數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院實驗報告實驗工程名稱曲線擬合最小二乘法所屬課程名稱數(shù)值計算實驗類型驗證實驗實驗日期班級學(xué)號姓名成績一、實驗概述：【實驗?zāi)康摹空莆兆钚《朔?，熟練掌握求函?shù)的近似最小二乘擬合多項式【實驗原理】在科學(xué)實驗數(shù)據(jù)處理中，往往要根據(jù)一組給定的實驗數(shù)據(jù)，求出自變量x與因變量y的函數(shù)關(guān)系，這是為待定參數(shù)，由于觀測數(shù)據(jù)總有誤差，且待定參數(shù)ai的數(shù)量比給定數(shù)據(jù)點的數(shù)量少(即n＜m)，因此它不同于插值問題.這類問題不要求通過點，而只要求在給定點上的誤差的平方和最小.當(dāng)時，即

(3.1)

這里是線性無關(guān)的函數(shù)族，假定在上給出一組數(shù)據(jù)，以及對應(yīng)的一組權(quán)，這里為權(quán)系數(shù)，要求使最小，其中

(3.2)

這就是最小二乘逼近，得到的擬合曲線為y=s(x)，這種方法稱為曲線擬合的最小二乘法.

(3.2)中實際上是關(guān)于的多元函數(shù)，求I的最小值就是求多元函數(shù)I的極值，由極值必要條件，可得

(3.3)

根據(jù)內(nèi)積定義(見第三章)引入相應(yīng)帶權(quán)內(nèi)積記號

(3.4)

那么(3.3)可改寫為

這是關(guān)于參數(shù)的線性方程組，用矩陣表示為

(3.5)

(3.5)稱為法方程.當(dāng)線性無關(guān)，且在點集上至多只有n個不同零點，那么稱在X上滿足Haar條件，此時(3.5)的解存在唯一(證明見［3］).記(3.5)的解為

從而得到最小二乘擬合曲線

(3.6)

可以證明對，有

故(3.6)得到的即為所求的最小二乘解.它的平方誤差為

(3.7)

均方誤差為

在最小二乘逼近中，假設(shè)取，那么，表示為

(3.8)

此時關(guān)于系數(shù)的法方程(3.5)是病態(tài)方程，通常當(dāng)n≥3時都不直接取作為基.【實驗環(huán)境】C++6.0二、實驗內(nèi)容：【實驗方案】1.驗證教材p151例題1，2.驗證教材p161例題2，3.求解p171習(xí)題1〔線性擬合〕，習(xí)題34.求解p280數(shù)值試驗六-1-擬合多項式實驗〔表10-2〕【實驗過程】〔實驗步驟、記錄、數(shù)據(jù)、分析〕啟動C++6.0編寫好程序；運行代碼，得出實驗數(shù)據(jù)；實驗結(jié)果分別為：p171習(xí)題1〔線性擬合〕：y=2.014000e+000+2.250000e+000xp171習(xí)題3：y=-1.071071e+001+1.404405e+001xp280數(shù)值試驗六-1-擬合多項式：y=4.957055e-001+2.463190e+000x【實驗結(jié)論】〔結(jié)果〕通過實驗，在計算機(jī)中能較好地實現(xiàn)線形擬合最小二乘法。【實驗小結(jié)】〔收獲體會〕通過實驗的驗證，可以更深刻地理解曲線擬合最小二乘法在數(shù)值計算的重要性，同時其根本原理在計算機(jī)數(shù)值擬合的應(yīng)用，也更深刻地理解了曲線擬合最小二乘法的計算原理。三、指導(dǎo)教師評語及成績：評語評語等級優(yōu)良中及格不及格1.實驗報告按時完成,字跡清楚,文字表達(dá)流暢,邏輯性強(qiáng)2.實驗方案設(shè)計合理3.實驗過程〔實驗步驟詳細(xì),記錄完整,數(shù)據(jù)合理,分析透徹〕4實驗結(jié)論正確.成績：指導(dǎo)教師簽名：批閱日期：附錄1：源程序p171習(xí)題1〔線性擬合〕：#include"stdio.h"#include"math.h"#defineN5voidmain(){ longdoublex[N]={-1,-0.5,0,0.5,1}; longdoubley[N]={-0.22,0.88,2.00,3.13,4.28}; longdoubleu11=0,u12=0,u21=0,u22=0,c1=0,c2=0;longdoubleA,B; inti; for(i=0;i<N;i++) { u12+=x[i]; u22+=x[i]*x[i]; c1+=y[i]; c2+=x[i]*y[i]; } u21=u12; u11=N; A=(c1*u22-c2*u12)/(u11*u22-u21*u12); B=(c1*u21-c2*u11)/(u12*u21-u22*u11); printf("y=%le+%lex\n",A,B);}p171習(xí)題3：#include"stdio.h"#include"math.h"#defineN8voidmain(){ longdoublex[N]={1,2,3,4,5,6,7,8}; longdoubley[N]={15.3,20.5,27.4,36.6,49.1,65.6,87.8,117.6}; longdoubleu11=0,u12=0,u21=0,u22=0,c1=0,c2=0;longdoubleA,B; inti; for(i=0;i<N;i++) { u12+=x[i]; u22+=x[i]*x[i]; c1+=y[i]; c2+=x[i]*y[i]; } u21=u12; u11=N; A=(c1*u22-c2*u12)/(u11*u22-u21*u12); B=(c1*u21-c2*u11)/(u12*u21-u22*u11); printf("y=%le+%lex\n",A,B);}p280數(shù)值試驗六-1-擬合多項式實驗：#include"stdio.h"#include"math.h"#defineN8voidmain(){ longdoublex[N]={0,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0}; longdoubley[N]={1,1.75,1.96,2.19,2.44,2.71,3.00}; longdoubleu11=0,u12=0,u21=0,u22=0,c1=0,c2=0;longdoubleA,B; inti; for(i=0;i<N;i++) { u12+=x[i]; u22+=x[i]*x[i]; c1+=y[i]; c2+=x[i]*y[i]; } u21=u12; u11=N; A=(c1*u22-c2*u12)/(u11*u22-u21*u12); B=(c1*u21-c2*u11)/(u12*u21-u22*u11); printf("y=%le+%lex\n",A,B);}附錄2：實驗報告填寫說明1．實驗工程名稱：要求與實驗教學(xué)大綱一致。2．實驗?zāi)康模耗康囊鞔_，要抓住重點，符合實驗教學(xué)大綱要求。3．實驗原理：簡要說明本實驗工程所涉及的理論知識。4．實驗環(huán)境：實驗用的軟、硬件環(huán)境。5．實驗方案〔思路、步驟和方法等〕：這是實驗報告極其重要的內(nèi)容。概括整個實驗過程。對于驗證性實驗，要寫明依據(jù)何種原理、操作方法進(jìn)行實驗，要寫明需要經(jīng)過哪幾個步驟來實現(xiàn)其操作。對于設(shè)計性和綜合性實驗，在上述內(nèi)容根底上還應(yīng)該畫出流程圖、設(shè)計思路和設(shè)計方法，再配以相應(yīng)的文字說明。對于創(chuàng)新性實驗，還應(yīng)注