遼寧省沈陽(yáng)市第九十八中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

）

A．（0,2）

B.（0,1）

C.（2,1）

D.（2,2）

參考答案：D略2.已知函數(shù)則有

（

）.是奇函數(shù)，且

.是奇函數(shù)，且.是偶函數(shù)，且

.是偶函數(shù)，且參考答案：C略3.若任意滿足的實(shí)數(shù)x，y，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為（）Ａ.

B.

C.

2

D.參考答案：B4.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的，不等式恒，則實(shí)數(shù)m的最大值是（

）A．-1

B．

C.

D．參考答案：C函數(shù)為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),函數(shù)為減函數(shù),時(shí),函數(shù)為增函數(shù).若對(duì)任意的，不等式恒成立，則,即,所以.當(dāng)時(shí),,所以,解得,所以.當(dāng),時(shí),不等式成立,當(dāng)時(shí),,無(wú)解,故,的最大值為.

5.圓心坐標(biāo)為(1,－1)，半徑長(zhǎng)為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式寫(xiě).【詳解】圓心為，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故選C.6.求下列函數(shù)的定義域（1）；

（2）參考答案：（1）

（2）7.下列各函數(shù)在其定義域中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）A．y=x+1 B．y=﹣x3 C．y=﹣ D．y=x|x|參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】根據(jù)奇函數(shù)圖象的特點(diǎn)，減函數(shù)的定義，反比例函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，奇函數(shù)的定義，二次函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而找到正確選項(xiàng)．【解答】解：A．根據(jù)y=x+1的圖象知該函數(shù)不是奇函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．x增大時(shí)，﹣x3減小，即y減小，∴y=﹣x3為減函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.在定義域上沒(méi)有單調(diào)性，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．y=x|x|為奇函數(shù)，；y=x2在[0，+∞）上單調(diào)遞增，y=﹣x2在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，且y=x2與y=﹣x2在x=0處都為0；∴y=x|x|在定義域R上是增函數(shù)，即該選項(xiàng)正確．故選：D．8.設(shè)集合則下列表示P到M的映射的是（

）A

B

C

D

參考答案：C略9.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，，，則等于（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用正弦定理可求.【詳解】由正弦定理得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于容易題.10.的斜二側(cè)直觀圖如圖所示，則的面積為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）已知sinα+cosα=，且0＜α＜，則sinα﹣cosα的值為

．參考答案：﹣考點(diǎn)： 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 利用完全平方公式，先求出2sinαcosα，即可得到結(jié)論．解答： 由sinα+cosα=，平方得1+2sinαcosα=，則2sinαcosα=，∵0＜α＜，∴sinα﹣＜cosα，即sinα﹣cosα＜0，則sinα﹣cosα=﹣==﹣，故答案為：﹣；點(diǎn)評(píng)： 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．12.已知△P1P2P3的三頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P1（1，2），P2（4，3）和P3（3，﹣1），則這個(gè)三角形的最大邊邊長(zhǎng)是

，最小邊邊長(zhǎng)是

．參考答案：，．【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間距離公式的應(yīng)用．【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式分別求得三邊的長(zhǎng)，判斷出最大和最小邊的長(zhǎng)度．【解答】解：|P1P2|==，|P2P3|==，|P1P3|==，∴最大的邊長(zhǎng)為，最短的邊為故答案為：，．13.設(shè)a為常數(shù)且a＜0，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x+﹣2，若f（x）≥a2﹣1對(duì)一切x≥0都成立，則a的取值范圍為

．參考答案：[﹣1，0）【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】通過(guò)討論x的范圍，得到不等式，解出即可求出a的范圍．【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，則0≥a2﹣1，解得﹣1≤a≤1，所以﹣1≤a＜0當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x＜0，，則由對(duì)勾函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，有f（x）min=﹣2a+2所以﹣2a+2≥a2﹣1，即a2+2a﹣3≤0，解得﹣3≤a≤1，又a＜0所以﹣3≤a＜0，綜上所述：﹣1≤a＜0，故答案為：[﹣1，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，考查了對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，是一道基礎(chǔ)題．14.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知任意角以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，若其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，定義：，稱“”為“的正余弦函數(shù)”，若，則_________

．參考答案：試題分析：根據(jù)正余弦函數(shù)定義，令，則可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本題正確答案為.考點(diǎn)：三角函數(shù)的概念.15.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的全面積為且，則三棱錐的體積為

▲

．參考答案：

16.已知，，，則的最小值為_(kāi)_________．參考答案：8由題意可得：則的最小值為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．17.若集合A1，A2滿足A1∪A2=A，則稱（A1，A2）為集合A的一種分析，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2時(shí)，（A1，A2）與（A2，A1）為集合A的同一種分析，則集合A={a1，a2，a3}的不同分析種數(shù)是

．參考答案：27【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】新定義；分類討論．【分析】考慮集合A1為空集，有一個(gè)元素，2個(gè)元素，和集合A相等四種情況，由題中規(guī)定的新定義分別求出各自的分析種數(shù)，然后把各自的分析種數(shù)相加，利用二次項(xiàng)定理即可求出值．【解答】解：當(dāng)A1=?時(shí)必須A2=A，分析種數(shù)為1；當(dāng)A1有一個(gè)元素時(shí)，分析種數(shù)為C31?2；當(dāng)A1有2個(gè)元素時(shí)，分析總數(shù)為C32?22；當(dāng)A1=A時(shí)，分析種數(shù)為C33?23．所以總的不同分析種數(shù)為1+C31?21+C32?22+C33?23=（1+2）3=27．故答案為：27【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知a、b、c分別是銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且，且.(Ⅰ)求A的值；(Ⅱ)求△ABC面積的最大值；參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.試題分析：（Ⅰ）利用正弦定理將角化為邊得，利用余弦定理可得；（Ⅱ）由及基本不等式可得，故而可得面積的最大值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，由正弦定理有，既有，由余弦定理得?（Ⅱ），即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，,所以的最大值為.19.在數(shù)列{an}中，，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：(1)證明見(jiàn)解析.(2).【分析】（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特征，我們對(duì)，兩邊同時(shí)除以，得到，利用等差數(shù)列的定義，就可以證明出數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和?！驹斀狻浚?）的兩邊同除以，得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列。(2)由（1）得，即,故，所以【點(diǎn)睛】本題考查了證明等差數(shù)列的方法以及用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前和。已知，都是等差數(shù)列，那么數(shù)列的前和就可以用裂項(xiàng)相消法來(lái)求解。20.已知||=1，||=，與的夾角為θ．（1）若∥，求?；（2）若﹣與垂直，求θ．參考答案：【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）利用向量共線直接寫(xiě)出夾角，然后利用向量的數(shù)量積求解即可．（2）利用向量垂直數(shù)量積為0，列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵||=1，||=，∥，∴θ=0°或180°，∴?=||||cosθ=±．…5’（2）∵﹣與垂直；∴（﹣）?=0，即||2﹣?=1﹣cosθ=0，∴cosθ=．又0°≤θ≤180°，∴θ=45°．…10’21.設(shè)奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣7，﹣3]上是減函數(shù)且最大值為﹣5，函數(shù)g（x）=，其中a＜．（1）判斷并用定義法證明函數(shù)g（x）在（﹣2，+∞）上的單調(diào)性；（2）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[3，7]上的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）分別求出f（x）和g（x）的最小值，求出F（x）的最小值即可．【解答】解：（1）函數(shù)g（x）在（﹣2，+∞）上是減函數(shù)，證明如下：設(shè)﹣2＜x1＜x2，∵g（x）=a+，∴g（x2）﹣g（x1）=（a+）﹣（a+）=（1﹣2a）?，∵﹣2＜x1＜x2，∴＜0，∵a＜，∴g（x2）＜g（x1），∴a＜時(shí)，g（x）在（﹣2，+∞）遞減；（2）由題意得：f（x）max=f（﹣7）=﹣5，且f（x）是奇函數(shù)，∴f（7）=5，即f（x）在區(qū)間[3，7]上的最小值是5，由（1）得：g（x）在[3，7]上也是減函數(shù)，∴F（x）min=f（7）+g（7）=．22.在△ABC中，角