湖北省黃岡市洗馬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在區(qū)間(0,3)上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則的概率是(

)A. B. C. D.參考答案：C在區(qū)間(0,3)上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，若，則.∵(0,3)的區(qū)間長(zhǎng)度為3，(0,1)的區(qū)間長(zhǎng)度為1∴在區(qū)間(0,3)上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則的概率是故選C.

2.若復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z=|4+3i|，則z的虛部為（）A．﹣4 B．﹣ C． D．4參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模；復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：由（3﹣4i）z=|4+3i|，得（3﹣4i）z=5，即z===+i，故z的虛部為，故選：C3.已知命題p、q，則“p∧q是真命題”是“￢p為假命題”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)復(fù)合命題之間的關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：若p∧q是真命題，則p，q都是真命題，則￢p是假命題，即充分性成立，若￢p是假命題，則p是真命題，此時(shí)p∧q是真命題，不一定成立，即必要性不成立，故“p∧q是真命題”是“￢p是假命題”的充分不必要條件，故選：B．4.若a，b均為實(shí)數(shù)，且方程無(wú)實(shí)根，則函數(shù)是增函數(shù)的概率是A．

B．

C．

D．參考答案：A5.函數(shù)y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致圖象是參考答案：C略6.復(fù)數(shù)=【

】

(A)2

(B)-2

(C)2i

（D）-2i參考答案：.【解析】.

7.已知函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，其中，則的最小值為A．1

B．4

C．

D．2參考答案：B略8.為研究需要，統(tǒng)計(jì)了兩個(gè)變量x，y的數(shù)據(jù)·情況如下表:

其中數(shù)據(jù)x1、x2、x3…xn，和數(shù)據(jù)y1、y2、y3，…yn的平均數(shù)分別為和，并且計(jì)算相關(guān)系數(shù)r＝-0.8，回歸方程為，有如下幾個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)(，)必在回歸直線上，即＝b+；②變量x，y的相關(guān)性強(qiáng)；③當(dāng)x＝x1，則必有；④b＜0．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】回歸直線經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，故①正確；變量的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近與1，則兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，故②正確；根據(jù)回歸方程的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，不一定有，故③錯(cuò)誤；由相關(guān)系數(shù)知負(fù)相關(guān)，所以，故④正確；故選C.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線和相關(guān)系數(shù)，注意根據(jù)回歸方程得出的是估計(jì)值不是準(zhǔn)確值.9.若a∈（0，），且sin2a+cos2a=，則tana的值等于A.

B.

C.

D.參考答案：D

本題主要考查三角函數(shù)的平方和公式以及倍角公式，屬容易題。，，則，故選D10.函數(shù)的圖象如下圖所示，則函數(shù)的圖象大致是參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1，z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，·z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為，則z2=_______．參考答案：－+i解：z1滿足|z－i|=1；argz1=，得z1=+i，=cos(－)+isin(－)．設(shè)z2的輻角為θ(0<θ<π)，則z2=2sinθ(cosθ+isinθ)．·z2=2sinθ[cos(θ－)+isin(θ－)]，若其實(shí)部為0，則θ－=，于是θ=．z2=－+i．12.曲線在點(diǎn)處的切線方程是，若+=0，則實(shí)數(shù)a=

。參考答案：a=-213.若曲線f（x）=在點(diǎn)（a，f（a））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為，則a的值為．參考答案：1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程進(jìn)而可得切線的方程，可得其截距，運(yùn)用三角形的面積公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：對(duì)y=求導(dǎo)數(shù)可得y′=，∴曲線在P（a，）處的切線斜率為k=，∴切線方程為：y﹣=（x﹣a），令x=0，可得y=，即直線的縱截距為，令y=0，可得x=﹣a，即直線的橫截距為﹣a，∴切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：S=||?|﹣a|=，解得a=1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查三角形的面積公式，考查運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題．14.在平行四邊形ABCD中，已知，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，則=﹣3參考答案：考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．分析：利用向量的運(yùn)算法則將用已知向量表示，利用向量的運(yùn)算律將用已知的向量表示出，求出的值解答：解：∵∴===﹣3故答案為﹣3點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量的運(yùn)算法則將未知向量用已知的向量表示；從而將未知向量的數(shù)量積用已知向量的數(shù)量積表示．15.關(guān)于x的方程g（x）=t（t∈R）的實(shí)根個(gè)數(shù)記為f（t）．若g（x）=lnx，則f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則a的取值范圍是

．參考答案：1，a＞1【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】若g（x）=lnx，則函數(shù)的值域?yàn)镽，且函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故方程g（x）=t有且只有一個(gè)根，故f（t）=1，若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則x＞0時(shí)，函數(shù)的最大值大于2，且對(duì)稱(chēng)軸位于y軸右側(cè)，解得答案．【解答】解：若g（x）=lnx，則函數(shù)的值域?yàn)镽，且函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故方程g（x）=t有且只有一個(gè)根，故f（t）=1，g（x）=，當(dāng)t≤0時(shí)，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則x＞0時(shí)，函數(shù)的最大值大于2，且對(duì)稱(chēng)軸位于y軸右側(cè)，即，解得：a＞1，故答案為：1，a＞116.曲線在點(diǎn)處的切線方程是

．參考答案：17.已知，則.參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知，數(shù)列滿足：，，.

(Ⅰ)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；數(shù)列是等比數(shù)列；（其中；

(Ⅱ)記，對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍.參考答案：

，…………2分

當(dāng)時(shí)，＝，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，…………4分當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，…………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：故數(shù)列的通項(xiàng)公式為…………7分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令所以為單調(diào)遞減函數(shù)，…………10分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令,顯然為單調(diào)遞增函數(shù)，綜上：的取值圍是…………12分19.如圖，是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑，垂足為與相交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)。

參考答案：連接CE,AO,AB根據(jù)A,E是半圓的圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BC為直徑，可得故三角形AOB瓦誒等邊三角形，20.（本題滿分13分）已知函數(shù)＝。（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若≥在[1，＋∞上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：參考答案：解：（1）的定義域?yàn)椋?/p>

，-----------------------------1分當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，在上是增函數(shù)；-----2分當(dāng)時(shí)，令得，列表如下：__增減減增此時(shí)，的遞增區(qū)間是，；遞減區(qū)間是，。-------4分（2）＝＋，則g（1）=0，g’（x）=a－－==-----6分1）當(dāng)0<a<時(shí)，﹥1。若1<x<，則g’（x）<0，g（x）是減函數(shù)，所以g（x）<g（1）=0，即f（x）﹥㏑x,故f（x）≧㏑x在[1，+∞）上不恒成立。----------------------7分2）當(dāng)a時(shí)，若，則g’（x）>0,g(x)是增函數(shù)，所以g(x)>g(1)=0,即f(x)>lnx.故當(dāng)x≧1時(shí)，f(x)lnx.綜上所述，所求a的取值范圍是+∞）。------------------9分（3）

在（2）中，令，可得不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），進(jìn)而可得當(dāng)

（）---------------10分令，代入不等式（）得：故不等式得證。--------------------------------13分21.（1）已知、都是正實(shí)數(shù)，求證：；（2）若不等式對(duì)滿足的一切正實(shí)數(shù)

恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）證明：由。。。。。。3分又、都是正實(shí)數(shù)，所以、，即所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分（2）根據(jù)柯西不等式有…………………3分又恒成立，，或，即或，所以的取值范圍是

………5分略22.已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）在（0，）上無(wú)零點(diǎn)，求a最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0可求出函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，注意與定義域求交集；（2）因?yàn)閒（x）＜0在區(qū)間（0，）上恒成立不可能，故要使函數(shù)f（x）在（0，）上無(wú)零點(diǎn)，只要對(duì)任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)的最值即可求出a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x﹣1﹣2lnx，則f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）．（Ⅱ）因?yàn)閒（x）＜0在區(qū)間（0，）上恒成立不可能，故要使函數(shù)f（x）在（0，）上無(wú)零點(diǎn)，只要對(duì)任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即對(duì)x∈（0，），a＞2﹣恒成立．令l（x）=2﹣，x∈（0，），則l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），則m