特色題型專題：分類討論思想在三角形中的運(yùn)用1．(2017·河南中考)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝eq\r(2)＋1，點(diǎn)M，N分別是邊BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線折疊∠B，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′始終落在邊AC上．若△MB′C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為__________．第1題圖第2題圖第3題圖2．★(2017·河南模擬)如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝1，F(xiàn)是邊BC上不與B，C兩點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，直線l垂直平分BF，垂足為點(diǎn)D.當(dāng)△AFC是等腰三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為________．3．★(2017·開封一模)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝8，AB＝6，點(diǎn)E為射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處．若△CEF為直角三角形，則DE的長(zhǎng)為________．4．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝2eq\r(3)，E是AB邊上一點(diǎn)，AE＝2，F(xiàn)是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿直線EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′.當(dāng)E，A′，C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求DF的長(zhǎng)．5．(2017·河南模擬)如圖，在Rt△ABC中，BC＝AC＝4，D是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ACD沿直線CD折疊，點(diǎn)A落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)A′處．當(dāng)A′D垂直于Rt△ABC的直角邊時(shí)，求AD的長(zhǎng)．6．★如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，把△ABP沿BP折疊，使A落在A′處．當(dāng)△A′DC為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．

參考答案與解析1.eq\f(\r(2)＋1,2)或1解析：應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：(1)如圖①，當(dāng)∠B′MC＝90°時(shí)，點(diǎn)B′與點(diǎn)A重合，此時(shí)M是BC的中點(diǎn)，∴BM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2)＋1,2)；(2)如圖②，當(dāng)∠MB′C＝90°時(shí)，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM＝eq\r(2)MB′.由折疊可知BM＝B′M，∴CM＝eq\r(2)BM.∵BC＝eq\r(2)＋1，∴CM＋BM＝eq\r(2)BM＋BM＝eq\r(2)＋1，∴BM＝1.綜上所述，當(dāng)△MB′C為直角三角形時(shí)，BM的長(zhǎng)為eq\f(\r(2)＋1,2)或1.2.eq\f(\r(2),4)或eq\f(\r(2)－1,2)解析：∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝1，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(2).分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)AF＝CF時(shí)，∠FAC＝∠C＝45°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，∴BF＝CF＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2),2).∵直線l垂直平分BF，∴BD＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(\r(2),4)；②當(dāng)CF＝CA＝1時(shí)，BF＝BC－CF＝eq\r(2)－1.∵直線l垂直平分BF，∴BD＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(\r(2)－1,2).綜上所述，BD的長(zhǎng)為eq\f(\r(2),4)或eq\f(\r(2)－1,2).3.eq\f(8,3)或8或eq\f(32－8\r(7),3)解析：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠D＝∠B＝90°，CD＝AB＝6，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(82＋62)＝10.當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，有三種情況：(1)當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，∠CFE＝90°，如圖①所示．由折疊的性質(zhì)得EF＝DE，AF＝AD＝8，∴CF＝AC－AF＝2.設(shè)DE＝x，則EF＝x，CE＝6－x.在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2＋CF2＝CE2，即x2＋22＝(6－x)2，解得x＝eq\f(8,3)，即DE＝eq\f(8,3)；(2)當(dāng)點(diǎn)F落在AB邊上，∠CEF＝90°時(shí)，如圖②所示．由折疊可知∠DAE＝∠FAE.∵∠D＝∠DAF＝90°，∴∠DAE＝45°，∴△DAE為等腰直角三角形，∴DE＝AD＝8.(3)當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，∠C＝90°，如圖③所示．由折疊可知AF＝AD＝8.在Rt△ABF中，BF＝eq\r(AF2－AB2)＝2eq\r(7).設(shè)DE＝EF＝x，則CE＝6－x，CF＝BC－BF＝8－2eq\r(,7).在Rt△EFC中，∵EF2＝EC2＋CF2，即x2＝(6－x)2＋(8－2eq\r(7))2，∴x＝eq\f(32－8\r(7),3)，即DE＝eq\f(32－8\r(7),3).綜上所述，當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為eq\f(8,3)或8或eq\f(32－8\r(7),3).4．解：應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：(1)如圖①，當(dāng)F是線段CD上的點(diǎn)時(shí)，由折疊可知∠FEA＝∠FEA′.∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF.在Rt△BCE中，由勾股定理得CE＝eq\r(BC2＋EB2)＝eq\r(（2\r(3)）2＋42)＝2eq\r(7)，∴CF＝CE＝2eq\r(7).∵CD＝AB＝6，∴DF＝CD－CF＝6－2eq\r(7)；(2)如圖②，當(dāng)F是DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，同理可得CF＝CE＝2eq\r(7).∵CD＝AB＝6，∴DF＝CD＋CF＝6＋2eq\r(7).綜上所述，DF的長(zhǎng)為6＋2eq\r(7)或6－2eq\r(7).5．解：∵在Rt△ABC中，BC＝AC＝4，∴AB＝4eq\r(,2)，∠A＝∠B＝45°.分兩種情況討論：(1)如圖①，當(dāng)A′D⊥AC時(shí)，∵AC⊥BC，∴A′D∥BC，∴∠A′＝∠A′CB.設(shè)AD＝x，由折疊可知∠A′＝∠A＝45°，A′D＝AD＝x，∴∠A′CB＝45°.又∵∠B＝45°，∴A′C⊥AB.設(shè)A′C交AB于點(diǎn)H，由勾股定理易得BH＝eq\f(\r(2),2)BC＝2eq\r(2)，DH＝eq\f(\r(2),2)A′D＝eq\f(\r(,2),2)x.∵AD＋DH＋HB＝AB，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝4eq\r(2)，x＋eq\f(\r(2),2)x＋2eq\r(2)＝4eq\r(2)，解得x＝4eq\r(2)－4，∴AD＝4eq\r(2)－4；(2)如圖②，當(dāng)A′D⊥BC時(shí)，易知A′D∥AC，∴∠ACD＝∠A′DC.由折疊可知AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，∴∠A′DC＝∠A′CD，∴A′D＝A′C，∴AD＝AC＝4.綜上所述，AD的長(zhǎng)為4eq\r(2)－4或4.6．解：應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論：(1)如圖①，當(dāng)A′D＝A′C時(shí)，過點(diǎn)A′作EF⊥CD交DC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則EF垂直平分CD，EF垂直平分AB，∴A′A＝A′B.由折疊得AB＝A′B，∠ABP＝∠A′BP，∴△ABA′是等邊三角形，∴∠ABP＝30°.∵AB＝2，∴由勾股定理得AP＝eq\f(2,3)eq\r(3)；(2)如圖②，當(dāng)A′D＝DC時(shí)，A′D＝2.由折疊得A′B＝AB＝2，∴A′B＋A′D＝2＋2＝4.連接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，∴A′B＋A′