05五月2024排列組合與概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)讀訓(xùn)練(1)考前專題講座～高中數(shù)學(xué)/yhjt/第1頁(yè)排列組合是概率及統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，所以，排列組合內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)教材中位置也顯得相對(duì)主要。概率是初等概率論中最基本內(nèi)容，在歷年高考中，排列組合知識(shí)多是選擇題或填空題，概率普通是一個(gè)解答題，這些題題型繁多，解法獨(dú)特，所以得分率普遍較低。本講主要介紹幾類常見(jiàn)排列組合及概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題分析和處理方法./amyhjt//amyhjt/第2頁(yè)④要明確堆次序時(shí)，必須先分堆后再把堆數(shù)看成元素個(gè)數(shù)作全排列.即先分組后到位.②若干個(gè)不一樣元素局部“等分”有ｍ個(gè)均等堆,要將選取出每一個(gè)堆組合數(shù)乘積除以m!①若干個(gè)不一樣元素“等分”為ｍ個(gè)堆,要將選取出每一個(gè)堆組合數(shù)乘積除以m!③非均分堆問(wèn)題，只要按百分比取出分完再用乘法原理作積.分組（堆）問(wèn)題六個(gè)模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④無(wú)序不等分；⑤無(wú)序等分；⑥無(wú)序局部等分.處理問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)：1.分組（堆）問(wèn)題/amyhjd/第3頁(yè)

例1.有五項(xiàng)不一樣工程，要發(fā)包給三個(gè)工程隊(duì)，要求每個(gè)工程隊(duì)最少要得到一項(xiàng)工程.共有多少種不一樣發(fā)包方式？

解：要完成發(fā)包這件事，能夠分為1-1-3、1-2-2兩類發(fā)包方式.①先將四項(xiàng)工程分為三“堆”，有種分法；②再將分好三“堆”依次給三個(gè)工程隊(duì)，有3!＝6種給法.∴1-1-3發(fā)包方式共有10×6＝60種.1.分組（堆）問(wèn)題（或種分法）⑴完成1-1-3發(fā)包方式有兩個(gè)步驟：/yhgw/第4頁(yè)

例1.有五項(xiàng)不一樣工程，要發(fā)包給三個(gè)工程隊(duì)，要求每個(gè)工程隊(duì)最少要得到一項(xiàng)工程.共有多少種不一樣發(fā)包方式？

解：要完成發(fā)包這件事，能夠分為1-1-3、1-2-2兩類發(fā)包方式.①先將四項(xiàng)工程分為三“堆”，有種分法；②再將分好三“堆”依次給三個(gè)工程隊(duì)，有3!＝6種給法.∴1-2-2發(fā)包方式共有15×6＝90種.1.分組（堆）問(wèn)題⑵完成1-2-2發(fā)包方式也有兩個(gè)步驟：綜上，共有60+90=150不一樣發(fā)包方式./amyhgw/第5頁(yè)例2.7人排成一排.甲、乙兩人不相鄰，有多少種不一樣排法？♀♀♀

♀♀解：分兩步進(jìn)行：♀♀幾個(gè)元素不能相鄰時(shí),先排普通元素，再讓特殊元素插孔.第1步，把除甲乙外普通人排列：第2步，將甲乙分別插入到不一樣間隙或兩端中(插孔)：↑

↑

↑

↑

↑↑處理一些不相鄰問(wèn)題時(shí)，能夠先排“普通”元素然后插入“特殊”元素，使問(wèn)題得以處理.2.插空法：/amyhyl/第6頁(yè)相鄰元素排列，能夠采取“局部到整體”排法，即將相鄰元素局部排列(捆綁)當(dāng)成“一個(gè)”元素，然后再進(jìn)行整體排列.3.捆綁法例3.6人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰,有多少種不排法?♀♀♀

♀♀

♀解：分兩步進(jìn)行：甲乙第一步，把甲乙排列(捆綁)：第二步，甲乙兩個(gè)人梱看作一個(gè)元素與其它排隊(duì)：♀♀幾個(gè)元素必須相鄰時(shí),先捆綁成一個(gè)元素，再與其它進(jìn)行排列./amyhdc/第7頁(yè)例4.

5個(gè)人站成一排，甲總站在乙右側(cè)有多少種站法？幾個(gè)元素次序一定排列問(wèn)題，普通是先排列，再消去這幾個(gè)元素次序.或者，先讓其它元素選取位置排列，留下來(lái)空位置自然就是次序一定了.4.消序法(留空法)方法1：將5個(gè)人依次站成一排，有方法2：先讓甲乙之外三人從5個(gè)位置選出3個(gè)站好，有種站法，然后再消去甲乙之間次序數(shù)∴甲總站在乙右側(cè)有站法總數(shù)為種站法，留下兩個(gè)位置自然給甲乙有1種站法∴甲總站在乙右側(cè)有站法總數(shù)為/yhdc/第8頁(yè)變式：以下列圖所表示,有5橫8豎組成方格圖,從A到B只能上行或右行共有多少條不一樣路線?解:如圖所表示→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→7將一條路經(jīng)抽象為以下一個(gè)排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四個(gè)↑和七個(gè)→組成!所以,四個(gè)↑和七個(gè)→一個(gè)排序就對(duì)應(yīng)一條路經(jīng),所以從A到B共有條不一樣路徑.4.消序法(留空法)也能夠看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④次序一定排列，有種排法./amyhyl/第9頁(yè)n個(gè)相同小球放入m(m≤n)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里最少有一個(gè)小球放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.例5.某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)1-4個(gè)教學(xué)班,每班最少一個(gè)名額,則不一樣分配方案共有___種.5.剪截法（隔板法）：分析：?jiǎn)栴}等價(jià)于把16個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子最少有一個(gè)小球放法種數(shù)問(wèn)題.將16個(gè)小球串成一串，截為4段有種截?cái)喾ǎ瑢?duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.所以，不一樣分配方案共有455種./yhylpt/第10頁(yè)n個(gè)相同小球放入m(m≤n)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里最少有一個(gè)小球放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.變式：

某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)1-4個(gè)教學(xué)班,每班名額不少于該班序號(hào)數(shù),則不一樣分配方案共有___種.5.剪截法：分析：?jiǎn)栴}等價(jià)于先給2班1個(gè)，3班2個(gè)，4班3個(gè)，再把余下10個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子最少有一個(gè)小球放法種數(shù)問(wèn)題.將10個(gè)小球串成一串，截為4段有種截?cái)喾?，?duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.所以，不一樣分配方案共有84種./yhxsyl/第11頁(yè)編號(hào)為1至nn個(gè)小球放入編號(hào)為1到nn個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球.要求小球與盒子編號(hào)都不一樣,這種排列稱為錯(cuò)位排列.6.錯(cuò)位法：尤其當(dāng)n=2,3,4,5時(shí)錯(cuò)位數(shù)各為1,2,9,44.例6.編號(hào)為1至66個(gè)小球放入編號(hào)為1至66個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球,其中恰有2個(gè)小球與盒子編號(hào)相同放法有____種.解：選取編號(hào)相同兩組球和盒子方法有種,其余4組球與盒子需錯(cuò)位排列有9種放法.故所求方法有15×9＝135種.變式：求其中恰有2個(gè)小球與盒子編號(hào)相同概率./amyhxsyl/第12頁(yè)7.剔除法從總體中排除不符合條件方法數(shù)，這是一個(gè)間接解題方法.例7.四面體頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn),在其中取4個(gè)不共面點(diǎn),不一樣取法共有__種.解：本題直接計(jì)數(shù)很困難,可用間接法，∴故不一樣取法共有210-60-6-3＝141種.從10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)有種方法,剔除四點(diǎn)共面情況有:(1)四點(diǎn)在同一表面三角形上種數(shù)為(2)一條棱上三點(diǎn)與其對(duì)棱中點(diǎn)共面種數(shù)為6(3)平行一組對(duì)棱過(guò)余下四中點(diǎn)共面種數(shù)有3種.變式：求每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連線中異面直線對(duì)數(shù)./yhylgs/第13頁(yè)8.科學(xué)分類法

對(duì)于較復(fù)雜排列組合問(wèn)題，因?yàn)榍闆r繁多，所以要對(duì)各種不一樣情況，進(jìn)行科學(xué)分類，方便有條不紊地進(jìn)行解答，防止重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生.例8任意相鄰兩個(gè)數(shù)碼之和能被3整除五位數(shù)個(gè)數(shù)是_____分析：由題意，每相鄰兩個(gè)數(shù)碼各自被3除余數(shù)之和必為0或3.第1位第2位第3位第4位第5位所以，需要將十個(gè)數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分為三組：第一組為：0,3,6,9;第二組為：1,4,7;第三組為：2,5,8./yhyljt/第14頁(yè)例8任意相鄰兩個(gè)數(shù)碼之和能被3整除五位數(shù)個(gè)數(shù)是_____分析：由題意，每相鄰兩個(gè)數(shù)碼各自被3除余數(shù)之和必為0或3.第1位第2位第3位第4位第5位所以，需要將十個(gè)數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分為三組：第1組為：0,3,6,9;第2組為：1,4,7;第3組為：2,5,8.第一類：五個(gè)位置全部由第1組數(shù)字填充，有個(gè)；第二類：三個(gè)奇位由第2組數(shù)填充，二個(gè)偶位由第3組數(shù)填充，有個(gè)；第三類：三個(gè)奇位由第3組數(shù)填充，二個(gè)偶位由第2組數(shù)填充，有個(gè).所以共有符合題意五位數(shù)個(gè)./yhylgs/第15頁(yè)9.配正確問(wèn)題如“10位學(xué)生父母參加了家長(zhǎng)聯(lián)誼會(huì)，一次集會(huì)中因某種原因僅來(lái)了8人，試求恰好有兩位學(xué)生父母來(lái)齊概率”問(wèn)題.分析：首先，20人來(lái)了8人全部可能為：其次，20人來(lái)了8人中恰好兩對(duì)夫妻可能為：①先取出兩對(duì)夫妻有種取法；②再確定不是夫妻4人有種方法；∴恰好有兩位學(xué)生父母來(lái)齊概率為：/wnsrgw/第16頁(yè)排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、