《極限概念》許聰聰《高等數(shù)學(xué)》之1/57

講課部分2流程

說課部分1教學(xué)內(nèi)容

教學(xué)目標(biāo)

重點(diǎn)難點(diǎn)

地位作用

學(xué)生情況

教學(xué)方法

設(shè)計(jì)思緒引入

極限思想

數(shù)列極限

函數(shù)極限

極限應(yīng)用2/57（一）教學(xué)內(nèi)容第二節(jié)極限概念一、數(shù)列極限二、函數(shù)極限一、說課第一章函數(shù)與極限3/57知識目標(biāo)了解數(shù)列極限及函數(shù)極限概念及思想，并判斷簡單函數(shù)極限

素質(zhì)目標(biāo)高度概括能力抽象思維能力能力目標(biāo)用極限及辯證思維模式去思索問題、分析問題、處理問題一、說課（二）教學(xué)目標(biāo)4/57（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)

數(shù)列極限概念及求法函數(shù)極限概念及判斷

數(shù)列極限概念了解函數(shù)極限概念了解與判斷

教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)一、說課5/57

定積分極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)無窮級數(shù)不定積分微分方程一元函數(shù)多元函數(shù)（四）本節(jié)在本門課中地位與作用靈魂一、說課6/57一、說課學(xué)生情況高中階段接觸過極限概念只能對最簡單數(shù)列進(jìn)行判斷（五）學(xué)生情況只能對最簡單函數(shù)進(jìn)行計(jì)算對極限思想了解不夠7/57

教學(xué)內(nèi)容教法問題驅(qū)動法對比講授討論啟發(fā)一、說課（六）教學(xué)方法8/57數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)1信息化方式引入數(shù)學(xué)教學(xué)3.4數(shù)學(xué)建模思想滲透數(shù)學(xué)教學(xué)了解數(shù)學(xué)發(fā)覺數(shù)學(xué)美愛上數(shù)學(xué)享用數(shù)學(xué)一、說課（七）設(shè)計(jì)思緒數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)29/57內(nèi)容梳理一、說課數(shù)學(xué)理論篇數(shù)學(xué)應(yīng)用篇極限思想數(shù)列極限函數(shù)極限極限應(yīng)用（5分鐘）（10分鐘）（15分鐘）（10分鐘）數(shù)學(xué)文化篇文化價值科學(xué)價值應(yīng)用價值藝術(shù)價值數(shù)學(xué)素質(zhì)教育10/57導(dǎo)入新課1數(shù)學(xué)文化篇2數(shù)學(xué)理論篇3數(shù)學(xué)應(yīng)用篇4一、說課11/57二、講課請思索這兩句詩意境！導(dǎo)入新課112/57劉徽(約225–295年)

我國古代魏末晉初出色數(shù)學(xué)家。他撰寫《重差》對《九章算術(shù)》中方法和公式作了全方面評注，指出并糾正了其中錯誤，在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了出色貢獻(xiàn)。他“割圓術(shù)”求圓周率

方法：它包含了數(shù)學(xué)文化篇2二、講課“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不割，則與圓周合體而無所失矣”“用已知迫近未知,用近似迫近準(zhǔn)確”主要極限思想13/57“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：播放——劉徽數(shù)學(xué)文化篇2二、講課14/57正六邊形面積正十二邊形面積正邊形面積數(shù)學(xué)文化篇2二、講課15/572、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”數(shù)學(xué)文化篇2二、講課——《莊子.天下篇》第一天截完后所剩杖長度為第二天截完后所剩杖長度為第n天截完后所剩杖長度為16/57按一定次序排列一列數(shù)這一列有序數(shù)就叫數(shù)列.記為其中每個數(shù)稱為數(shù)列項(xiàng),稱為通項(xiàng)(普通項(xiàng)).數(shù)學(xué)理論篇3（一）數(shù)列極限二、講課

定義1簡練美對于數(shù)列，不然稱該數(shù)列發(fā)散．

定義2假如當(dāng)n無限增大時，無限靠近于某個確定常數(shù)A，則稱A為數(shù)列或稱數(shù)列收斂于A,記為或極限，17/57數(shù)學(xué)理論篇3二、講課1.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)

例1

觀察以下數(shù)列極限：注：2.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列.可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸（1）01所以收斂于1上依次取18/57數(shù)學(xué)理論篇3二、講課（4）所以所以發(fā)散（2）024816趨勢不定，發(fā)散（3）01所以收斂于119/57播放數(shù)學(xué)理論篇3二、講課收斂于1。（5）趨勢不直觀，觀察下面動畫20/57數(shù)學(xué)理論篇3二、講課（1）（2）（4）（5）單調(diào)增加趨近于1單調(diào)增加但無極限擺動無極限左右擺動趨近于1收斂單調(diào)增加收斂單調(diào)降低收斂左右擺動收斂發(fā)散無窮發(fā)散擺動發(fā)散單調(diào)數(shù)列不一定有極限擺動不一定發(fā)散（1）（5）（3）（4）（2）（3）單調(diào)增加趨近于021/57引例考查函數(shù)當(dāng)無限增大時改變趨勢。

數(shù)學(xué)理論篇3二、講課（二）函數(shù)極限把數(shù)列推廣到普通函數(shù)1.自變量趨向無窮時函數(shù)極限xOy由高中知識可知，注意到，此時，。定義可看作推廣。與數(shù)列極限定義對比可得y=A為函數(shù)f(x)水平漸近線。22/57定義3:假如當(dāng)絕對值無限增大時,函數(shù)無限靠近于常數(shù)則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時極限,記作或假如在上述定義中,限制只取正值或者只取負(fù)值,即有或則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)或時極限.數(shù)學(xué)理論篇3二、講課注意到意味著同時考慮與能夠得到下面定理:23/57

所以極限二、講課數(shù)學(xué)理論篇3例2

討論極限解因?yàn)椴淮嬖?Oxy定理1極限充分必要條件是對稱美24/57極限與有沒有定義無關(guān)

圖１O(jiān)1-1(1,2)xyf(x)=x+1圖2O1-1(1,2)xyf(x)=x+12.自變量趨向有限值時函數(shù)極限二、講課數(shù)學(xué)理論篇3以及函數(shù)改變趨勢？引例

討論當(dāng)時，改變趨勢，函數(shù)25/57二、講課數(shù)學(xué)理論篇3定義4設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義.假如當(dāng)時,函數(shù)無限接近于常數(shù)則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時極限.記作或函數(shù)從左側(cè)(或右側(cè))趨于當(dāng)自變量時,趨于常數(shù),則稱為在點(diǎn)處左極限(或右極限),記為或26/57二、講課數(shù)學(xué)理論篇3OyxAOyxA注意到意味著同時考慮與能夠得到下面定理:定理2極限充分必要條件為27/57例3.

解從右圖易見，1。e2?顯然e

2,從而故函數(shù)f(x)當(dāng)x1時極限不存在。討論函數(shù)當(dāng)時，極限是否存在？數(shù)學(xué)理論篇3二、講課。yO強(qiáng)調(diào)：能夠借助圖像去觀察，但不要過分依賴圖像28/57極限無限靠近無限靠近數(shù)列函數(shù)數(shù)學(xué)理論篇3二、講課無窮點(diǎn)量變到質(zhì)變統(tǒng)一美29/57數(shù)學(xué)應(yīng)用篇4

有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每個月生產(chǎn)一對小兔。而所生小兔亦在第二個月成年，第三個月生產(chǎn)另一對小兔，以后亦每個月生產(chǎn)小兔一對，試問一年后共有小兔幾對？以后每個月增加速度怎么樣？二、講課1提出問題問題假設(shè)1假定每產(chǎn)一對小兔必一雌一雄；2均無死亡。1.問題假設(shè)是建立模型關(guān)鍵；2.注意假設(shè)合理性。30/571月12月23月34月55月86月13成兔仔兔數(shù)學(xué)應(yīng)用篇4二、講課觀察一下數(shù)列之間有什么樣關(guān)系？當(dāng)前12分析問題31/57Fibonacci數(shù)列

1，1，2，3，5，8，13，寫出數(shù)列數(shù)學(xué)應(yīng)用篇4二、講課遞推關(guān)系：3處理問題89，通項(xiàng)：一年后兔子共有兔子233對21，34，55，233144，32/57數(shù)學(xué)應(yīng)用篇4二、講課多年后成年兔子與仔兔數(shù)量均以每個月61.8%速度增加與Fibonacci數(shù)列緊密相關(guān)一個主要極限黃金分割4問題升華（2）證券投資艾略特“波浪理論”（1）樹分枝

33/57內(nèi)容小結(jié)1.

數(shù)列極限概念及簡單計(jì)算2.函數(shù)極限，左、右極限概念及判定思索與練習(xí)1.若極限存在,

課后作業(yè)

是否一定有二、講課P4710;11?2.設(shè)函數(shù)且存在,則334/57謝謝大家！35/571、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽二、講課數(shù)學(xué)文化篇236/57“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽數(shù)學(xué)文化篇2二、講課37/57“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽數(shù)學(xué)文化篇2二、講課38/57“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽數(shù)學(xué)文化篇2二、講課39/57“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽數(shù)學(xué)文化篇2二、講課40/57“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽數(shù)學(xué)文化篇2二、講課41/57“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽數(shù)學(xué)文化篇2二、講課42/57“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽數(shù)學(xué)文化篇2二、講課43/57數(shù)學(xué)理論篇3二、講課44/57數(shù)學(xué)理論篇3二、講課45/57數(shù)學(xué)理論篇3二、講課46/57數(shù)學(xué)理論篇3二、講課47/57數(shù)學(xué)理論篇3二、講課48/57數(shù)學(xué)理論篇3二、講課49/57數(shù)學(xué)理論篇3二、講課50/57數(shù)學(xué)理論篇3二、講課5