連續(xù)隨機變量的分布7.1兩個重要概念f(x)xab第2頁,共25頁，2024年2月25日，星期天一、連續(xù)型隨機變量分布特征的刻畫1）可以取特定區(qū)間中的任何值2）所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點試驗連續(xù)隨機變量想XX的取值抽查一批電子元件商品的銷售量學生的體重使用壽命(小時)銷售量學生體重X

0X

0X

0■1、連續(xù)型隨機變量X的取值——x軸度量第3頁,共25頁，2024年2月25日，星期天■2、連續(xù)型隨機變量X取值的概率——y軸度量？01/3P(x)1X正面次數(shù)234561/6離散型隨機變量的概率分布結(jié)論1：離散型概率分布，圖形y軸直接表示概率p。即通過一維數(shù)軸進行刻畫。第4頁,共25頁，2024年2月25日，星期天■連續(xù)型隨機變量的概率分布圖的特殊性f(x)xabxf(x)CAB1）縱軸不是概率p，而是f(x).

2）f(x)=p?3）p在圖形中是什么？f(x)是什么?o結(jié)論2：連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率分布，圖形y軸不直接表示概率p。而通過二維數(shù)軸圍成的面積來刻畫概率p。第5頁,共25頁，2024年2月25日，星期天■3、為什么會產(chǎn)生概率密度函數(shù)f（x）？X概率=頻率=頻數(shù)/n1020304050607000.4概率密度函數(shù)pdf所圍的陰影面積為1結(jié)論3：連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)（pdf）是從分組數(shù)據(jù)的“頻率/組距”中轉(zhuǎn)換而來的。頻率第6頁,共25頁，2024年2月25日，星期天◆兩種隨機變量“分布”刻畫的差異如：離散型概率分布的分布函數(shù)采用直接刻畫法：

（二項分布為例）在n次試驗中（投擲硬幣的次數(shù)中），出現(xiàn)“正面”的次數(shù)X（隨機變量），服從：

P(X=x)=Cnx

pxq

n-x

的概率分布。而：在連續(xù)型隨機變量的分布特征刻畫上，采用間接刻畫法：

（正態(tài)分布為例）如果隨機變量X的概率密度函數(shù)f（x）=…,，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布。第7頁,共25頁，2024年2月25日，星期天二、連續(xù)型隨機變量的概率分布■1、連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)(pdf)

設(shè)X為一連續(xù)型隨機變量，x

為任意實數(shù)。隨機變量X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件概率密度函數(shù)f(x)

的兩個重要性質(zhì)。f(x)xab概率是曲線下的面積第8頁,共25頁，2024年2月25日，星期天■注意：

2、概率密度函數(shù)f(x)：表示X的所有取值x

及其概率密度f(x)。如果要求概率，則必須通過對f(x)積分進行。值(值,概率密度)概率密度f(x)abx1、概率密度函數(shù)f(x)刻畫的不是概率。第9頁,共25頁，2024年2月25日，星期天練習：已知連續(xù)隨機變量X服從區(qū)間[a,b]的均勻分布，f(x)=1/(b-a).則下列概率的等式中那個正確（）.A：P(X=a)=1B：P(X=b)=1C：P(X<a)=1D:P(X<b)=1連續(xù)型隨機變量的概率一定是隨機變量X基于特定區(qū)間取值而得出的。第10頁,共25頁，2024年2月25日，星期天2、求概率：連續(xù)型隨機變量的概率分布函數(shù)F(X)如圖所示，已知隨機變量的pdf即f(x)，則對于任何實數(shù)x1<x2，求P(x1<X

x2)=？f(x)xab第11頁,共25頁，2024年2月25日，星期天◆練習：已知連續(xù)隨機變量X服從區(qū)間[3,8]的均勻分布，則概率P(4≤X≤6)=？

解題思路：一是要寫出概率密度函數(shù)；二是掌握連續(xù)隨機變量的概率公式解答：由題意，概率密度函數(shù)為：

1/5,3≤x≤80，其他

則隨機變量4≤X≤6的概率為：

P(4≤X≤6)f(x)=

xf(x)ba第12頁,共25頁，2024年2月25日，星期天■3、連續(xù)型隨機變量的期望和方差1)連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望為例：已知連續(xù)隨機變量X的概率密度為f（x）=1/10,0<x<10;除此之外為都為0。求數(shù)學期望E(X)第13頁,共25頁，2024年2月25日，星期天練習已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)f（x）=1/4*x.1<x<3.除此以外都為0.求此隨機變量的數(shù)學期望E(X)?第14頁,共25頁，2024年2月25日，星期天■3、連續(xù)型隨機變量的期望和方差2)

連續(xù)隨機變量的方差

已知連續(xù)型隨機變量X的PDF為f(x),則其方差D(X)=E(x2)-(E(x))2。其中，

作業(yè)：已知連續(xù)型隨機變量X服從均勻分布，其概率密度函數(shù)pdf為f(x),

求E(X)和D(X).第15頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

練習：已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)f（x）=2x.0<x<1.除此以外都為0.求此隨機變量的方差D(X)?連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望E(X)和方差D(X)都是常數(shù)！第16頁,共25頁，2024年2月25日，星期天7.2正態(tài)分布abxf(x)第17頁,共25頁，2024年2月25日，星期天一、正態(tài)分布是一種最重要的分布xf(x)■1、運用最廣的正態(tài)概率分布

期末考試成績的分布人類身高的分布人類體重的分布人類的智商分布產(chǎn)品的質(zhì)量分布相貌的分布。。。。。。。。第18頁,共25頁，2024年2月25日，星期天■2、正態(tài)分布的定義：xf(x)第19頁,共25頁，2024年2月25日，星期天■3、正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)1）圖形是關(guān)于x=

對稱鐘形曲線，且峰值在x=

處2）均值

和標準差

一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個完整的“正態(tài)分布族”3）均值

可取實數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標準差

決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。

越大，正態(tài)曲線扁平；

越小，正態(tài)曲線越高陡峭4）當X的取值向橫軸左右兩個方向無限延伸時，曲線的兩個尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠不會與之相交5）正態(tài)隨機變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1

。第20頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

和

對正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB

=1/2

1

2

=1第21頁,共25頁，2024年2月25日，星期天■4、標準正態(tài)分布2）標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)1）任何一個一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布。E(X)=0，D（x）=1。3）標準正態(tài)分布的分布函數(shù)第22頁,共25頁，2024年2月25日