高數曲線凹凸與圖形定義.

設函數在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱為I上的上凹函數;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上內點的凹凸分界點稱為拐點

.一、函數的凹凸與拐點為I上的上凸函數;自學定義，定理1、2.

第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天定理1*.(凹凸判定法)(1)在

I上則為I

上的上凹函數;(2)在

I上則為

I

上的上凸函數.證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)設函數在區(qū)間I上有二階導數證畢第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例1.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在是上凹的.說明:1)若在某點二階導數為0,2)根據拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側二階導數不變號,第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例2.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)

為曲線的拐點.凹凸第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例3.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)

及均為拐點.凹凹凸第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天無漸近線.點M

與某一直線L的距離趨于0,二、曲線的漸近線定義.

若曲線

C上的點M

沿著曲線無限地遠離原點時,則稱直線L為曲線C

的漸近線.例如,雙曲線有漸近線但拋物線或為“縱坐標差”第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天1.水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例4.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天2.斜漸近線斜漸近線若第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例5.

求曲線的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因為曲線的斜漸近線.第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天三、函數圖形的描繪步驟:1.確定函數的定義域,期性;2.求并求出及3.列表判別增減及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點;4.求漸近線;5.確定某些特殊點,描繪函數圖形.為0和不存在的點;并考察其對稱性及周第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例6.

描繪的圖形.解:1)定義域為無對稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點）(極小)4)第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例7.描繪方程的圖形.解:1)定義域為2)求關鍵點第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天3)判別曲線形態(tài)(極大)(極小)4)求漸近線為鉛直漸近線無定義第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天又因即5)求特殊點為斜漸近線第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天6）繪圖(極大)(極小)斜漸近線鉛直漸近線特殊點無定義第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例8.描繪函數的圖形.解:1)定義域為圖形對稱于

y

軸.2)求關鍵點3)判別曲線形態(tài)(極大)(拐點)第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天(極大)(拐點)為水平漸近線5)作圖4)求漸近線第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天內容小結在I

上單調遞增在I

上單調遞減1.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上的凹凸分界點2.曲線漸近線的求法水平漸近線;垂直漸近線;

斜漸近線3.函數圖形的描繪---按作圖步驟進行第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天思考與練習

1.曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:作業(yè)P130

1(6);2(2);3;

5;7(3),(5)第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天證明:當時，有證明:令,則是凸函數即

2.(自證)第21頁,共23頁，2024年2月25日，星期天拐點為

,凸區(qū)間是

,3.

曲線的凹區(qū)間是

,提