§11.2用樣本估計總體1．頻率分布直方圖(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)3．樣本的數(shù)字特征數(shù)字特征定義眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)_____的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在_______位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的________)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積______最多最中間平均數(shù)相等【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．(

)(2)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．(

)(3)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．(

)(4)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)．(

)【答案】

(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

1．(2017·山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為(

)A．3，5

B．5，5C．3，7 D．5，7【解析】

由題干扇形統(tǒng)計圖可得該校女教師人數(shù)為110×70%＋150×(1－60%)＝137.故選C.【答案】

C4．已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．題型一頻率分布直方圖的繪制與應用【例1】

某市居民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費．從該市隨機調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替．當w＝3時，估計該市居民該月的人均水費．【解析】

(1)如題圖所示，用水量在[0.5，3)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)，∴為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3.(2)當w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋(0.05×3.5＋0.05×4＋0.05×4.5)×10＝7.8(元)．即該市居民該月的人均水費估計為7.8元．【思維升華】

(1)明確頻率分布直方圖的意義，即圖中的每一個小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積和為1.(2)對于統(tǒng)計圖表類題目，最重要的是認真觀察圖表，從中提煉有用的信息和數(shù)據(jù)．跟蹤訓練1

我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)．將數(shù)據(jù)按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值；(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；(3)估計居民月均用水量的中位數(shù)．【解析】

(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0，0.5)內(nèi)的頻率為0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]內(nèi)的頻率分別為0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30.(2)由(1)知，該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12＝36000.(3)設中位數(shù)為x噸．因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.

題型二莖葉圖的應用【例2】

(1)如圖是某大學自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為(

)A．85，84

B．84，85C．86，84 D．84，86(2)如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為(

)A．2，5 B．5，5C．5，8 D．8，8【思維升華】

莖葉圖的優(yōu)缺點由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，第二點是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點是當樣本容量較大時，作圖較煩瑣．跟蹤訓練2

(2015·全國Ⅱ)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：62

73

81

92

95

85

74

64

53

7678

86

95

66

97

78

88

82

76

89B地區(qū)：73

83

62

51

91

46

53

73

64

8293

48

65

81

74

56

54

76

65

79根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)；【解析】

兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.

題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征角度一樣本的數(shù)字特征與直方圖交匯【例3】

某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖．(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)．角度二樣本的數(shù)字特征與莖葉圖交匯【例4】

將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91，現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示．則7個剩余分數(shù)的方差為(

)角度三樣本的數(shù)字特征與優(yōu)化決策問題【例5】

為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖．考慮以下結(jié)論：①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；③甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；④甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差．其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為(

)A．①③

B．①④C．②③

D．②④∴s甲>s乙．故可判斷結(jié)論①④正確．方法二

甲地該月14時的氣溫數(shù)據(jù)分布在26和31之間，且數(shù)據(jù)波動較大，而乙地該月14時的氣溫數(shù)據(jù)分布在28和32之間，且數(shù)據(jù)波動較小，可以判斷結(jié)論①④正確．【答案】

B【思維升華】

平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大?。櫽柧?

某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得以下柱狀圖：記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(