考研數(shù)學二（常微分方程）模擬試卷23(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個不同的特解，則方程的通解為()A．y=Cy1(x)。B．y=Cy2(x)。C．y=C1y1(x)+C2y2(x)。D．y=C[y1(x)一y2(x)]。正確答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的兩個不同的特解，則y1(x)一y2(x)為該方程的一個非零解，則y=[y1(x)一y2(x)]為該方程的解。知識模塊：常微分方程2．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex為方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三個特解，則該方程的通解為()A．y=C1x+C2x2+ex。B．y=C1x2+C2ex+x。C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)。正確答案：C解析：方程y’’+P(x)y’+g(x)y=f(x)是一個二階線性非齊次方程，則(x一x2)和(x一ex)為其對應(yīng)齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解，則原方程通解為y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故選C。知識模塊：常微分方程3．函數(shù)y=C1ex+C2e－2x+xex滿足的一個微分方程是()A．y’’一y’一2y=3xex。B．y’’一y’一2y=3ex。C．y’’+y’一2y=3xex。D．y’’+y’一2y=3ex。正確答案：D解析：根據(jù)所給解的形式，可知原微分方程對應(yīng)的齊次微分方程的特征根為λ1=1，λ2=一2。因此對應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為λ2+λ一2=0，故對應(yīng)的齊次微分方程為y’’+y’一2y=0。又因為y*=xex為原微分方程的一個特解，而λ=1為特征根且為單根，故原非齊次線性微分方程右端的非齊次項形式為f(x)=Cex(C為常數(shù))。比較四個選項，應(yīng)選D。知識模塊：常微分方程4．微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為()A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)。C．y*=ax2+bx+c+Asinx。D．y*=ax2+bx+c+Acosx。正確答案：A解析：對應(yīng)齊次方程y’’+y=0的特征方程為λ2+1=0，特征根為λ=±i，對于方程y’’+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，從而其特解形式可設(shè)為y1*=ax2+bx+c，對于方程y’’+y=sinx，i為特征根，從而其特解形式可設(shè)為y2*=x(Asinx+Bcosx)，因此y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Beosx)。知識模塊：常微分方程填空題5．微分方程xy’=yln的通解為_________。正確答案：y=x．eCx＋1解析：令y=xμ，代入原方程，則有xμ’+μ=μlnμ,即，兩邊求積分，即得ln｜lnμ一1｜=ln｜x｜+C，去掉對數(shù)符號與絕對值符號得y=xeCx＋1，C為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程6．微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是_________。正確答案：tany=C(ex一1)3解析：兩邊同乘以，方程分離變量為積分得ln｜tany｜=3ln｜ex一1｜+C。所以方程有通解為tany=C(ex一1)3。知識模塊：常微分方程7．微分方程滿足y｜x=1=1的特解為_________。正確答案：y=，x＞e－1解析：令μ=，則原方程變?yōu)?，分離變量得即，將y｜x=1=1代入上式得C=e。故滿足條件的方程的特解為ex=，x＞e－1。知識模塊：常微分方程8．微分方程xy’+2y=xlnx滿足y(1)=的特解為_________。正確答案：y=解析：原方程可等價為y’+y=lnx，于是通解為知識模塊：常微分方程9．微分方程滿足初始條件y｜x=2=1的特解是_________。正確答案：x=y2+y解析：將x看作未知函數(shù)，則=y。上式為x對y的一階線性方程，又因y=1＞0，則x==elny(∫y．e－lnydy+C)=y(∫dy+C)=y(y+C)，將x=2，y=1代入，得C=1。故x=y2+y。知識模塊：常微分方程10．設(shè)y=ex(asinx+bcosx)(a，b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為_________。正確答案：y’’一2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的兩個根是λ1，λ2=1±i，因此特征方程為(λ—λ1)(λ一λ2)=λ2一(λ1+λ2)λ+λ1λ2=λ2一2λ+2=0，故所求微分方程為y’’一2y’+2y=0。知識模塊：常微分方程11．微分方程y’’+2y’+5y=0的通解為_________。正確答案：y=e－x(C1cos2x+C2sin2x)解析：由題干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程為λ2+2λ+5=0。解得λ1，2==一1±2i。則原方程的通解為y=e－x(C1cos2x+C2sin2x)。知識模塊：常微分方程12．二階常系數(shù)非齊次線性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解為y=_________。正確答案：y=C1eX+C2e3x一2e2x解析：特征方程為λ2一4λ+3=0，解得λ1=1，λ2=3。則對應(yīng)齊次線性微分方程y’’一4y’+3y=0的通解為y=C1ex+C2e3x。設(shè)非齊次線性微分方程y’’一4y’+3y=2e2x的特解為y*=ke2x，代入非齊次方程可得k=一2。故通解為y=C1ex+C2e3x—2e2x。知識模塊：常微分方程13．三階常系數(shù)線性齊次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解為y=________。正確答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx解析：微分方程對應(yīng)的特征方程為λ3一2λ2+λ一2=0。解上述方程可得其特征值為2，±i，于是其中一組特解為e2x，cosx，sinx。因此通解為y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。知識模塊：常微分方程解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。14．求微分方程y’’一a(y’)2=0(a＞0)滿足初始條件y｜x=0=0，y’｜x=0=一1的特解。正確答案：令y’=p，則y’’=，將之代入原方程，得一ap2=0，分離變量并積分=∫adx，由此得=ax+C1，由x=0，y’=0，y’=p=一1，得C1=1，即由x=0，y=0，得C2=0，所以y=ln(ax+1)。涉及知識點：常微分方程已知函數(shù)f(x)滿足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex。15．求f(x)的表達式；正確答案：齊次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程為λ2+λ一2=0，特征根為λ1=1，λ2=一2，因此該齊次微分方程的通解為f(x)=C1ex+C2e－2x。再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex一3C2e－2x=2ex，因此可知C1=1，C2=0。所以f(x)的表達式為f(x)=ex。涉及知識點：常微分方程16．求曲線y=f(x2∫0xf(－t2)dt的拐點。正確答案：曲線方程為y=ex2∫0xe－t2dt，則y’=1+2xex2∫0xe－t2，y’’=2x+2(1+2x2)ex2∫0xe－t2dt，令y’’=0得x=0。下面證明x=0是y’’=0唯一的解，當x＞0時，2x＞0，2(1+2x2)ex2∫0xe－t2dt＞0，可知y’’＞0；當x＜0時，2x＜0，2(1+2x2)ex2∫0xe－t2dt＜0，可知y’’＜0。可知x=0是y’’=0唯一的解。同時，由上述討論可知曲線y=f(x2)∫0xf(－t2)dt在x=0左、右兩邊的凹凸性相反，因此(0，0)點是曲線y=f(x2)∫0x(一t2)dt唯一的拐點。涉及知識點：常微分方程17．用變量代換x=cost(0＜t＜π)化簡微分方程(1一x2)y’’一xy’+y=0，并求其滿足y｜x=0=1，y’｜x=0的特解。正確答案：代入原方程，得+y=0。解此微分方程，得y=C1cost+C2sint=C1x+C2，將y｜x=0=1，y’｜x=0=2代入，得C1=2，C2=1。故滿足條件的特解為y=2x+。涉及知識點：常微分方程18．設(shè)f(μ，ν)具有連續(xù)偏導數(shù)，且滿足fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=μν。求y(x)=e－2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。正確答案：由y(x)=e－2xf(x，x)，兩邊對x求導有，y’=一2e－2xf(x，x)+e－2xf1’(x，x)+e－2xf2’(x，x)=一2e－2xf(x，x)+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]=一2y+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]。已知fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=μν，即f1’(μ，ν)+f2’(μ，ν)=μν，則f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2。因此，y(x)滿足一階微分方程y’+2y=x2e－2x。由一階線性微分方程的通解公式得y=e－∫2dx(∫x2e－2xe∫2dxdx+C)=e－2x(∫x2dx+C)=e－2x(+C)(C為任意常數(shù))。涉及知識點：常微分方程在xOy坐標平面上，連續(xù)曲線L過點M(1，0)，其上任意點P(x，y)(x≠0)處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax(常數(shù)a＞0)。19．求L的方程；正確答案：設(shè)曲線L的方程為y=f(x)，則由題設(shè)可得y’一=ax，這是一階線性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=ax，代入通解公式得y==x(ax+C)=ax2+Cx，又f(1)=0，所以C=一a。故曲線L的方程為y=ax2一ax(x≠0)。涉及知識點：常微分方程20．當L與直線y=ax所圍成平面圖形的面積為時，確定a的值。正確答案：L與直線y=ax(a＞0)所圍成的平面圖形如圖1—5—2所示。所以D=∫02[ax一(ax2一ax)]dx=a∫02(2x一x2)dx=，故a=2。涉及知識點：常微分方程21．設(shè)函數(shù)y(x)具有二階導數(shù)，且曲線l：y=y(x)與直線y=x相切于原點，記α為曲線l在點(x，y)處切線的傾角，若，求y(x)的表達式。正確答案：由=tanα，兩邊對x求導得sec2α=y’’，即(1+y’2)y’=y’’，因此可知令y’=p，y’’==p(1+p2)，分離變量得由y(0)=0，且再次積分可得y(x)=。涉及知識點：常微分方程22．設(shè)y=f(x)是第一象限內(nèi)連接點A(0，1)，B(1，0)的一段連續(xù)曲線，M(x，y)為該曲線上任意一點，點C為M在x軸上的投影，O為坐標原點。若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為，求f(x)的表達式。正確答案：由題意得SOCMA=X[1+f(x)]，SCBM=∫x1f(t)dt，即有1+f(x)+xf’(x)一2f(x)=x2。當x≠0時，化簡得f’(x)一，即。此方程為標準的一階線性非齊次微分方程，其通解為曲線過點B(1，0)，代入上式，得C=一2。所以f(x)=x2+1—2x=(x一1)2。涉及知識點：常微分方程23．設(shè)曲線y=f(x)，其中y=f(x)是可導函數(shù)，且f(x)＞0。已知曲線yf(x)與直線y=0，x=1及x=t(t＞1)所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積值是該曲邊梯形面積值的πt倍，求該曲線方程。正確答案：根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的體積公式，V=∫1tπf2(x)dx=π∫1tf2(x)dx，而曲邊梯形的面積為s=∫1tf(x)dx，則由題意可知V=πts可以得到V=π∫1Tf2(x)dx=πt∫1t