專題2.9多項(xiàng)式的乘法（知識講解）【知識回顧】單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會進(jìn)行多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法計(jì)算．2.掌握整式的加、減、乘、乘方的較簡單的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：.【典型例題】類型一、多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算1、計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案與解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【總結(jié)升華】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)須把一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，剛開始時(shí)要嚴(yán)格按法則寫出全部過程，以熟悉解題步驟，計(jì)算時(shí)要注意的是：（1）每一項(xiàng)的符號不能弄錯(cuò)；（2）不能漏乘任何一項(xiàng)．類型二、多項(xiàng)式相乘的應(yīng)用2、若（x+a）（x+2）=x2﹣5x+b，則a+b的值是多少？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則把等式的左邊展開，根據(jù)題意列出算式，求出a、b的值，計(jì)算即可．【答案與解析】解：（x+a）（x+2）=x2+（a+2）x+2a，則a+2=﹣5，2a=b，解得，a=﹣7，b=﹣14，則a+b=﹣21．【總結(jié)升華】本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．舉一反三：【變式】求出使成立的非負(fù)整數(shù)解．【答案】不等式兩邊分別相乘后，再移項(xiàng)、合并、求解．解：，，，，．∴取非負(fù)整數(shù)為0，1，2，3．類型三、多項(xiàng)式相乘的規(guī)律題3．探索題．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1……觀察以上等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用所得規(guī)律，解決下列問題：（1）直接寫出（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝．（2）直接寫出（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+……x2+x+1）＝．（3）直接寫出26+25+24+23+22+2+1的值．【答案】（1）x6﹣1；（2）xn+1﹣1；（3）63．【解析】（1）仿照閱讀材料中的等式寫出第5個(gè)等式即可；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；（3）利用得出的規(guī)律化簡，計(jì)算即可求出值．解：（1）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；故答案為：x6﹣1；（2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；故答案為：xn+1﹣1；（3）原式＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1）＝26﹣1＝63，故答案為：63【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式乘法，是整式乘法的規(guī)律探究題，找準(zhǔn)等式的一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】．仔細(xì)觀察，探索規(guī)律：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4．（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝①（其中n為正整數(shù)，且n≥2）．②（2﹣1）（2+1）＝；③（2﹣1）（22+2+1）＝；④（2﹣1）（23+22+2+1）＝；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝；（2）根據(jù)上述規(guī)律，求22019+22018+22017+…+2+1的個(gè)位數(shù)字是多少？（3）根據(jù)上述規(guī)律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？【答案】（1）①an﹣bn②22﹣1；③23﹣1；④24﹣1；⑤2n﹣1；（2）5；（3）342解：（1）①由上式的規(guī)律可得，an﹣bn，故答案為：an﹣bn；由題干中提供的等式的規(guī)律可得，②（2+1）（2﹣1）＝22﹣1；③（2﹣1）（22+2+1）＝23﹣1；④（2﹣1）（23+22+2+1）＝24﹣1；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝2n﹣1；（2）22019+22018+22017+…+2+1＝（2﹣1）（22019+22018+22017+…+2+1）＝22020﹣1，又∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……∴22020的個(gè)位數(shù)字為6，∴22020﹣1的個(gè)位數(shù)字為6﹣1＝5，答：22019+22018+22017+…+2+1的個(gè)位數(shù)字是5．（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2＝28（2﹣1）+26（2﹣1）+24（2﹣1）+22（2﹣1）+2＝28+26+24+22+2＝256+64+16+4+2＝342．【點(diǎn)撥】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、平方差公式、數(shù)字的變化規(guī)律等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．類型四、多項(xiàng)式相乘的參數(shù)問題4．已知的展開式中不含和項(xiàng)．（1）分別求的值．（2）計(jì)算．【答案】；.【分析】（1）把展開，令含有和項(xiàng)的系數(shù)為0可得二元一次方程組，解得即可；（2）利用積的乘方運(yùn)算法則，平方差公式化簡式子，然后把m、n的值代入即可解得．解：原式，，，因?yàn)檎归_式不含和項(xiàng)，，解得，故答案為：；原式，，，將代入得：原式，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式的化簡求值，多項(xiàng)式中不含某一項(xiàng)求字母的值，平方差公式，積的乘方運(yùn)算法則，熟練掌握多項(xiàng)式的化簡求值是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知的結(jié)果中不含關(guān)于字母的一次項(xiàng)．先化簡，再求：的值．【答案】9解：∵（x+a）（x-2）=x2-2x+ax-2a=x2+（a-2）x-2a不含關(guān)于x的一次項(xiàng)，∴a?2=0，即a=2，∴（a+1）2+（2-a）（2+a）=a2+2a+1+4-a2=2a+5=2×2+5=9故答案為：9．【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，根據(jù)不含關(guān)于字母x的一次項(xiàng)，推出一次項(xiàng)系數(shù)為0，求出a的值是解題關(guān)鍵．類型五、多項(xiàng)式相乘的面積問題5．準(zhǔn)備若干張如圖一所示邊長為?的正方形和邊長分別為?的長方形卡片，用這些卡片拼出新的圖形，用不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一些等式．請解答下列問題：（1）由圖二，可得等式______．（2）圓圓同學(xué)用x張邊長為a的正方形?y張邊長為b的正方形和z張邊長分別為a?b的長方形紙片，拼出一個(gè)面積為長方形，求的值．（3）已知這兩個(gè)邊長為a?b的正方形面積和為60，邊長為a?b的長方形面積為20．點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)將這兩個(gè)正方形拼成圖三形狀，B?C?G三點(diǎn)在同一直線上，連接和．求陰影部分的面積．【答案】（1）；（2）32；（3）20．【分析】（1）根據(jù)大長方形的面積等于三個(gè)正方形的面積與三個(gè)長方形的面積之和即可得；（2）先根據(jù)所有卡片的面積之和等于建立等式，再根據(jù)整式的乘法可得x、y、z的值，然后代入求值即可得；（3）先根據(jù)正方形和長方形的面積公式可得，再根據(jù)即可得．解：（1）由圖可知，大長方形的面積等于三個(gè)正方形的面積與三個(gè)長方形的面積之和，則，故答案為：；（2）由題意得：，，∴，則；（3）由題意得：，則，，，，，，即陰影部分的面積為20．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的乘法與圖形面積，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，從一個(gè)長方形鐵皮中剪去一個(gè)小正方形，長方形長為2a+b，寬為a+b，正方形邊長為a．（1）請你用含有a，b的式子表示陰影部分的面積；（2）當(dāng)a＝6，b＝2時(shí)，求陰影部分的