專題17導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-2024高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國通用）專題17導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考向一切線方程【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）【母題題文】若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【試題解析】【詳解】∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：【命題意圖】本題主要考查設(shè)出切點橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，屬于基礎(chǔ)題.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題目，是歷年高考的熱點．常見的命題角度有：（1）已知切點求斜率；（2）已知斜率求切點；（3）切點、斜率均未知.【得分要點】設(shè)切點為(x0,y0)；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將x0代入導(dǎo)函數(shù)得切線的斜率k；（3）由斜率k和切點(x0,y0)求參數(shù)的值.考向二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點與極值【母題來源】2022年高考全國乙卷（理科）【母題題文】已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．【試題解析】【詳解】解：，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，若時，當(dāng)時，，則此時，與前面矛盾，故不符合題意，若時，則方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，∵,∴函數(shù)的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，又∵,∴的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關(guān)于軸作對稱變換，然后將圖象上的每個點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長或縮短為原來的倍得到，如圖所示：設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【命題意圖】本題考查了函數(shù)的極值點問題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇題、填空題和解答題形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為中擋題目，是歷年高考的熱點．常見的命題角度有：（1）求函數(shù)的極值點；（2）求函數(shù)的極值；（3）由函數(shù)的極值點極值解參數(shù)范圍.【得分要點】（1）求函數(shù)的定義域、求導(dǎo)；（2）列表分析,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）從表中找出單調(diào)性發(fā)生變化的交界點(即極值點)；（4）最后求出所有極值點處的函數(shù)值,即得所求函數(shù)的極值.考向三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【母題來源】2022年高全國乙卷（文科）【母題題文】函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）A. B. C. D.【試題解析】【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D【命題意圖】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出的最小值和最大值.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇題、填空題和解答題形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為中擋題目，是歷年高考的熱點．常見的命題角度有：（1）求函數(shù)的最值；（2）利用最值求參數(shù)范圍.【得分要點】（1）求函數(shù)的定義域、求導(dǎo)；（2）列表分析，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）從表中找出單調(diào)性發(fā)生變化的交界點，進而求出最值.一、單選題1．（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（文））曲線在處的切線方程是（

）A． B．C． D．2．（2022·河南·平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A．1 B．2 C．4 D．53．（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象在處的切線對應(yīng)的傾斜角為，則sin2=（

）A． B．± C． D．±4．（2022·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）已知a，b為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．135．（2022·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測（理））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．6．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．7．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知是函數(shù)的一個極值點，則的值是（

）A．1 B． C． D．8．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)至多有2個不同的零點，則實數(shù)a的最大值為（

）．A．0 B．1 C．2 D．e二、填空題9．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知拋物線在處的切線過點，則該拋物線的焦點坐標(biāo)為________．10．（2022·北京市大興區(qū)興華中學(xué)三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是___________.11．（2022·湖北·黃岡中學(xué)二模）函數(shù)的圖象如圖所示，記、、，則、、最大的是________.12．（2022·全國·模擬預(yù)測）請寫出函數(shù)的一個極大值：__________．三、解答題13．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．14．（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)在處取得極值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．15．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知函數(shù).(1)若有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時，證明：.16．（2022·北京市第九中學(xué)模擬預(yù)測）已知．(1)當(dāng)時，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；(2)求證：.17．（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小值為．(1)求的值；(2)已知，，在上恒成立，求的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，）18．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)討論函數(shù)零點的個數(shù)．專題17導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考向一切線方程【母題來源】2022年高考全國甲卷（理科）【母題題文】若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【試題解析】【詳解】∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：【命題意圖】本題主要考查設(shè)出切點橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，屬于基礎(chǔ)題.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇填空形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為抵擋題目，是歷年高考的熱點．常見的命題角度有：（1）已知切點求斜率；（2）已知斜率求切點；（3）切點、斜率均未知.【得分要點】設(shè)切點為(x0,y0)；（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將x0代入導(dǎo)函數(shù)得切線的斜率k；（3）由斜率k和切點(x0,y0)求參數(shù)的值.考向二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點與極值【母題來源】2022年高考全國乙卷（理科）【母題題文】已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．【試題解析】【詳解】解：，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，若時，當(dāng)時，，則此時，與前面矛盾，故不符合題意，若時，則方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，∵,∴函數(shù)的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，又∵,∴的圖象由指數(shù)函數(shù)向下關(guān)于軸作對稱變換，然后將圖象上的每個點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長或縮短為原來的倍得到，如圖所示：設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【命題意圖】本題考查了函數(shù)的極值點問題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，有一定的難度.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇題、填空題和解答題形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為中擋題目，是歷年高考的熱點．常見的命題角度有：（1）求函數(shù)的極值點；（2）求函數(shù)的極值；（3）由函數(shù)的極值點極值解參數(shù)范圍.【得分要點】（1）求函數(shù)的定義域、求導(dǎo)；（2）列表分析,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）從表中找出單調(diào)性發(fā)生變化的交界點(即極值點)；（4）最后求出所有極值點處的函數(shù)值,即得所求函數(shù)的極值.考向三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【母題來源】2022年高全國乙卷（文科）【母題題文】函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）A. B. C. D.【試題解析】【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D【命題意圖】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出的最小值和最大值.【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇題、填空題和解答題形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為中擋題目，是歷年高考的熱點．常見的命題角度有：（1）求函數(shù)的最值；（2）利用最值求參數(shù)范圍.【得分要點】（1）求函數(shù)的定義域、求導(dǎo)；（2）列表分析，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）從表中找出單調(diào)性發(fā)生變化的交界點，進而求出最值.一、單選題1．（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（文））曲線在處的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去求曲線在處的切線方程【詳解】，則，當(dāng)時，，，所以切線方程為，即．故選：D．2．（2022·河南·平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，利用切線方程，得到方程組，求出，，求出答案.【詳解】由，則，所以解得：，，所以.故選：D.3．（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象在處的切線對應(yīng)的傾斜角為，則sin2=（

）A． B．± C． D．±【答案】C【解析】【分析】先求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到函數(shù)在處的切線斜率，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系得到sin2的值．【詳解】因為所以當(dāng)時，，此時，∴．故選：C.4．（2022·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）已知a，b為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．13【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點為,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知切線的方程，可得切線的斜率，求得切點的坐標(biāo)，可得,再由乘1法結(jié)合基本不等式，即可得到所求最小值．【詳解】設(shè)切點為，的導(dǎo)數(shù)為，由切線的方程可得切線的斜率為1，令，則，故切點為，代入，得，、為正實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，取得最小值9，故選：B5．（2022·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測（理））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，解不等式可得.【詳解】的定義域為解不等式，可得，故函數(shù)的遞減區(qū)間為.故選：B．6．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】確定函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，將化為，比較的大小關(guān)系即可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，，故為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則，即單調(diào)遞增，故，所以，則在時單調(diào)遞增，由于因為，而，，即，則，故選：B7．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知是函數(shù)的一個極值點，則的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題知，可得，由二倍角公式可算得，進而有，所以.【詳解】，∴，∴，∴故選：D8．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)至多有2個不同的零點，則實數(shù)a的最大值為（

）．A．0 B．1 C．2 D．e【答案】C【解析】【分析】先將零點問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點問題，構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，極值，畫出函數(shù)圖象，從而得到或，再次構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，研究其單調(diào)性，解出不等式，求出數(shù)a的最大值.【詳解】令，得到，函數(shù)至多有2個不同的零點，等價于至多有兩個不同的根，即函數(shù)與至多有2個不同的交點令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)或時，，單調(diào)遞減，所以與為函數(shù)的極值點，且，且在R上恒成立，畫出的圖象如下：有圖可知：或時，符合題意，其中，解得：，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由可得：，所以，綜上：實數(shù)a的最大值為2故選：C【點睛】對于函數(shù)零點問題，直接求解無法求解時，可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點問題，數(shù)形結(jié)合進行解決.二、填空題9．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知拋物線在處的切線過點，則該拋物線的焦點坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】本題根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)解決直線與拋物線相切問題．【詳解】解：由題意得：由可得，求導(dǎo)可得，故切線斜率為故切線方程為又因為該切線過點，所以，解得拋物線方程為，焦點坐標(biāo)為．故答案為：10．（2022·北京市大興區(qū)興華中學(xué)三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】.【解析】【分析】使用等價轉(zhuǎn)化的思想，轉(zhuǎn)化為在恒成立，然后利用分離參數(shù)的方法，結(jié)合輔助角公式，可得，簡單計算和判斷，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減等價于在恒成立即在恒成立則在恒成立，所以，由，所以故，則，所以，即故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參，難點在于得到在恒成立，通過等價轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡，同時結(jié)合分離參數(shù)方法的，轉(zhuǎn)化為最值問題，屬中檔題.11．（2022·湖北·黃岡中學(xué)二模）函數(shù)的圖象如圖所示，記、、，則、、最大的是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合的圖象分析判斷即可【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，、、分別為處的切線斜率，又與處的切線單調(diào)遞增，處的切線單調(diào)遞減，且處的切線比處的切線更陡峭，∴，故最大為.故答案為：12．（2022·全國·模擬預(yù)測）請寫出函數(shù)的一個極大值：__________．【答案】形如即可（答案不唯一）【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間從求出函數(shù)的極大值點，再代入計算可得；【詳解】解：因為定義域為，且，令即，解得，令即，解得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在處取得極大值，所以，，故答案為：，（答案不唯一）三、解答題13．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】(1)由得，，，所以在處的切線方程為：，即.(2)記，則，顯然可得在單調(diào)遞減.當(dāng)時，，從而在上恒成立,故在上單調(diào)遞增，又因為，所以即在上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時，，，所以，使得，又在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，在上恒成立．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以，又．令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以．所以存在，使得，所以在上，在上，所以在上，在上．所以在區(qū)間上既有減區(qū)間，也有增區(qū)間，不符合題意．綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．14．（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)在處取得極值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用題給條件列出關(guān)于a，b的方程組，解之并進行檢驗后即可求得a，b的值；（2）利用題給條件列出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即得實數(shù)的取值范圍．(1)，則．因為函數(shù)在處取得極值4，所以，解得此時．易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則是函數(shù)的極大值點，符合題意．故，．(2)若存在，使成立，則．由（1）得，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．15．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知函數(shù).(1)若有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有兩個極值點轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)等于0有兩不相等的根，分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為分析大致圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解即可;（2）不等式可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后得到函數(shù)極小值，轉(zhuǎn)化為求極小值大于0即可.(1)的定義域為，，由題意在上有兩解，即，即有兩解.令，即的圖象與直線有兩個交點.，得，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減，，，時，；時，，，，a的取值范圍是.(2)當(dāng)時，，即證，即證，令，，令，則，當(dāng)時，，在遞增.，，存在唯一的，使得，當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增，.又，，，，，.16．（2022·北京市第九中學(xué)模擬預(yù)測）已知．(1)當(dāng)時，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；(2)求證：.【答案】(1)1；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）把代入，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，再由作答.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)借助單調(diào)性證明作答.(1)當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以在R上單調(diào)遞增，而，即0是的唯一零點，所以函數(shù)零點的個數(shù)是1.(2)，令，則，因，則，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以當(dāng)時，成立.17．（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小值為．(1)求的值；(2)已知，，在上恒成立，求的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求導(dǎo)求單調(diào)性，再求最值即可；（2）根據(jù)題意得對恒成立，令，再求導(dǎo)求最值即可.(1)由題可知．令，解得；令，解得．所以在上單調(diào)遞減，