北京尚麗外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x<－a＋13x在區(qū)間[2，3]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C2.春節(jié)前，某市一過(guò)江大橋上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的6秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以6秒內(nèi)間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)3秒的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】作出基本事件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域和符合條件的平面區(qū)域，求出對(duì)應(yīng)的幾何度量．【解答】解：設(shè)兩串彩燈分別在通電后x秒，y秒第一次閃亮，則所有的可能情況對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)檎叫蜲ABC，作出直線x﹣y=3和直線y﹣x=3，則兩燈在第一次閃亮?xí)r刻不超過(guò)3秒對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)榱呅蜲DEBGF，∴P===．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算，作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是關(guān)鍵．3.ΔABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則“a>b”是“cos2A<cos2B”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C4.對(duì)于使f(x)≤M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最小值叫做f（x）的上確界，若b且的上確界為A.-

B.

C.

D.-4參考答案：A5.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A．（0，1）

B．(1，2）

C．（2，3）

D．（3，10）參考答案：C6.參考答案：A7.（5分）（2015?慶陽(yáng)模擬）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，則區(qū)域D的面積為（）A．10B．15C．20D．25參考答案：D【考點(diǎn)】：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到結(jié)論．解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，則區(qū)域D為△ABC，由，得C（4，﹣2），由，得，即A（4，3），由，得，即B（﹣6，﹣2），則三角形的面積S=，故選：D【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵．8.設(shè)集合，，則A∩B=（

）A．(－4,+∞)

B．[－4,+∞)

C．[－2,－1]

D．[－4,－2]參考答案：D故選D。

9.設(shè)函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，則（

）A.

B.

C.0

D.參考答案：A略10.“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某校對(duì)學(xué)生在一周中參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為n的樣本加以分析，其頻率分布直方圖如圖所示，已知時(shí)間不超過(guò)2小時(shí)的人數(shù)為12人，則n=

．參考答案：15012.在數(shù)列中，，對(duì)于任意自然數(shù)n，都有，則＝

參考答案：495113.已知關(guān)于x的不等式對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________．參考答案：【分析】先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立，設(shè)，求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，不等式對(duì)于任意恒成立，即，又因?yàn)?，，?duì)任意恒成立，設(shè)，其中，由不等式，可得：，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)樵趦?nèi)有解，，則，即：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.14.函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄓ脜^(qū)間表示）參考答案：[1，+∞）【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．【專題】計(jì)算題．【分析】由二次根式的定義可知log3x≥0，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可推導(dǎo)出函數(shù)的定義域．【解答】解：由題設(shè)條件知log3x≥0解得x≥1．∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥1}．故答案為：[1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，解題時(shí)要注意等于0的情況，屬于基礎(chǔ)題．15.已知向量與向量的夾角為，若且，則在上的投影為

參考答案：本題主要考查平面向量的運(yùn)算.因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，所以在上的投影為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，因?yàn)楣仕栽谏系耐队盀?

16.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)________．參考答案：考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用．【思路點(diǎn)睛】由題意在上單調(diào)遞增，在上是常數(shù)，利用，可得或，解不等式組即可求．分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的范圍內(nèi)

，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)，它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，其值域也是各段函數(shù)值域的并集．分段函數(shù)是熱點(diǎn)問(wèn)題，本題主要考查了利用分段函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．17.13．如右所示框圖，若，取，則輸出的值為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知拋物線y2=4x，直線l：y=﹣x+b與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．（Ⅰ）若x軸與以AB為直徑的圓相切，求該圓的方程；（Ⅱ）若直線l與y軸負(fù)半軸相交，求△AOB面積的最大值．參考答案：考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（Ⅰ）聯(lián)立得y2+8y﹣8b=0．由此利用根的判別式、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出圓的方程．（Ⅱ）由直線l與y軸負(fù)半軸相交，得﹣1＜b＜0，由點(diǎn)O到直線l的距離d=，得S△AOB=|AB|d=4．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出△AOB的面積的最大值．解答： 解：（Ⅰ）聯(lián)立得：y2+8y﹣8b=0．依題意應(yīng)有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)圓心Q（x0，y0），則應(yīng)有x0=，y0==﹣4．因?yàn)橐訟B為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r=|y0|=4，又|AB|==．所以|AB|=2r，即=8，解得b=﹣．所以x0==2b+8=，所以圓心為（，﹣4）．故所求圓的方程為（x﹣）2+（y+4）2=16．．（Ⅱ）因?yàn)橹本€l與y軸負(fù)半軸相交，∴b＜0，又l與拋物線交于兩點(diǎn)，由（Ⅰ）知b＞﹣2，∴﹣2＜b＜0，直線l：y=﹣x+b整理得x+2y﹣2b=0，點(diǎn)O到直線l的距離d==，所以∴S△AOB=|AB|d=﹣4b=4．

令g（b）=b3+2b2，﹣2＜b＜0，g′（b）=3b2+4b=3b（b+），∴g（b）在（﹣2，﹣）增函數(shù)，在（﹣，0）是減函數(shù)，∴g（b）的最大值為g（﹣）=．∴當(dāng)b=﹣時(shí)，△AOB的面積取得最大值．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，考查直線與拋物線、圓等知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A，B，求的值.參考答案：（1）直線的普通方程為；

…………………2分因?yàn)?，所以，將，，代入上式，可?

…………4分（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，可得，設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，.

………6分

于是

…………………8分.

…………………10分20.如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A、B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4.（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求△F1PQ的面積.參考答案：（1）由題設(shè)知：2a=4，即a=2

，將點(diǎn)代入橢圓方程得，解得b2=3∴c2=a2－b2=4－3=1

，故橢圓方程為，焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（1，0）由（Ⅰ）知，，

∴PQ所在直線方程為，由得設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則，略21.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，分別是，的中點(diǎn)．若，。（1）求證：平面；（2）求直線平面所成角的正弦值。參考答案：（1）取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，又由F為PD中點(diǎn)，則

FG.

=

=

又由已知有∴四邊形AEGF是平行四邊形.

又

AF

平面PEC,

EG

（2）

ks5u

故

直線FC與平面PCE所成角的正弦值為.

略22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，且），曲線C2為：，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程;（2）若直線1與曲線C1相切于點(diǎn)P，射線OP與曲線C2交于點(diǎn)Q，點(diǎn)，求的面積參考答案：(1)，，(2)【分析】（1）將的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，其中，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)關(guān)系式