?sinC?b?c=0,則A=()A.B.C.D.8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，且關(guān)于點(2,0)中心對稱。設(shè)g(x)=(x?1)f(x)，若g(23)=88，σ3g(i)=()A.4040B.4044C.4048D.4052二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。1,x為有理數(shù)0,x為無理數(shù)9.定義在實數(shù)集上的函數(shù)D(x)=稱為狄利克雷函數(shù)．該函數(shù)由191,x為有理數(shù)0,x為無理數(shù)利克雷提出，在高等數(shù)學(xué)的研究中應(yīng)用廣泛．下列有關(guān)狄利克雷函數(shù)D(x)的說法中正確的是()A.D(x)的值域為{0,1}B.D(x)是偶函數(shù)C.存在無理數(shù)t0，使D(x+t0)=D(x)D.對任意有理數(shù)t，有D(x+t)=D(x)10.已知函數(shù)f(x)=tanφx)(φ>0)，則下列說法正確的是()A.若f(x)的最小正周期是2π,則φ=B.當(dāng)φ=1時，f(x，0)k∈Z)C.當(dāng)φ=2時，f>f)D.若f(x)在區(qū)間，π)上單調(diào)遞增，則0<φ≤11.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果對任意的x1∈D，存在x2∈D，使得=c(c為常數(shù))，則稱函數(shù)y=f(x)在D上的均值為c，下列函數(shù)中在其定義域上的均值為2的有()A.y=x3B.y=tanxC.y=2sinxD.y=4?x212.已知函數(shù)f(x)=?x3+2x2?3x，若過點P(?2,m)(m∈Z)可作曲線y=f(x)的三條切線，則m的值可以為()A.3B.4C.21D.22三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知x?1,8,則函數(shù)f(x)=x+的最大值與最小值的和為.14.函數(shù)y=2sin?2x+)+1最小正周期為.15.若函數(shù)f(x)=loga(?x2+ax+1)(a>0且a≠1)在2,3)是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍16.有這樣一個事實:函數(shù)y=x與y=)x有三個交點P1,),P2,),P3在直線y=x上。一般地，我們有結(jié)論:對于函數(shù)y=logax與y=ax的圖像交點問題，當(dāng)0<a<e?e時，有三個交點，當(dāng)e?e≤a<1時有一個交點；借助導(dǎo)數(shù)可以推導(dǎo):當(dāng)1<a<？時有兩個交點，當(dāng)a=？時有一個交點，當(dāng)a>？時沒有交點；先推導(dǎo)出？的值，并且求：關(guān)于x的方程etxlnx=0在0，+∞)上只有一個零點，t的取值范圍為.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)(1)分別求A∩B，A∪(?UB)；(2)若B∪C=B，求實數(shù)a的取值范圍.18.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=a∈R)為R上的奇函數(shù)，（1）求實數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性幷證明；（3）設(shè)函數(shù)g(x)=x+b,b∈R,若對任意的x1∈0,1,總存在x2∈0,1，使得g(x1)=3f(x2)成立，求實數(shù)b的取值范圍。19.(本小題12分)求值：(2)sin210°+cos240°+sin10°cos40°20.(本小題12分)現(xiàn)有大小相同的7個紅球和8個黑球，一次取出4個。（1）求恰有一個黑球的概率；（2）取出紅球的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）取出4個球同色，求全為紅球的概率。21.(本小題12分)在?ABC中，B=，點D在邊AB上，BD=2,且DA=DC.（1）若?BCD的面積為23，求邊CD的長；（2）若AC=23,求∠DCA.BDCA22.(本小題12分)已知：函數(shù)f(x)=xlnx,x>0)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：ex?2x>xf(x)；(參考數(shù)據(jù)：e2≈7.39,e3≈20.09)(3)若不等式f(x)≤?x2+a+1x?a的解集中恰有三個整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍。（第三問直接寫出答案，不需要詳細(xì)解答，參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）湖北省重點高中智學(xué)聯(lián)盟2023年秋季高三年級10月聯(lián)考數(shù)學(xué)答案1.B2.A3.B4.A5.B6.C7.D8.C9.ABD10.ACD11.AB12.BC12.解法一：f'(x)=?3x2+4x?3，設(shè)切點為(x0,?x+2x?3x0)，則切線方程為y+x?2x+3x0=(?3x+4x0?3)(x?x0)，將x=?2，y=m代入得，m=2x+4x?8x0+6，令g(x)=2x3+4x2?8x+6，則g'(x)=6x2+8x?8=2(x+2)(3x?2)，∴x>或x<?2時，g'(x)>0，當(dāng)?2<x<時，g'(x)<0，故函數(shù)g(x)的單增區(qū)間為?∞,?2和,+∞,g(x)的單減區(qū)間為?2,，∴g(x)的極大值為g(?2)=22，極小值為g()=，由題意知，<m<22，又m為整數(shù)，解法二：f'(x)=?3x2+4x?3，f''(x)=?6x+4，∴函數(shù)f(x)的對稱中心坐標(biāo)為P,f()=，?，函數(shù)f(x)在點P處切線方程為y??=f'()(x?)，即為y+=?(x?)，再令x=?2，得y=，又f(?2)=22,由題意知，<m<22，又m為整數(shù)， 20，2116.(1)當(dāng)a>1時，先求？的值，有一個交點時，由題意可知切點在直線y=x上，設(shè)切點橫坐標(biāo)為x0,由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知=ax0?lna=1,∴ax0=e,lna=，a=e；(2)由etx=nx，可得etx=logetx，令et=a，則logax=ax（0<a且a≠1由提供的信息可得，e?e≤a=et<1或a=et=e，∴t?e≤t<∴A∩B=2,3，∴實數(shù)a的取值范圍為2,3.18.解：(1)∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(?x)=?f(x)……（9分）……（10分）………（1分)即=?，整理有對于?x∈R,(1+a)(2x+1)=0,∴a=?1………………（4分）（此處用f(0)=0得出a=?1的如果沒有驗證函數(shù)f(x)是奇函數(shù)的扣2分）(2)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：∵f(x)==1?2x1，∴f'(x)=>0,∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增用單調(diào)性定義證明的同樣給分。（3）設(shè)A=yy=g(x1),x1∈0,1,B=yy=3f(x2),x2∈0,1,有條件可知，A?B由（2）問可知，y=3f(x2)在x2∈0,1時單調(diào)遞增，∴B=0,1，19.解1）sin40°(3?tan10°)=sin40°(3?)=sin40°(3coin10°)=sin40°2sin°10°)=sin40°°==1………………（5分）……………（8分）……………（9分）……………（10分）……………（12分）……………（1分）……………（6分）(2)方法一：sin210°+cos240°+sin10°cos40°=++……（8分）=+=+0=………（12分）方法二：構(gòu)造對偶式設(shè)m=sin210°+cos240°+sin10°cos40°,n=cos210°+sin240°+cos10°sin40°,則……（8分）m+n=2+sin50°,n?m=cos20°?cos80°+sin2m=2+sin50°?cos20°+cos80°=，∴m=………（12分)方法三：構(gòu)造三角形，令外接圓半徑為，則由正弦定理可得===2R=2×=1，???（8分）則a=sin10°,b=cos40°=sin50°,c=sin120°,再由余弦定理，c2=a2+b2?2abcosC=sin210°+sin250°?2sin10°sin50°cos120°=sin2120°=……（12分)20.解1）記事件A="求恰有一個黑球"，則由古典概型公式可得PA==；???（3分）（2）X的可能取值為0,1,2,3,4，???（4分）A（7分）2masin2θA（7分）2masin2θsin(2θ)=sin=……PX=0==，PX=1==，PX=2=PX=3==，PX=4==，X的分布列如下：???（7分）（概率對了一個給1分，不超過7分，此處沒有約分的不扣分）X01234P 2 8 1 E(X)=0×+1×+2×+3×+4×==………（9分）（此處沒有約分的扣1分）（3）記事件B="取出4個球同色，求全為紅球"，則由條件概率公式有PB==.………（12分）B21.解1）BD在?BCD中，S?BCD=BD?BC?sin∠DBC=23,且BD=2,∠DBC=，可得BC=4（2分）D在?BCD中，由余弦定理有，DC2=DB2+BC2?2DB?BC?cos∠DBC=12,∴DC=23……（5分）（2）記∠DCA=θ,θ∈0記AD=DC=m,BC=a,在?BCD中,由正弦定理有=則∠BDC=2θ,，∠DAC=θ,∠BCD=2θ,……（6分）BDCD=sin∠BCDsin∠DBC,在?ACD中，在?ACD中，由正弦定理有∴m?sin2θ=23sinθ=a?sin,∴a sin∠ACDsin2θsinθ,=，sin∠ACDsin2θsinθ,=4sinθ,即有=sin(?2θ)=cθ,∴sin(2θ)=cosθ=sin?θ,∴∠DCA=θ=或（掉了一個解扣2分）22.解：（1）∵f(x)=xlnx,x>0∴f'(x)=lnx+1,……（8分）……（9分）……（12分）令f'(x)=0，可得x=，列表如下：?????（1分）x0, 1 e 1 ef'(x)?0+f(x)↓極小值↑ e1∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0, e1………（2分）（2）解法1：要證ex?2x>x?xlnx，只需證>lnx（對數(shù)靠邊走）???（5分）設(shè)g(x)=lnx，則g'(x)=，易知ex≥x+1>x,令g'(x)=0，可得x=2，列表如下