第17講線段、角、相交線和平行線THANKS1．線段沿著一個方向無限延長就成為____；線段向兩方無限延長就成為____；線段是直線上兩點間的部分，射線是直線上某一點一旁的部分．2．直線的基本性質(zhì)：______________________；線段的基本性質(zhì)：_________________；連接兩點的______________，叫做兩點之間的距離．射線直線兩點確定一條直線兩點之間線段最短線段的長度3．有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角，也可以把角看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形．(1)1周角＝____平角＝____直角＝____，1°＝____，1′＝____．(2)小于直角的角叫做____；大于直角而小于平角的角叫做____；度數(shù)是90°的角叫做____．4．兩個角的和等于90°時，稱這兩個角___________，同角(或等角)的余角相等．兩個角的和等于180°時，稱這兩個角__________，同角(或等角)的補角相等．24360°60′60″銳角鈍角直角互為余角互為補角5．角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到_________________．線段垂直平分線上的點到線段___________________．到角兩邊的距離相等的點在角平分線上．到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上．6．兩條直線相交，只有___________．兩條直線相交形成四個角，我們把其中相對的每一對角叫做對頂角，對頂角____．角兩邊的距離相等兩個端點的距離相等一個交點相等7．兩條直線相交所形成的四個角中有一個是直角時，我們說這兩條直線互相____，其中的一條直線叫做另一條直線的____，它們的交點叫做____．從直線外一點到這條直線的________________，叫做點到直線的距離．連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，_____________．8．垂直于一條線段并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的______________．9．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線和這條直線平行．垂直垂線垂足垂線段的長度垂線段最短垂直平分線10．平行線的判定及性質(zhì)：(1)判定：①在同一平面內(nèi)，________的兩條直線叫做平行線；②__________相等，兩直線平行；③_________相等，兩直線平行；④________________，兩直線平行；⑤在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行；⑥平行于同一直線的兩直線平行．不相交同位角內(nèi)錯角同旁內(nèi)角互補(2)性質(zhì)：①兩直線平行，_______________；②兩直線平行，________________；③兩直線平行，________________．同位角相等內(nèi)錯角相等同旁內(nèi)角互補1．兩條直線的相互位置在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行，“在同一平面內(nèi)”是其前提，離開了這個前提，不相交的直線就不一定平行了，因為在空間里存在著既不平行也不相交的兩條直線，如正方體的有些棱所在的線既不相交也不平行．2．線段、射線、直線點通常表示一個物體的位置，無大小可言．點動成線，線有彎曲的，也有筆直的，彎曲的線叫做曲線；而筆直的線，若向兩邊無限延伸，沒有端點且無粗細(xì)可言就叫做直線；射線是直線的一部分，向一方無限延伸，有一個端點；線段也是直線的一部分，有且只有兩個端點．3．兩個重要公理(1)直線公理：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．簡稱：兩點確定一條直線．“有”表示存在性；“只有”體現(xiàn)唯一性，直線公理也稱直線性質(zhì)公理．(2)線段公理：兩點之間，線段最短．命題點1：點到直線的距離1．(2017·北京)如圖所示，點P到直線l的距離是(

)A．線段PA的長度B．線段PB的長度C．線段PC的長度D．線段PD的長度B2．(2017·隨州)某同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉減掉一部分(如圖)，發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是(

)A．兩點之間線段最短B．兩點確定一條直線C．垂線段最短D．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行A3．(2017·廣東)已知∠A＝70°，則∠A的補角為(

)A．110°B．70°C．30°D．20°4．(2017·綏化)如圖，直線AB，CD被直線EF所截，∠1＝55°，下列條件中能判定AB∥CD的是(

)A．∠2＝35°B．∠2＝45°C.∠2＝55°D．∠2＝125°AC5．(2017·新疆)如圖，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，則∠AEC等于(

)A．20°B．50°C．80°D．100°C余角、補角及角平分線【例1】

(1)(2017·常德)若一個角為75°，則它的余角的度數(shù)為(

)A．285°B．105°C．75°D．15°(2)(2017·河池)如圖，點O在直線AB上，若∠BOC＝60°，則∠AOC的大小是(

)A．60°B．90°C．120° D．150°DCA

【點評】

如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角；如果兩個角的和等于180°時，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．[對應(yīng)訓(xùn)練]1．(1)(2017·內(nèi)江)如圖，直線m∥n，直角三角板ABC的頂點A在直線m上，則∠α的余角等于(

)A．19°

B．38°C．42°D．52°DC

(3)(2017·孝感)如圖，直線a∥b，直線c與直線a，b分別交于點D，E，射線DF⊥直線c，則圖中與∠1互余的角有(

)A．4個B．3個C．2個D．1個A平行線的判定與性質(zhì)

【例2】

(1)(2017·宿遷)如圖，直線a，b被直線c，d所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，則∠4度數(shù)是(

)A．80°B．85°C．95°D．100°B(2)(2017·金華)如圖，已知l1∥l2，直線l與l1，l2相交于C，D兩點，把一塊含30°角的三角尺按如圖位置擺放．若∠1＝130°，則∠2＝____．20°(3)(導(dǎo)學(xué)號：65244021)如圖①，點E是直線AB，CD內(nèi)部一點，AB∥CD，連接EA，ED.(一)探究猜想：①若∠A＝30°，∠D＝40°，則∠AED等于多少度？②若∠A＝20°，∠D＝60°，則∠AED等于多少度？③猜想圖①中∠AED，∠EAB，∠EDC的關(guān)系并證明你的結(jié)論．(二)拓展應(yīng)用：如圖②，射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點E，與邊CD交于點F，①②③④分別是被射線FE隔開的4個區(qū)域(不含邊界，其中區(qū)域③④位于直線AB上方)，P是位于以上四個區(qū)域上的點，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的關(guān)系．(不要求證明)解：(一)①∠AED＝70°②∠AED＝80°③猜想：∠AED＝∠EAB＋∠EDC，證明：延長AE交DC于點F，∵AB∥DC，∴∠EAB＝∠EFD，∵∠AED為△EDF的外角，∴∠AED＝∠EDF＋∠EFD＝∠EAB＋∠EDC

(二)根據(jù)題意得：點P在區(qū)域①時，∠EPF＝360°－(∠PEB＋∠PFC)；點P在區(qū)域②時，∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；點P在區(qū)域③時，∠EPF＝∠PEB－∠PFC；點P在區(qū)域④時，∠EPF＝∠PFC－∠PEB[對應(yīng)訓(xùn)練]2．(1)(2017·天門)如圖，已知AB∥CD∥EF，F(xiàn)C平分∠AFE，∠C＝25°，則∠A的度數(shù)是(

)A．25°

B．35°C．45°D．50°(2)(2017·寧波)已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B兩點分別落在直線m，n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為(

)A．20°

B．30°C．45°D．50°DD(3)如圖，一個由4條線段構(gòu)成的“魚”形圖案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出圖中的平行線，并說明理由．解：OA∥BC，OB∥AC.∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2，∴OB∥AC，∵∠2＝50°，∠3＝130°，∴∠2＋∠3＝180°，∴OA∥BC5.列方程(組)求線段的長)試題線段AB上有兩點M，N，AM∶MB＝5∶11，AN∶NB＝5∶7，MN＝1.5，求AB的長度．審題視角

幾何計算題未給出圖形的，在分析解題之前須先作出圖形，其主要數(shù)量關(guān)系應(yīng)作正確標(biāo)注．這個問題涉及較復(fù)雜的比例計算，能應(yīng)用比例性質(zhì)求得已知線段和未知線段的關(guān)系，進而求得未知線段長度．一般運算較繁雜，這時若適當(dāng)設(shè)未知元然后列方程(組)，解方程(組)可使計算清晰、簡潔．這是我們學(xué)習(xí)幾何的重要工具，