1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題

學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)

1.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平

面、相互平行的直線、相互平行的平面

1.數(shù)學(xué)抽象：認(rèn)識(shí)空間距離，理解空間

間的距離問(wèn)題.

角的概念.

2.能用向量方法解決線線、線面、面面

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象：計(jì)算空間距離

的夾角的計(jì)算問(wèn)題.

及空間角.

3.體會(huì)向量方法在解決立體幾何問(wèn)題中

的作用.

第1課時(shí)用空間向量研究距離問(wèn)題

必備知識(shí)-落1實(shí)

知識(shí)點(diǎn)一直線外一點(diǎn)到直線的距離

如圖，設(shè)向量力=a,直線/的單位方向向量為〃，則向量屈

在直線I上的投影向量超=3")〃，則點(diǎn)P到直線/的距離PQ=

■\/|AP|2-|A2|2=、標(biāo)—戶.

勰點(diǎn)撥--------------------------------

兩條平行線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直

線的距離.所以兩條平行線之間的距離可以用點(diǎn)到直線的距離公式解決.

ETT1已知在直三棱柱Ci中，AAi=1,A3=4,

=3,ZABC=9Q°,求點(diǎn)3到直線4G的距離.

【解】以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，癡，3C,331所在直線分別

為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝|3(0,0,0),4(4,0,1),Ci(0,3,1),

所以直線AiCi的方向向量

AiCi=(-4,3,0),BCi=(0,3,1),

所以點(diǎn)B到直線4。的距離

胭題技巧------------------------------

用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟

⑴建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)求直線的單位方向向量u.

⑶計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量a.

(4)利用公式PQ=yla2-(???)2計(jì)算點(diǎn)到直線的距離.

＜跟蹤訓(xùn)練已知直線/過(guò)定點(diǎn)A(2,3,1),且方向向量為s=(0,1,1),

則點(diǎn)P(4,3,2)到/的距離為()

A.辛B.當(dāng)

C.D.y/2

解析：選A.因?yàn)锳(2,3,1),P(4,3,2),所以加=(2,0,1),

APs1

貝W|=小.由點(diǎn)到直線的距離公式得d

同

寸"附2=￥,故選A.

知識(shí)點(diǎn)二平面外一點(diǎn)到平面的距離

如圖，設(shè)平面a的法向量為〃，P生a,A?a,PQLa,

AP在直線/上的投影向量為四，”是直線/的方向向量,

則點(diǎn)P到平面a的距離PQ=

微點(diǎn)撥--------------------------------

線面距離、面面距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離求解.

0T21已知正四棱柱ABCD-ALBCLDI,AB=1,A4I=2,點(diǎn)石為CCI中點(diǎn),

求點(diǎn)Di到平面BDE的距離.

【解】以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。孫z如圖，

所以。(0,0,0),B(l,1,0),D1(O,0,2),E(0,1,1),故而

=(1,1,0),UE=(0,1,1).設(shè)平面3DE的法向量為〃=(x,y,z),

則n.LDB,n.LDE.

In-DB=Qy%+y=0,\y=-x,

故有1一所以彳所以<

、y+z=0,[z=x.

\<n-DE=0,

?。?1,則y=—l,z=l,所以〃=(1,—1,1).

因?yàn)辄c(diǎn)Di到平面BDE的距離8」“網(wǎng),DDi=(0,0,2),

所以防r〃=2,|〃|=小，

所以4=友=羋，即點(diǎn)0】到平面BDE的距離為平.

胭題技巧--------------------------------

用向量法求點(diǎn)到平面的距離的步驟

［建坐標(biāo)系H結(jié)合圖形的特點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系)

〔求向量卜在蟀系中求出點(diǎn)到平面內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向

量痛’

,、設(shè)出平面的法向量，利用向量垂直的條件列,

［求法向量卜出方程組，求出法向量”的一個(gè)單位向量

〃-0一=二

［得距離，代入公式4=1而計(jì)算)

＜跟蹤訓(xùn)練若三棱錐P-A3C的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足必=P3=PC

b則點(diǎn)尸到平面A3C的距離是()

從小BR.逅3

D.坐

解析：選D.以尸為原點(diǎn)，分別以必，PB,PC所在的直線為x

c\

軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(l,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的

一個(gè)法向量為〃=(1,1,1),又送=(1,0,0),則點(diǎn)P到平面A3C

,_,\PA-n\A/3

的距禺d=W=3-

-------------------關(guān)鍵能力-陽(yáng)E3)-------------

考點(diǎn)線面、面面的距離

EB1已知正方體ABCD-ALBICLDI的棱長(zhǎng)為1,求平面ALBD與平面BCD

間的距離.

【解】以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),A1(1,

0,1),3(1,1,0),01(0,0,1),7k8=(o,1,-1),Ad)=(-1,0,-1),AlD

1=(-1,0,0).

設(shè)平面A1BD的法向量為〃=(x,y,z),

n-AiB=Q,

則,

n-AJ)=Q,

廠z=0,

即彳

L—x—z=0.

令z=l,得y=l,X=-1,

所以“=(—1,1,1).

所以Di到平面A山。的距離d=四件?=±=坐.

I川勺33

由題意可知平面ALB。〃平面BiCDi,所以平面AiBD與平面HiCDi間的距

離等于點(diǎn)Di到平面ALB。的距離，所以平面ALB。與平面BiCDi間的距離為為二

陶題技巧---------------------------------

求直線、平面到它的平行平面的距離，先在直線、平面上找到一點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)

化為求點(diǎn)到平面的距離，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以求解最簡(jiǎn)便為準(zhǔn)則.

＜跟蹤訓(xùn)練如圖,在底面是直角梯形的四棱錐P-A3CD中,

側(cè)棱出，底面A3CD,BC//AD,ZABC=9Q°,PA=AB=BC=2,

AD=1,求AD到平面P3C的距離.

解：分析知A5,AD,AP兩兩垂直，

所以可建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在的直線分

別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，

則A(0,0,0),BQ,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),PB

=(2,0,-2),BC=(0,2,0),設(shè)平面PBC的法向量為〃=

In-PB=0,2a—2c=0,

(Q,b,c),則《即，取〃=1,貝Ib=0,c=1,則〃=(1,

〔〃就=0,〔26=0,

0,1)是平面P3C的一個(gè)法向量.又屈=(2,0,0),AD〃平面P3C,所以所求

、一"AB?川[-

*巨禺為=V2.

N課堂鞏固=自1測(cè)

1.已知向量"=(2,0,1)為平面a的法向量，點(diǎn)A(—l,2,1)在a內(nèi)，則

P(l,2,—2)到a的距離為()

A.B.小

C.2小D.

解析：選A.因?yàn)樾?(-2,0,3),所以點(diǎn)P到平面a的距離1=與擋

1+31亞

55.

2.若兩平行平面a,4分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)A(2,1,1),且兩平面的

一個(gè)法向量〃=(—1,0,1),則兩平面間的距離是.

解析：因?yàn)閮善叫衅矫妫ド俜謩e經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)A(2,1,1),且兩平

面的一個(gè)法向量〃=(—1,0,1),則為=(2,1,1),所以兩平面間的距離d=

就|~2+0+1|也

\n\=忑=2'

處安?.2

9

3.若RtZXABC的兩條直角邊3c=3,AC=4,PC±￥ffiABC,PC=^,

則點(diǎn)P到斜邊AB的距離是.

解析：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CP所在直線分別為

x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

//C

則A(4,0,0),B(0,3,0),P(0,0,1),J

所以協(xié)=(-4,3,0),

弟=1一4,0,1),

所以點(diǎn)P到AB的距離

,JAP-ABL,81256

■J??(黃)7天一石=3.

答案：3

4.如圖，正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為1,°是平面口a

AiBiCiDi的中心，求。到平面ABCiDi的距離.CJ

解：

AB

Z\DXc,

/AB

建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

則A(l,0,0),B(l,1,0),01(0,0,1),。弓，,1

所以屈=(0,1,0),AD1=(-1,0,1).

設(shè)”=(1,y,z)是平面ABCLDI的一個(gè)法向量,

ABn=y=0,

則＜

ADin=—l+z=0,

解得y=0,z=1,所以n=(1,0,1).

一ni

又。4"2

_1

\OA-n\2y[2

所以點(diǎn)。到平面ABCiDi的距離d=

1?1一"4.

課后達(dá)標(biāo)0檢測(cè)

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.已知直線/的方向向量〃=(1,0,2),點(diǎn)A(0,1,1)在直線/上，則點(diǎn)

P(l,2,2)到直線/的距離為()

B.而

D.2^30

10

解析：選A.由已知得戌=(-1,-1,-1),

所以點(diǎn)P到直線/的距離d=J麗—同.瑞j=\^-5=5-

2.已知平面a的一個(gè)法向量”=(—2,-2,1),點(diǎn)A(—1,3,0)在平面a

內(nèi)，則點(diǎn)P(—2,1,4)到平面a的距離為()

Q1Q

A.10B.3C.D.亍

解析：選D.由修=(—1,一2,4),得點(diǎn)尸到平面a的距離d=—=y.

3.已知△ABC的頂點(diǎn)A(l,-1,2),3(5,~6,2),C(l,3,~1),則AC

邊上的高3。的長(zhǎng)等于()

A.3B.4

C.5D.6

解析：選C.因?yàn)槌?(4,-5,0),AC=(0,4,-3),則加對(duì)應(yīng)的單位

向量為〃=[o,,所以AC邊上的高BD的長(zhǎng)為B到AC的距離d=

(AB-M)2=-^41-16=5.

4.在空間直角坐標(biāo)系。盯z中，四面體A3CD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(0,0,

2),BQ,2,0),C(l,2,1),。(2,2,2),則點(diǎn)3到平面ACD的距離是()

A維B亞

A.3a-3

「虹D也

J33

解析：選A.由題意得，AD=(2,2,0),CD=(1,0,1),BD=(0,0,

|n-AD=2x+2y=0,

2).設(shè)平面ACD的法向量為〃=(x,y,z),貝仆取x=l,可

\<nCD=x+z=0,

得“=(1,-1,—1)為平面ACD的一個(gè)法向量.

所以d=|端43=￥，即點(diǎn)§到平面AC。的距離是辛.故選

A.

5.如圖，已知在長(zhǎng)方體A3CD-43ICLDI中，AiA=5,

AB=n,則直線31cl到平面AiBCDi的距離是(

A.5

c-f

解析：選C.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,12,0),01(0,0,5),設(shè)3(x,12,0),Bi(x,12,5)(x>0),則比=

(一x,0,0),CD1=(O,-12,5).設(shè)平面ALBCD的法向量為“=(a,b,c),

由〃_L比，n±CDi,得n-的=(a,b,c)-(—x,0,0)=-ax=0.

n-CDi=(a,b,c).(0,-12,5)=—12。+5c=0.

所以a=0,b=^c,所以可取"=(0,5,12).

—A

又麻=(0,0,-5),所以點(diǎn)Bi到平面ALBCDI的距離為丹罕=胃.

因?yàn)?1cl〃平面AiBCDi,所以31cl到平面ALBCDI的距離為程

6.在直三棱柱ABC-AxBiCi中，底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均等于2,且E為CQ

的中點(diǎn)，則點(diǎn)G到平面ABiE的距離為()

A.小B.\[2

22

解析：選D.

如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,筋1的方向分別為％軸，z軸的正方向，y

軸，平面AMCC建立空間直角坐標(biāo)系，可知A(0,0,0),C(2,0,0),Ci(2,0,

2),B(l,小,0),Bi(l,yf3,2).

因?yàn)镋為CCi的中點(diǎn)，所以E(2,0,1).

所以篇1=(1,y[3,2),AE=(2,0,1).

設(shè)平面ABiE的法向量為〃=(x,y,z),

n-ABi=0,x+45y+2z=0,

由彳得j令x=l,可得平面ARE的一個(gè)法向量

n-AE=0,〔2x+z=0,

為n=(l,小，-2).

又ECi=(0,0,1),

所以點(diǎn)Cl到平面AB1E的距離

7.已知直線A3〃平面a,平面a的法向量為〃=(1,0,1),平面a內(nèi)一點(diǎn)

C的坐標(biāo)為(0,0,1),直線A3上點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2,1),則直線A3到平面a

的距離為.

解析：A3到a的距離即為A到a的距離，由畫=(1,2,0),n=(l,0,

1),得A到a的距離為=古=坐.

答案：乎

8.在四棱錐P-A3CD中，設(shè)向量蓊=(4,-2,3),AD=(—4,1,0),AP

=(-6,2,-8),則頂點(diǎn)P到底面A3CD的距離為.

\AB-n=4x—2y+3z=0,

解析：設(shè)平面ABC。的法向量為〃=(%,y,z),則J

ADn=-4x+y=0,

\AP-n\

取元=3,得〃=(3,12,4),所以點(diǎn)P到底面ABCD的距離d=L-rT1=

1-18+24-321

(9+144+16~2'

答案：2

9.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AIBICLDI中，AAi=AB=2,AD用_c,

=1,點(diǎn)EG分別是A3,CCi的中點(diǎn)，則點(diǎn)Di到直線GR的A1nD'G

距離為.回芝少:

解析：如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ZM,DC,所在的直線為x軸、

y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

D)--,

則Di(0,0,2),F(l,1,0),G(0,2,1),

于是有G>=(1,-1,-1),防1=(0,-2,1),

2-11

所以M尸小,

I的=不=/

所以點(diǎn)Di到直線GF的跑離為

宏案.亞^

1=1-3

10.如圖，P為矩形A3CD所在平面外一點(diǎn)，以，平面ABCD,

若已知A3=3,AD=4,PA=1,求點(diǎn)P到3。的距離.

解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A3,AD,AP所在直線為

x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,1),5(3,0,0),D(0,4,0),

所以西=(3,0,-1),

BD=(—3,4,0),

^5ia=PB=(3,0,—1),

BD_(_34)

u~—一15,5,,

\BD\v7

9

則/=io,(1?〃=一§,

所以點(diǎn)P到BD的距離為

[B能力提升]

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。一ALBCLDI中，E,R分

別為棱A41，331的中點(diǎn)，”為棱ALBI上的一點(diǎn)，且4M

=A(0<A<2),設(shè)點(diǎn)N為ME的中點(diǎn)，則點(diǎn)N到平面DiER的

距離為()

A.小入B.號(hào)

C.當(dāng)丸

D.

解析：選D.以。為原點(diǎn)，D4為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系(圖略)，則M(2,九2),Di(O,0,2),EQ,0,1),F(2,2,1),EDi

=(-2,0,1),EF=(0,2,0),EM=(0,九1).

設(shè)平面D1E77的法向量為“=(x,y,z),

ii,EDi=_2x+z=0,

則,

n-EF=2y=09

取％=1,得〃=(1,0,2),

所以點(diǎn)M到平面DiEF的距離為

\EM-n\__2__2乖

4~^~=奉=5-

因?yàn)镹為EM的中點(diǎn),

所以N到平面DiER的距離為手，選D.

12.已知正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為a,則平面ABiDj與平面BDC1

的距離為()

A.jaB.小a

「也n亞

v---?3-L??3

解析：選D.由正方體的性質(zhì)，易得平面ABLDI〃平面

BDCi,則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面ABiDi的距

離.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi所在的直線分別為%

軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(a,0,

-?

0),B(a,a,0),AI(Q,0,a),C(0,a,0),CAi=(a,~a,

a),BA=(0,~a,0),連接AiC,則AiCXBiDi,AiCXABi,所以AC平面

得平面的一個(gè)法向量為n=(l,—1,1),則兩平面間的距離

__a__^3

=忑=3以

13.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB=4,

ZABC=6Q°,出，平面A3CD,且B4=4,E是必的中點(diǎn).求

PC到平面BED的距離.

解：取CD的中點(diǎn)連接AR,建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，則3（4,0,0）,。（一2,2小，0）,E（0,0,2）,P（0,

0,4),C(2,25，0),

所以防=(-4,0,2),DE=(2,-2^3,2).

設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n±BE,f-4x+2z=0,

則Jn1r

n±DE3-2小y+2z=0,

令z=2,得平面BED的一個(gè)法向量為〃=(1,小，2).

因?yàn)槲?（2,2小,-4）,且〃?布=2+6—8=0,所以PC〃平面BED,

所以PC到平面BED的距離就是點(diǎn)尸到平面BED的距離.

因?yàn)楸?（0,0,2）,n=（l,小，2）,所以網(wǎng)=26，EP-〃=4,所以點(diǎn)

|￡P(guān).n|4F-

P到平面BED的距離d=間=展萬(wàn)=也，所以PC到平面BED的距離為

[C拓展沖刺]

14.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面a的一般方程為Ax-\-By~\-Cz~\-D=

0（A,B,C,DeR,且A,B,C不同時(shí)為零），點(diǎn)P（xo,yo,zo）到平面a的距離

_|Axo+_Byo+Czo+Z)|

D=^A2+B2+&,則在底面邊長(zhǎng)與高都為2的正四棱錐p—A3CD中，底

面中心O到側(cè)面PAB的距離d等于（）

A.坐B(niǎo),5