連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真第3章連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)字仿真-離散相似法

控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真就是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在數(shù)字計(jì)算機(jī)上求解的過(guò)程。從前一章可以看到，控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型一般是用常微分方程、一階常微分方程組(狀態(tài)方程)或傳遞函數(shù)來(lái)描述的。因此，要在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行這類系統(tǒng)的仿真，必須先將連續(xù)模型變換為離散化的模型。這一章主要介紹連續(xù)模型離散化的方法及其差分方程的求取，最后介紹仿真程序的設(shè)計(jì)。第2頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．1連續(xù)系統(tǒng)的離散化連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)是隨時(shí)間連續(xù)變化的，但是連續(xù)系統(tǒng)的解析解無(wú)法用數(shù)字計(jì)算機(jī)求出，只能求出其數(shù)值解。也就是說(shuō)，只能得到連續(xù)響應(yīng)曲線上的有限個(gè)點(diǎn)。為此，必須把連續(xù)系統(tǒng)離散化，得到差分方程，再用數(shù)字計(jì)算機(jī)求解。這就是把微分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為算術(shù)運(yùn)算的過(guò)程。下面先討論線性定常系統(tǒng)的離散過(guò)程。設(shè)一線性定常系統(tǒng)為

(3-1)

式中：X為n×1維狀態(tài)向量；U為r×1維輸入向量；A為n×n維狀態(tài)矩陣；B為n×r維輸入矩陣；Y為m×1維輸出向量；C為m×n維輸出矩陣；D為m×r維傳遞矩陣。此系統(tǒng)的方框，如圖3．1所示。

第3頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天此系統(tǒng)的方框，如圖3．1所示。第4頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第5頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第6頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

由圖3．3所示的離散結(jié)構(gòu)即可導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)離散后的離散數(shù)學(xué)模型，這個(gè)模型通常為差分方程的形式。由于這個(gè)過(guò)程使得離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相似，因此可以認(rèn)為差分方程式的解序列就是連續(xù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的采樣值。這就是離散相似法。嚴(yán)格地講，系統(tǒng)輸出處的采樣開(kāi)關(guān)后面也應(yīng)加上再現(xiàn)環(huán)節(jié)，才能與原系統(tǒng)相似。但是在仿真時(shí)，用計(jì)算機(jī)也只能得到離散序列的解，所以輸出處的再現(xiàn)環(huán)節(jié)加與不加對(duì)于離散解序列都是一樣的。實(shí)際上輸出處的采樣開(kāi)關(guān)加與不加也無(wú)所謂，只要認(rèn)為離散后的系統(tǒng)與原系統(tǒng)在采樣點(diǎn)上的輸出值近似相等就行了。

第7頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天由香農(nóng)定理可知，為使采樣后的信號(hào)能無(wú)失真地再現(xiàn)，采樣頻率比信號(hào)最高頻率要高兩倍以上(或采樣周期Ts≤0.5Tmin)，且加入的保持器應(yīng)有如圖3．4所示的頻率特性。第8頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．1．1零階保持器

這是一種最常見(jiàn)的保持器，它的脈沖傳遞函數(shù)和頻率特性如圖3．5和圖3．6所示。第9頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第10頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第11頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第12頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．1．2一階保持器

一階保持器也稱外推器，它的脈沖傳遞函數(shù)和頻率特性如圖3．8和圖3．9所示。第13頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第14頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第15頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第16頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．1．3三角保持器

三角保持器是一種理想保持器，物理上不能實(shí)現(xiàn)，數(shù)學(xué)上也是不能實(shí)現(xiàn)的，除非它所再現(xiàn)的信號(hào)為一已知信號(hào)。這一點(diǎn)從下面的定義中可以看出。它的脈沖傳遞函數(shù)曲線和頻率特性曲線如圖3．11和圖3．12所示。第17頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第18頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第19頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在實(shí)際中有時(shí)使用滯后一拍的三角保持器，它的脈沖傳遞函數(shù)曲線和頻率特性曲線如圖3．13和圖3．14所示。第20頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

經(jīng)過(guò)三角保持器及滯后三角保持器再現(xiàn)后的函數(shù)如圖3．15和圖3．16所示。第21頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

從上面的保持器特性可以看出，實(shí)際保持器與理想保持器的特性總是有差別的，所以要想使保持器引起的失真足夠小，采樣頻率就要足夠高。也就是說(shuō)，在仿真計(jì)算時(shí)，為了使結(jié)果準(zhǔn)確，計(jì)算步距就得足夠小。這樣勢(shì)必要增加計(jì)算時(shí)間。為了使計(jì)算速度較快又不使誤差過(guò)大，通常在保持器后加一補(bǔ)償環(huán)節(jié)(也可加在保持器前)。保持器再現(xiàn)被采樣的連續(xù)信號(hào)時(shí)，這些信號(hào)一般都有相位移，而且再現(xiàn)信號(hào)同其被采樣的連續(xù)信號(hào)相比，都有所衰減。所以通常采用超前裝置進(jìn)行補(bǔ)償。例如，當(dāng)采用零階保持器再現(xiàn)信號(hào)時(shí)，再現(xiàn)后的信號(hào)要比被采樣的連續(xù)信號(hào)平均滯后T/2。故應(yīng)采用超前半個(gè)周期的補(bǔ)償(即取c＝eTs/2)去抵消零階再現(xiàn)過(guò)程引入的滯后影響。在仿真中所采用的補(bǔ)償器的數(shù)學(xué)表達(dá)式形式一般為

C=λerTs(3-11)第22頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．2離散系統(tǒng)差分方程的求取在上一節(jié)中，已經(jīng)敘述了怎樣由一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)求出它的離散相似系統(tǒng)。有了這個(gè)離散相似系統(tǒng)，就可以求出連續(xù)系統(tǒng)的離散化數(shù)學(xué)模型。離散化數(shù)學(xué)模型是用差分方程表示的，它的求解方法如下。設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述如式(3-12)所示。

式中A、B均為常數(shù)陣。推導(dǎo)可得：第23頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第24頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第25頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第26頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)的離散解：

(3-23)

在推導(dǎo)上式的過(guò)程中未作任何近似的假設(shè)，該式是一種精確的采樣值計(jì)算公式。但是，當(dāng)U(τ)是一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)時(shí)，該式右端的積分是難以求得的。由于該積分的積分區(qū)間僅為T(mén)，當(dāng)T較小時(shí)，一般來(lái)說(shuō)U(τ)在這個(gè)積分區(qū)間的變化是不大的。因此，可以加入采樣及再現(xiàn)環(huán)節(jié)，以使U(τ)在積分區(qū)間內(nèi)為一個(gè)簡(jiǎn)單的特殊函數(shù)，從而使該積分計(jì)算容易進(jìn)行。通常使用下面三種保持器作為再現(xiàn)環(huán)節(jié)。

第27頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.零階保持器第28頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.一階保持器第29頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.三角保持器用與上述相同的方法，可以求出加三角保持器和滯后三角保持器時(shí)的系統(tǒng)差分方程。用各種保持器時(shí)的差分方程，詳見(jiàn)表3．1。第30頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第31頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例3．1]己知某控制系統(tǒng)框圖如圖3．17所示，求該系統(tǒng)的仿真模型，即差分方程。第32頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第33頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第34頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第35頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第36頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第37頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第38頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

如果把采樣開(kāi)關(guān)保持器加在系統(tǒng)入口R處，則得到的離散相似系統(tǒng)框圖如圖3．19所示。第39頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第40頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第41頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天于是得到零階保持器時(shí)的差分方程：第42頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

由此可見(jiàn)，采樣器及保持器的位置不同，得到的差分方程也不相同。但應(yīng)注意，無(wú)論離散-再現(xiàn)環(huán)節(jié)加到哪里，被離散再現(xiàn)的信號(hào)都應(yīng)是狀態(tài)方程中的輸入量。

從保持器的定義式可以看出，零階保持器能無(wú)失真地再現(xiàn)階躍輸入信號(hào)，即當(dāng)輸入信號(hào)為階躍函數(shù)時(shí)，導(dǎo)出的差分方程是精確的。而三角保持器能無(wú)失真地再現(xiàn)斜坡輸入信號(hào)。第43頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第44頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第45頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例3．2]求如圖3．21所示系統(tǒng)的差分方程。第46頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第47頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第48頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第49頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第50頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第51頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第52頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第53頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第54頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

對(duì)于許多控制系統(tǒng)，都可以把系統(tǒng)分解成由積分和慣性環(huán)節(jié)組成系統(tǒng)。因此，可以事先求出這兩個(gè)環(huán)節(jié)的差分方程的通用式，以后就不需要每次求解差分方程了。對(duì)于積分環(huán)節(jié)，如圖3.23所示。第55頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第56頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

對(duì)于慣性環(huán)節(jié)，如圖3.24所示。第57頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第58頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第59頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．3連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真程序設(shè)計(jì)前兩節(jié)講述了連續(xù)系統(tǒng)離散化及其差分方程的求取。有了系統(tǒng)的差分方程，就可以在計(jì)算機(jī)上編制仿真程序了。隨系統(tǒng)性質(zhì)的不同，對(duì)仿真程序要求也不同，一般的要求是計(jì)算速度快、精度高、使用方便、通用性強(qiáng)等。但這些要求往往是相互矛盾的，所以具體到某一問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)其特性突出某一要求而犧牲另外一些要求。

第60頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在一般情況下，仿真程序由以下幾個(gè)基本模塊構(gòu)成：

(1)初始化程序塊；

(2)輸入?yún)?shù)程序塊；

(3)主運(yùn)行程序塊；

(4)輸出仿真結(jié)果程序塊。仿真程序流程圖如圖3．25所示。下面分別討論這三個(gè)程序塊。第61頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第62頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．3．1初始化程序塊這個(gè)功能塊主要是對(duì)程序中所用到的變量、數(shù)組等進(jìn)行定義，并賦以初值。在通用仿真程序里這個(gè)程序完成被仿真系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組態(tài)。

這個(gè)程序塊的內(nèi)容隨使用的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言的不同而不同，沒(méi)有統(tǒng)一的格式。本書(shū)所有的程序均使用C，matlab和VisualC++6.0作為程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言。第63頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

自20世紀(jì)90年代以來(lái)，隨著多媒體技術(shù)和圖像技術(shù)的蓬勃發(fā)展，可視化技術(shù)得到了廣泛重視，越來(lái)越多的計(jì)算機(jī)專業(yè)人員和非專業(yè)人員都開(kāi)始研究并應(yīng)用可視化技術(shù)。一般講，可視化技術(shù)包含兩個(gè)方面的含義：一是軟件開(kāi)發(fā)階段的可視化，即可視化編程，它使編程工作成為一件輕松愉快、饒有趣味的工作；二是通過(guò)可視化窗口將不改變的參數(shù)輸入給計(jì)算機(jī)。第64頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在通用仿真程序中，可視化輸入?yún)?shù)程序塊是非常復(fù)雜的，該程序塊直接關(guān)系到人-機(jī)交互的方便性和程序的通用性。一般人們會(huì)花很大的精力來(lái)設(shè)計(jì)輸入?yún)?shù)程序塊。在后面的章節(jié)中將逐步介紹該程序塊的設(shè)計(jì)方法。第65頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．3．2輸出仿真結(jié)果程序塊

該程序塊輸出仿真結(jié)果，它們可以是狀態(tài)變量、中間變量、輸出變量的仿真結(jié)果。輸出的形式總是數(shù)據(jù)表格或曲線的形式。下面介紹這兩種輸出程序的設(shè)計(jì)方法。在以后的程序中只寫(xiě)出調(diào)用這兩個(gè)輸出仿真結(jié)果函數(shù)的語(yǔ)句，而不再列寫(xiě)程序清單。第66頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．打印數(shù)據(jù)函數(shù)PrintData()

一般要求打印數(shù)據(jù)函數(shù)能打印各變量的仿真數(shù)據(jù)及各數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的時(shí)間。由于仿真點(diǎn)數(shù)較多，輸出數(shù)據(jù)量較大，用戶不一定需要觀察每一步的數(shù)據(jù)。因此，往往時(shí)隔一定的間隔打印一個(gè)數(shù)據(jù)。下面的函數(shù)可打印1～4個(gè)變量(變量個(gè)數(shù)用VN表示)的仿真數(shù)據(jù)及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間，每隔IN點(diǎn)打印一個(gè)數(shù)據(jù)。并要求在調(diào)用的程序里把需輸出的變量值存放在數(shù)組Output[][]里，其中第一維下標(biāo)表示第幾個(gè)變量，第二維下標(biāo)表示該變量的第幾個(gè)仿真數(shù)據(jù)。LP、DT的意義表示計(jì)算步數(shù)和采樣周期。第67頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第68頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

2．顯示曲線函數(shù)Dispcurve()

該程序可以在顯示器上同時(shí)顯示1～8條響應(yīng)曲線。橫軸為響應(yīng)時(shí)間，縱軸為響應(yīng)數(shù)值。要求在調(diào)用的程序里把需要輸出的變量值存放在數(shù)組Output[][]里，其中，第一維下標(biāo)表示第幾個(gè)變量，第二維下標(biāo)表示該變量的第幾個(gè)仿真數(shù)據(jù)。VN表示要顯示變量的個(gè)數(shù)，LP、DT的意義表示計(jì)算步數(shù)和采樣周期。第69頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第70頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第71頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第72頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第73頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第74頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．3．3主運(yùn)行程序塊

這個(gè)程序塊用來(lái)求解被仿真系統(tǒng)的差分方程。所選用的仿真算法不同，得到的差分方程也不同，仿真精度也不一樣。不管怎樣，這個(gè)程序要忠實(shí)于原差分方程，它不能改變?cè)罘址匠痰囊饬x，對(duì)于初編程序者來(lái)說(shuō)在這方面是很容易出錯(cuò)的。從上一節(jié)可以看到，系統(tǒng)的仿真模型都是差分方程的形式。因?yàn)椴罘址匠套钊菀子脭?shù)字計(jì)算機(jī)求得數(shù)值解。差分方程的一般形式如式(2-8)所示。如果改變一下符號(hào)并寫(xiě)成遞推計(jì)算的形式:第75頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

由式(3-67)可知，在求解此差分方程時(shí)，要用到計(jì)算時(shí)刻(k+1)T以前若干個(gè)采樣時(shí)刻的輸出值和輸入值。這可以在內(nèi)存中設(shè)置若干個(gè)存儲(chǔ)單元，將這些數(shù)據(jù)存儲(chǔ)起來(lái)，以便在計(jì)算時(shí)使用。

下面討論輸出變量的處理方法。對(duì)于式(3-67)所描述的系統(tǒng)，差分方程階次為n。因此，需要在內(nèi)存中設(shè)置n個(gè)單元，用以存放計(jì)算時(shí)刻(k+1)T以前的n個(gè)采樣時(shí)刻的輸出量。這些存儲(chǔ)單元的安排如圖3．26(a)所示。第76頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第77頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第78頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第79頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例3．3]設(shè)計(jì)例3．2所述的控制系統(tǒng)仿真程序中的主運(yùn)行程序塊。取R為單位階躍函數(shù)，狀態(tài)變量初值為零。

第80頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第81頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

那么，需要多少步才能求出系統(tǒng)的響應(yīng)呢?這取決于實(shí)際問(wèn)題。一般計(jì)算到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)以后就可以了，因?yàn)榉€(wěn)態(tài)后的響應(yīng)我們己知道，再計(jì)算就沒(méi)什么意義了。因此仿真之前應(yīng)輸入一個(gè)仿真時(shí)間，這個(gè)仿真時(shí)間一般是系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間(在以后的程序中用變量ST來(lái)表示)。如果再給出計(jì)算步距(即采樣周期，在以后的程序中用變量DT表示)，則可得到需要計(jì)算的步數(shù)

LP=ST/DT(3-68)因此，運(yùn)行程序塊要完成一個(gè)循環(huán)計(jì)算，其結(jié)構(gòu)形式為

for(i=1；i<=LP；i++){/*差分方程表達(dá)式*/}第82頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

式(3-60)是一階差分方程組，根據(jù)前面的討論，每個(gè)變量用兩個(gè)存儲(chǔ)單元就夠了。如果在程序中，用變量x11存放x1(k+1)，x10存放x1(k)，x21存放x2(k+1)，x20存放x2(k)，x31存放x3(k+1)，x30存放x3(k)，x41存放x4(k+1)，x40存放x4(k)，e(0)存放e(k)，用數(shù)組Outputy[][]存放輸出y的各步值，則可得到加零階保持器時(shí)的主運(yùn)行程序塊：第83頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第84頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第85頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第86頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第87頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第88頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第89頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第90頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

從上面的仿真程序設(shè)計(jì)過(guò)程中可以看出，由于串行計(jì)算的原因，三角保持器不是放在哪里都可以實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際上，不只是三角保持器，有超前作用的其他保持器或加超前補(bǔ)償?shù)牧汶A、一階保持器也不是放在哪里都可以實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樵谟谐白饔玫谋３制飨?，其差分方程的輸入?xiàng)可能會(huì)需要k+1時(shí)刻的值。這樣，在系統(tǒng)的反饋支路與主支路求和點(diǎn)后的第一個(gè)環(huán)節(jié)入口處，不能加有超前作用的離散-再現(xiàn)環(huán)節(jié)。第91頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第92頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第93頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．4典型非線性環(huán)節(jié)的仿真程序設(shè)計(jì)

一般工業(yè)系統(tǒng)均存在非線性問(wèn)題。例如，調(diào)節(jié)儀表的輸出可能存在飽和非線性，執(zhí)行機(jī)構(gòu)可能存在齒輪間隙非線性，還有些系統(tǒng)采用非線性調(diào)節(jié)器。因此，應(yīng)當(dāng)考慮非線性系統(tǒng)的仿真問(wèn)題。

實(shí)際上，前面介紹的按環(huán)節(jié)離散化的仿真方法，可以很容易地推廣到具有典型非線性環(huán)節(jié)的非線性系統(tǒng)的仿真。只要事先編好這些典型非線性環(huán)節(jié)的仿真子程序，讓信號(hào)通過(guò)它再輸入到線性環(huán)節(jié)就行了。為了以后編程的方便，下面給出幾種典型非線性環(huán)節(jié)的仿真子程序。

第94頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天1．繼電器繼電器的非線性特性如圖3．29所示。圖中y0為繼電器常數(shù)，它的特性可用如下的數(shù)學(xué)表主式描述：當(dāng)u＜0時(shí)，y＝-y0

當(dāng)u≥0時(shí)，y＝y(tǒng)0。第95頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．有不靈敏區(qū)的繼電器具有不靈敏區(qū)的繼電器特性如圖3．30所示，圖中y0、c為常數(shù)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為當(dāng)u≥c時(shí)，y＝y(tǒng)0

當(dāng)|u|＜c時(shí)，y＝0；當(dāng)u≤-c時(shí)，y＝-y0第96頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．限幅器限幅器的特性如圖3．31所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為當(dāng)u＞c時(shí)，y=c

當(dāng)|u|≤c時(shí)，y=u

當(dāng)u＜-c時(shí)，y=-c式中：c為常數(shù)。第97頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天4．不靈敏區(qū)不靈敏區(qū)特性如圖3．32所示，圖中c為常數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為當(dāng)u＞c時(shí)，y=u-c

當(dāng)|u|≤c時(shí)，y=0

當(dāng)u＜-c時(shí)，y=u+c第98頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天5．齒輪間隙非線性第99頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第100頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天6．具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電非線性第101頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例3．4]某發(fā)電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)框圖如圖3．35所示，試求URFF為單位階躍函數(shù)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)。第102頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)圖3.36可得到系統(tǒng)的差分方程如下：第103頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第104頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天仿真程序如下：#include<stdio.h>/*函數(shù)頭文件聲明*/#include<stdlib.h>#include<math.h>#include<graphics.h>floatoutputy[1][1501],ST,DT;intLP,VN;voiddispcurve();/*顯示曲線子程序*/第105頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天main()/*主運(yùn)行程序塊*/{floatx11,x21,x31,x41,x10,x20,x30,x40;floate1,e2,e3;/*定義初始變量和參數(shù)*/floatR;floatURff,Ue,UR,UR1;/*定義輸入*/inti;floata1,a2,a3,a4;/*中間變量參數(shù)*/x10=0;x20=0;x30=0;x40=0;/*參數(shù)賦初值*/ST=10;/*仿真時(shí)間*/DT=0.02;/*仿真步距*/LP=ST/DT;VN=1;R=1;URff=1;第106頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天outputy[0][0]=0;/*存儲(chǔ)輸出量的初值*/a1=exp(-dt/0.1);a2=exp(dt*0.1);a3=exp(-dt);a4=exp(-dt/0.05);第107頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

for(i=0;i<LP;i++)/*計(jì)算各差分方程*/{Ue=URff-x40;x11=a1*x10+40*(1-a1)*Ue;if(x11>30)UR=30;if(abs(x11)<=30)UR=x11;if(x11<-30)UR=-30;UR1=UR-0.01*x20;x21=a2*x20+(a2-1)*UR1/0.05;x31=a3*x30+(1-a3)*x21;x41=a4*x40+0.05*(1-a4)*x31;outputy[0][i]=x31;x10=x11;x20=x21;x30=x31;x40=x41;}dispcurve();/*調(diào)用畫(huà)圖子程序*/}第108頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第109頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．5關(guān)于采樣周期(計(jì)算步距)和仿真時(shí)間的選擇

計(jì)算步距和仿真時(shí)間是兩個(gè)重要的仿真參數(shù)，特別是計(jì)算步距。如果選擇得不恰當(dāng)，就可能造成較大的計(jì)算誤差，甚至可以使一個(gè)本來(lái)穩(wěn)定的系統(tǒng)歪曲成一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。計(jì)算步距不僅和被仿真的系統(tǒng)有關(guān)，還和仿真算法、精度要求等因素有關(guān)。因此，要在仿真計(jì)算之前準(zhǔn)確地選好這兩個(gè)參數(shù)是件不容易的事情。第110頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在3．1節(jié)中曾提及過(guò)，為了使被采樣的信號(hào)無(wú)失真的再現(xiàn)，必須滿足式中:為最低采樣頻率；為被再現(xiàn)信號(hào)的頻帶限。

但是，在仿真中所遇到的大多數(shù)被再現(xiàn)信號(hào)是沒(méi)有頻帶限的，所以一般取采樣頻率是再現(xiàn)信號(hào)主要頻帶中的最高頻率的5～10倍。

第111頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

至于主要頻帶中的最高頻率是沒(méi)有確切的定義的，但對(duì)于像這樣簡(jiǎn)單的低通濾波器(慣性環(huán)節(jié))，其頻譜的主要頻帶可以認(rèn)為大約是截止角頻率()的10倍左右所以可以選擇即選擇計(jì)算步距(采樣周期)(3-70)

第112頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

對(duì)于復(fù)雜環(huán)節(jié)仍可取主要頻帶是開(kāi)環(huán)頻率特性的剪切頻率的10倍，如仍用表示環(huán)節(jié)的剪切頻率，則計(jì)算步距仍為式(3-70)。若系統(tǒng)中有幾個(gè)小閉環(huán)，則應(yīng)取最快的小閉環(huán)頻率特性的剪切頻率。

隨著系統(tǒng)環(huán)節(jié)數(shù)目的增加，加入的離散-再現(xiàn)環(huán)節(jié)就可能增多。這時(shí)計(jì)算步距應(yīng)相應(yīng)地減小。

由于求系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性比較麻煩，下面針對(duì)控制系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)的需要，提供估計(jì)這兩個(gè)仿真參數(shù)的簡(jiǎn)單方法。第113頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．5．1計(jì)算步距的估計(jì)

計(jì)算步距可用式(3-71)估計(jì)

(3-71)式中：DT為計(jì)算步距；n為被控對(duì)象傳遞函數(shù)的階次；T為被控對(duì)象傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)。第114頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天

如果被控對(duì)象有若干個(gè)，則應(yīng)以其中nT最小的為準(zhǔn)。一般使用者按上述區(qū)間選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)挠?jì)算步距，其仿真結(jié)果是令人滿意的。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算步距選擇的越小，計(jì)算精度就越高(但步距太小，也可能由于計(jì)算機(jī)的舍入誤差占了主導(dǎo)地位而降低了計(jì)算精度)，耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間就越長(zhǎng)；反之，就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算精度差，計(jì)算時(shí)間短。但對(duì)于一般工程設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，最關(guān)心的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性，能夠大致觀察過(guò)渡過(guò)程曲線就可以了，對(duì)計(jì)算數(shù)據(jù)精確度的要求并不太高，所以只需采用試算的方法求計(jì)算步距即可。如果過(guò)渡過(guò)程曲線的第一個(gè)半波含有20到30個(gè)計(jì)算點(diǎn)，則說(shuō)明計(jì)算步距選擇是恰當(dāng)?shù)摹７駝t，可適當(dāng)增大或減小計(jì)算步距，再試算。第115頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例3．5]某火力發(fā)電廠汽包水位控制系統(tǒng)采用單級(jí)三沖量調(diào)節(jié)方式，系統(tǒng)框圖如圖3．38所示。對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行仿真，繪制蒸汽量D擾動(dòng)時(shí)，水位H的變化曲線。第116頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第117頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天第118頁(yè),共134頁(yè)，2024年2月25日，星期天狀態(tài)方程第