均值、方差在決策問題中的應(yīng)用(2024·河南高三起點(diǎn)考試)某考生在做高考數(shù)學(xué)模擬題第12題時發(fā)現(xiàn)不會做．已知該題有四個選項(xiàng)，為多選題，至少有兩項(xiàng)正確，至多有3個選項(xiàng)正確．評分標(biāo)準(zhǔn)為：全部選對得5分，部分選對得2分，選到錯誤選項(xiàng)得0分．設(shè)此題正確答案為2個選項(xiàng)的概率為p0(0<p0<1)．已知該考生隨機(jī)選擇若干個(至少一個)．(1)若p0＝eq\f(1,2)，該考生隨機(jī)選擇1個選項(xiàng)，求得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)為使此題得分?jǐn)?shù)學(xué)期望最高，請你幫他從以下二種方案中選一種，并說明理由．方案一：隨機(jī)選擇一個選項(xiàng)方案二：隨機(jī)選擇兩個選項(xiàng)[解析](1)設(shè)多選題正確答案是“選兩項(xiàng)”為事件A2，正確答案是“選三項(xiàng)”為事件A3，則Ω＝A2∪A3，P(A2)＝p0，P(A3)＝1－p0；分別記考生得0分，2分，5分為事件B0，B2，B5，∵B0＝A2B0∪A3B0，B2＝A2B2∪A3B2，∴P(B0)＝P(A2B0∪A3B0)＝P(A2B0)＋P(A3B0)＝P(B0|A2)P(A2)＋P(B0|A3)P(A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,4))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,C\o\al(1,4))＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＝eq\f(3,8)；P(B2)＝P(A2B2∪A3B2)＝P(A2B2)＋P(A3B2)＝P(B2|A2)P(A2)＋P(B2|A3)P(A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,4))＋eq\f(1,2)×eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,4))＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,8)＝eq\f(5,8)；∴得分X的分布列為：X02Peq\f(3,8)eq\f(5,8)∴得分X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(3,8)＋2×eq\f(5,8)＝eq\f(5,4).(2)方案一：隨機(jī)選擇一個選項(xiàng)正確答案是“選兩項(xiàng)”時，考生選1項(xiàng)，選對得2分，選錯得0分；正確答案是“選三項(xiàng)”時，考生選1項(xiàng)，選對得2分，選錯得0分．∵B0＝A2B0∪A3B0，B2＝A2B2∪A3B2，∴P(B0)＝P(B0|A2)P(A2)＋P(B0|A3)P(A3)＝p0×eq\f(2,4)＋(1－p0)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)p0；P(B2)＝P(B2|A2)P(A2)＋P(B2|A3)P(A3)＝p0×eq\f(2,4)＋(1－p0)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,4)p0；∴隨機(jī)選擇一個選項(xiàng)得分的數(shù)學(xué)期望為0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,4)p0))＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－\f(1,4)p0))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)p0；方案二：隨機(jī)選擇兩個選項(xiàng)；P(B0)＝P(B0|A2)P(A2)＋P(B0|A3)P(A3)＝p0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))))＋(1－p0)×eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6)p0＋eq\f(1,2)(1－p0)＝eq\f(1,3)p0＋eq\f(1,2)；P(B2)＝P(B2|A2)P(A2)＋P(B2|A3)P(A3)＝p0×0＋(1－p0)×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)(1－p0)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)p0；P(B5)＝P(B5|A2)P(A2)＋P(B5|A3)P(A3)＝p0×eq\f(1,C\o\al(2,4))＋(1－p0)×0＝eq\f(1,6)p0；∴隨機(jī)選擇兩個選項(xiàng)得分的數(shù)學(xué)期望為0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)p0＋\f(1,2)))＋2×eq\f(1,2)(1－p0)＋5×eq\f(1,6)p0＝1－eq\f(1,6)p0；∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2)p0))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)p0))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)p0>0，∴選擇方案一．名師點(diǎn)撥：隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．有時也通過比較事件發(fā)生概率的值進(jìn)行決策．【變式訓(xùn)練】(2024·四川成都診斷、四川綿陽高三突擊班診斷)新高考數(shù)學(xué)試卷中的多項(xiàng)選擇題，給出的4個選項(xiàng)中有2個以上選項(xiàng)是正確的，每一道題考生全部選對得5分．對而不全得2分，選項(xiàng)中有錯誤得0分．設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多選題中有2個選項(xiàng)正確的概率為p(0<p<1)，有3個選項(xiàng)正確的概率為1－p，沒有4個選項(xiàng)都正確的(在本問題中認(rèn)為其概率為0)．在一次模擬考試中：(1)小明可以確認(rèn)一道多選題的選項(xiàng)A是錯誤的，從其余的三個選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個作為答案，若小明該題得5分的概率為eq\f(1,12)，求p；(2)小明可以確認(rèn)另一道多選題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇．小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個，共選2個；③從另外三個選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個，共選3個．若p＝eq\f(5,12)，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個方案？[解析](1)記一道多選題“有2個選項(xiàng)正確”為事件A1，“有3個選項(xiàng)正確”為事件A2，“小明該題得5分”為事件B，則P(B)＝P(BA1)＝P(A1)×P(B|A1)＝p×eq\f(1,C\o\al(2,3))＝eq\f(1,12)，求得p＝eq\f(1,4).(2)若小明選擇方案①，則小明的得分為2分．若小明選擇方案②，記小明該題得分為X，則X＝0,2,5，且P(X＝0)＝P(A1)eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,3))＋P(A2)eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,3))＝eq\f(5,12)×eq\f(2,3)＋eq\f(7,12)×eq\f(1,3)＝eq\f(17,36)，P(X＝2)＝P(A2)eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,3))＝eq\f(7,12)×eq\f(2,3)＝eq\f(14,36)＝eq\f(7,18)，P(X＝5)＝P(A1)eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,3))＝eq\f(5,12)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,36)，所以E(X)＝0×eq\f(17,36)＋2×eq\f(14,36)＋5×eq\f(5,36)＝eq\f(53,36)，若小明選擇方案③，記小強(qiáng)該題得分為Y，則Y＝0,5，且P(Y＝0)＝P(A1)eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,3))＋P(A2)eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(5,12)＋eq\f(7,12)×eq\f(2,3)＝e