2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：圖形的相似--知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．3.掌握?qǐng)D形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個(gè)圖形放大或縮?。?.掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置或由點(diǎn)的位置寫(xiě)出它的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用不同方式確定物體的位置．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、比例線段1.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分別為m，n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng).2、比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）（交換內(nèi)項(xiàng)）（交換外項(xiàng)）（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：（4）合比性質(zhì)：（5）等比性質(zhì)：3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB.考點(diǎn)二、相似圖形1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說(shuō)：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).

2.相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線的比相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【要點(diǎn)詮釋】結(jié)合兩個(gè)圖形相似，得出對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線段的長(zhǎng).對(duì)于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來(lái)的辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(3)如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(4)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

(5)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

考點(diǎn)三、位似圖形1.位似圖形的定義：

兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心.

2.位似圖形的分類(lèi)：

(1)外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外.

(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上.

3.位似圖形的性質(zhì)

位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；

位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.【要點(diǎn)詮釋】位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

4.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接截取點(diǎn).

【要點(diǎn)詮釋】

在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.【典型例題】類(lèi)型一、比例線段1.已知三個(gè)數(shù)1,2,,請(qǐng)你再添上一個(gè)(只填一個(gè))數(shù),使它們能構(gòu)成一個(gè)比例式,則這個(gè)數(shù)是_________.分析：這是一道開(kāi)放型試題,由于題中沒(méi)有告知構(gòu)成比例的各數(shù)順序,故應(yīng)考慮各種可能位置.【思路點(diǎn)撥】這是一道開(kāi)放型試題,由于題中沒(méi)有告知構(gòu)成比例的各數(shù)順序,故應(yīng)考慮各種可能位置.【答案與解析】根據(jù)比例式的概念，可得：

1×÷2=；

2×÷1=21×2÷=【總結(jié)升華】要構(gòu)成一個(gè)比例式，根據(jù)比例式的概念：如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．舉一反三：【變式】將一個(gè)菱形放在2倍的放大鏡下，則下列說(shuō)法不正確的是()

A．菱形的各角擴(kuò)大為原來(lái)的2倍B．菱形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍

C．菱形的對(duì)角線擴(kuò)大為原來(lái)的2倍D．菱形的面積擴(kuò)大為原來(lái)的4倍【答案】A.類(lèi)型二、相似圖形【高清課堂：圖形的相似考點(diǎn)10（3）】2.（2015?資陽(yáng)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠ECF=45°，過(guò)點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正確結(jié)論為（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形的特征和等高三角形的面積比等于底邊之比（共底三角形的面積之比等于高之比）.【答案】C.【解析】解：①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB==，故①正確；②如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵M(jìn)G⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位線，∴GC=AC=MH，故②正確；③如圖2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．將△ACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCD，則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③錯(cuò)誤；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AE?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，故④正確．故選：C．【總結(jié)升華】考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．3．（2015?杭州模擬）如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AF=EC，連結(jié)EF，DE，DF，M是FE中點(diǎn)，連結(jié)MC，設(shè)FE與DC相交于點(diǎn)N．則4個(gè)結(jié)論：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=，則BF=2；正確的結(jié)論有（）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，然后利用“邊角邊”證明△ADF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADF=∠CDE，然后求出∠EDF=∠ADC=90°，而∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，于是∠DGN≠∠DNG，判斷出①錯(cuò)誤；根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF，然后判斷出△DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DEF=45°，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似得到△BFG∽△EDG∽△BDE，判斷出②正確；連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM=EF，然后判斷出直線CM垂直平分BD，判斷出③正確；過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于H，得到∠MCH=45°，然后求出MH，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BF=2MH，判斷出④正確．【答案】C.【答案與解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠DEF=45°，∵∠DGN=45°+∠FDG，∠DNG=45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∴DN≠DH，判斷出①錯(cuò)誤；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD=∠DEF=45°，∠BGF=∠EGD（對(duì)頂角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE=∠DEF=45°，∠BDE=∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正確；連接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA=∠EDC，DF=DE，∴∠FDE=∠ADC=90°，∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，∴MD=EF，∵BM=EF，∴MD=MB，在△DCM與△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM=∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分線AC上，∴MC垂直平分BD；故③正確；過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于H，則∠MCH=45°，∵M(jìn)C=，∴MH=×=1，∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位線，∴BF=2MH=2，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有②③④．故選C．【總結(jié)升華】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記各性質(zhì)與定理并作輔助線是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2011湖南懷化）如圖8，△ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.求證：求這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng).【答案】（1）證明：∵四邊形EFGH為矩形，

∴EF∥GH，

∴∠AHG=∠ABC，

又∵∠HAG=∠BAC，

∴△AHG∽△ABC，

∴；

（2）解：由（1）得：設(shè)HE=xcm，MD=HE=x，

∵AD=30，

∴AM=30-x，

∵HG=2HE，

∴HG=2x，

AM=AD-DM=AD-HE=30-x（cm），

可得

，

解得，x=12，

2x=24

所以矩形EFGH的周長(zhǎng)為：2×（12+24）=72（cm）．

答：矩形EFGH的周長(zhǎng)為72cm．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度得到四邊形，此時(shí)直線、直線分別與直線BC相交于點(diǎn)P、Q．（1）四邊形OABC的形狀是，當(dāng)時(shí)，的值是；（2）①如圖1，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在軸正半軸時(shí)，求的值；②如圖2，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在直線上時(shí)，求的面積．（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形即可得出四邊形OA′B′C′是矩形，當(dāng)α=90°時(shí)，可知，根據(jù)比例的性質(zhì)得出；

（2）①由△COP∽△A'OB'，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出CP=，同理由△B'CQ∽△B'C'O，得出CQ=3，則BQ可求；

②先利用AAS證明△OCP≌△B'A'P，得出OP=B'P，即可求出；

（3）當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q畫(huà)QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，根據(jù)S△POQ=S△POQ，即可證明出PQ=OP；

設(shè)BP=x，在Rt△PCO中，運(yùn)用勾股定理，得出x=，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案與解析】（1）∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-8，6），C（0，6），

∴OA=BC=8，OC=AB=6，

∴四邊形OABC的形狀是矩形；

當(dāng)α=90°時(shí)，P與C重合，如圖，

根據(jù)題意，得，

則；（2）①如圖1，∵∠POC=∠B'OA'，∠PCO=∠OA'B'=90°，

∴△COP∽△A'OB'，

∴，即，

∴CP=,BP=BC－CP=

.

同理△B'CQ∽△B'C'O，

，即，

∴CQ=3，

BQ=BC+CQ=11，∴;

②圖2，在△OCP和△B′A′P中，

，

∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．

∴OP=B′P．設(shè)B′P=x，

在Rt△OCP中，（8-x）2+62=x2，

解得x=．

∴S△OPB′==；

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，

∵S△POQ=PQ?OC，S△POQ=OP?QH，∴PQ=OP．

設(shè)BP=x，∵BP=BQ，∴BQ=2x，

如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

OP=PQ=BQ+BP=3x，

在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，

解得x1=1+，x2=1-（不符實(shí)際，舍去）．

∴PC=BC+BP=9+，

∴P1（-9-，6）．

如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，

∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．

在Rt△PCO中，（8-x）2+62=x2，解得x=．

∴PC=BC-BP=8-=，

∴P2（-，6），

綜上可知，存在點(diǎn)P1（-9-，6），P2（-，6），使BP=BQ．【總結(jié)升華】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．特別注意在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中的對(duì)應(yīng)線段相等，能夠用一個(gè)未知數(shù)表示同一個(gè)直角三角形的未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．【高清課堂：圖形的相似考點(diǎn)10（5）】5．如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．①求證：ADE∽BEF；②設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，AE=，BF=．當(dāng)取什么值時(shí)，有最大值?并求出這個(gè)最大值．【思路點(diǎn)撥】本題涉及到的考點(diǎn)有相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值以及正方形的性質(zhì)．【答案與解析】（1）證明：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，

又EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°，

∴∠ADE=∠BEF，

∴△ADE∽△BEF由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x

得：，即：，

得：y==（0＜x＜4）

（3）解：當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，y的最大值為1．該函數(shù)圖象在對(duì)稱(chēng)軸x=2的左側(cè)部分是上升的，右側(cè)部分是下降的．【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．確定個(gè)二次函數(shù)的最值是，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．類(lèi)型三、位似圖形6.如圖，用下面的方法可以畫(huà)出△AOB的“內(nèi)接等邊三角形”，閱讀后證明相應(yīng)的問(wèn)題.

畫(huà)法：(1)在△AOB內(nèi)畫(huà)等邊△CDE，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；

(2)連結(jié)OE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E′，過(guò)E′作E′C′∥EC，交OA于點(diǎn)C′，

作E′D′∥ED，交OB于點(diǎn)D′；

(3)連結(jié)C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接三角形.

請(qǐng)判斷△C′D′E′是否是等邊三角形，并說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】由畫(huà)法可知，△CDE和△C′D′E′是位似圖形.【答案與解析】△C′D′E′是等邊三角形.

證明：∵C′E′∥CE，∴△OEC∽△OE′C′，

∴，∠C′E′D′=∠CED=60°，

∴△C′D′E′∽△CDE.∵△CDE為等邊三角形，

∴△C′D′E′為等邊三角形.【總結(jié)升華】重點(diǎn)考查閱讀理解能力和知識(shí)的遷移能力.舉一反三：【變式】如圖，直角坐標(biāo)系中△ABC的A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)為A(7，1)、B(8，2)、C(9，0).

請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△ABC的一個(gè)以點(diǎn)P(12，0)為位似中心，相似比為3的位似圖形(要求與△ABC同在P點(diǎn)一側(cè))；

【答案】連接位似中心P和△ABC的各頂點(diǎn)，并延長(zhǎng)，使PA′=3PA，PB′=3PB，PC′=3PC

連接、、，則得到所要畫(huà)的圖形.畫(huà)出，如圖所示.

.中考總復(fù)習(xí)：一次方程及方程組--知識(shí)講解【考綱要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，會(huì)解一元一次方程；2.了解二元一次方程組的定義，會(huì)用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組；3.能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程（組），體會(huì)方程思想和轉(zhuǎn)化思想.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元一次方程1.等式性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為零），結(jié)果仍是等式.2.方程的概念（1）含有未知數(shù)的等式叫做方程.（2）使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).（3）求方程的解的過(guò)程，叫做解方程.3.一元一次方程（1）只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:.（3）解一元一次方程的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤系數(shù)化成1；⑥檢驗(yàn)(檢驗(yàn)步驟可以不寫(xiě)出來(lái)).要點(diǎn)詮釋?zhuān)航庖辉淮畏匠痰囊话悴襟E步驟名稱(chēng)方法依據(jù)注意事項(xiàng)1去分母在方程兩邊同時(shí)乘以所有分母的最小公倍數(shù)（即把每個(gè)含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍數(shù)）等式性質(zhì)21、不含分母的項(xiàng)也要乘以最小公倍數(shù)；2、分子是多項(xiàng)式的一定要先用括號(hào)括起來(lái).2去括號(hào)去括號(hào)法則（可先分配再去括號(hào)）乘法分配律注意正確的去掉括號(hào)前帶負(fù)數(shù)的括號(hào)3移項(xiàng)把未知項(xiàng)移到方程的一邊（左邊），常數(shù)項(xiàng)移到另一邊（右邊）等式性質(zhì)1移項(xiàng)一定要改變符號(hào)4合并同類(lèi)項(xiàng)分別將未知項(xiàng)的系數(shù)相加、常數(shù)項(xiàng)相加1、整式的加減；2、有理數(shù)的加法法則單獨(dú)的一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為“±1”5系數(shù)化為“1”在方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)（或方程兩邊同時(shí)乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)）等式性質(zhì)2不要顛倒了被除數(shù)和除數(shù)（未知數(shù)的系數(shù)作除數(shù)——分母）*6檢根x=a方法：把x=a分別代入原方程的兩邊，分別計(jì)算出結(jié)果.①若左邊＝右邊，則x=a是方程的解；②若左邊≠右邊，則x=a不是方程的解.注：當(dāng)題目要求時(shí)，此步驟必須表達(dá)出來(lái).說(shuō)明：（1）上表僅說(shuō)明了在解一元一次方程時(shí)經(jīng)常用到的幾個(gè)步驟，但并不是說(shuō)，解每一個(gè)方程都必須經(jīng)過(guò)六個(gè)步驟；（2）解方程時(shí)，一定要先認(rèn)真觀察方程的形式，再選擇步驟和方法；（3）對(duì)于形式較復(fù)雜的方程，可依據(jù)有效的數(shù)學(xué)知識(shí)將其轉(zhuǎn)化或變形成我們常見(jiàn)的形式，再依照一般方法解.考點(diǎn)二、二元一次方程組1.二元一次方程組的定義兩個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程組成的一組方程，叫做二元一次方程組.要點(diǎn)詮釋?zhuān)号袛嘁粋€(gè)方程組是不是二元一次方程組應(yīng)從方程組的整體上看，若一個(gè)方程組內(nèi)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這樣的方程組都叫做二元一次方程組．2.二元一次方程組的一般形式要點(diǎn)詮釋?zhuān)篴1、a2不同時(shí)為0，b1、b2不同時(shí)為0，a1、b1不同時(shí)為0，a2、b2不同時(shí)為0.3.二元一次方程組的解法(1)代入消元法；(2)加減消元法.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）二元一次方程組的解有三種情況，即有唯一解、無(wú)解、無(wú)限多解．教材中主要是研究有唯一解的情況，對(duì)于其他情況，可根據(jù)學(xué)生的接受能力給予滲透．（2）一元一次方程與一次函數(shù)、一元一次不等式之間的關(guān)系：當(dāng)二元一次方程中的一個(gè)未知數(shù)的取值確定范圍時(shí)，可利用一元一次不等式組確定另一個(gè)未知數(shù)的取值范圍，由于任何二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式，所以解二元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)y＝0時(shí)，求x的值.從圖象上看，這相當(dāng)于已知縱坐標(biāo)，確定橫坐標(biāo)的值.考點(diǎn)三、一次方程（組）的應(yīng)用列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟：1.審:分析題意，找出已知、未知之間的數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系；2.設(shè):選擇恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)(直接或間接設(shè)元)，注意單位的統(tǒng)一和語(yǔ)言完整；3.列:根據(jù)數(shù)量和相等關(guān)系，正確列出代數(shù)式和方程(組)；4.解:解所列的方程(組)；5.驗(yàn):(有三次檢驗(yàn)①是否是所列方程(組)的解；②是否使代數(shù)式有意義；③是否滿足實(shí)際意義)；6.答:注意單位和語(yǔ)言完整.要點(diǎn)詮釋?zhuān)毫蟹匠虘?yīng)注意：（1）方程兩邊表示同類(lèi)量；（2）方程兩邊單位一定要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值相等.【典型例題】類(lèi)型一、一元一次方程及其應(yīng)用 1．如果方程是關(guān)于x的一元一次方程，則n的值為().A.2B.4C.3D.1【思路點(diǎn)撥】未知數(shù)x的指數(shù)是1即可.【答案】B；【解析】由題意可知2n-7=1，∴n=4.【總結(jié)升華】根據(jù)一元一次方程的定義求解.舉一反三：【變式1】已知關(guān)于x的方程4x-3m=2的解是x=5，則m的值為.【答案】由題意可知4×5-3m＝2，∴m=6.【高清課程名稱(chēng)：一次方程及方程組高清ID號(hào)：404191關(guān)聯(lián)的位置名稱(chēng)（播放點(diǎn)名稱(chēng)）：例4】【變式2】若a，b為定值，關(guān)于x的一元一次方程無(wú)論k為何值時(shí)，它的解總是1，求a，b的值．【答案】a=0,b=11.2．一收割機(jī)收割一塊麥田，上午收割了麥田的25%，下午收割了剩下麥田的20%，結(jié)果還剩下6公頃麥田未收割．這塊麥田一共有多少公頃？【思路點(diǎn)撥】設(shè)這塊麥田一共有x公頃，根據(jù)上午收割了麥田的25%，則剩余x（1﹣25%）公頃，再利用下午收割了剩下麥田的20%，則剩余x（1﹣25%）（1﹣20%）公頃，進(jìn)而求出即可．【答案與解析】解：設(shè)這塊麥田一共有x公頃，根據(jù)題意得出：x（1﹣25%）（1﹣20%）=6，解得：x=10，答：這塊麥田一共有10公頃．【總結(jié)升華】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確表示出兩次剩余小麥的畝數(shù)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】“五一”期間，某電器按成本價(jià)提高30%后標(biāo)價(jià)，再打8折（標(biāo)價(jià)的80%）銷(xiāo)售，售價(jià)為2080元．設(shè)該電器的成本價(jià)為x元，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A．B．C．D．【答案】成本價(jià)提高30%后標(biāo)價(jià)為，打8折后的售價(jià)為．根據(jù)題意，列方程得，故選A．類(lèi)型二、二元一次方程組及其應(yīng)用3．解下列方程組．（1）（2）．【思路點(diǎn)撥】代入消元法或加減消元法均可.【答案與解析】解：（1），將②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7，去括號(hào)得：﹣4y+6+3y=7，解得：y=﹣1，將y=﹣1代入②得：x=2+3=5，則方程組的解；（2），①×4+②×3得：17m=34，解得：m=2，將m=2代入①得：4+3n=13，解得：n=3，則方程組的解為．【總結(jié)升華】解方程組要善于觀察方程組的特點(diǎn)，靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒?，提高解題速度.①②舉一反三：①②【變式1解方程組【答案】方程②化為，再用加減法解，答案：【變式2】解方程組【答案】a=9,b=12,c=15.4．小王購(gòu)買(mǎi)了一套經(jīng)濟(jì)適用房，他準(zhǔn)備將地面鋪上地磚，地面結(jié)構(gòu)如圖所示．根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（單位：），解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出用含x、y的代數(shù)式表示的地面總面積；（2）已知客廳面積比衛(wèi)生間面積多212，且地面總面積是衛(wèi)生間面積的15倍，鋪12地磚的平均費(fèi)用為80元，求鋪地磚的總費(fèi)用為多少元？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意找出等量關(guān)系式，列出方程或方程組解題.【答案與解析】（1）地面總面積為：（6x＋2y＋18）2；（2）由題意，得解之，得∴地面總面積為：6x＋2y＋18＝6×4＋2×＋18＝45（2）．∵鋪12地磚的平均費(fèi)用為80元，∴鋪地磚的總費(fèi)用為：45×80＝3600（元）．【總結(jié)升華】注意不要丟掉題中的單位.舉一反三：【變式】利用兩塊長(zhǎng)方體木塊測(cè)量一張桌子的高度．首先按圖①方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②方式放置．測(cè)量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】設(shè)桌子高度為acm，木塊豎放為bcm，木塊橫放為ccm.則.故選C.類(lèi)型三、一次方程（組）的綜合運(yùn)用5．某縣為鼓勵(lì)失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)，在2012年對(duì)60位自主創(chuàng)業(yè)的失地農(nóng)民進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，共計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)10萬(wàn)元.獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)是：失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營(yíng)一年以上的給予1000元獎(jiǎng)勵(lì)；自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的，再給予2000元獎(jiǎng)勵(lì).問(wèn)：該縣失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營(yíng)一年以上的和自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民分別有多少人？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營(yíng)一年以上的給予1000元獎(jiǎng)勵(lì)：自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的，再給予2000元獎(jiǎng)勵(lì)列方程求解．【答案與解析】方法一：設(shè)失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營(yíng)一年以上的有x人，則根據(jù)題意列出方程1000x+(60–x)(1000+2000)=100000，解得：x=40，∴60-x=60-40=20答：失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營(yíng)一年以上的有40人，自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民有20人.方法二：設(shè)失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營(yíng)一年以上的和自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民有分別有x，y人，根據(jù)題意列出方程組：解得：答：失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營(yíng)一年以上的有40，自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民有20人.【總結(jié)升華】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是找到人數(shù)和錢(qián)數(shù)作為等量關(guān)系.舉一反三：【變式】某公園的門(mén)票價(jià)格如下表所示：購(gòu)票人數(shù)1～50人51～100人100人以上票價(jià)10元／人8元／人5元／人某校七年級(jí)甲、乙兩班共多人去該公園舉行聯(lián)歡活動(dòng)，其中甲班多人，乙班不足人．如果以班為單位分別買(mǎi)票，兩個(gè)班一共應(yīng)付元；如果兩個(gè)班聯(lián)合起來(lái)作為一團(tuán)體購(gòu)票，一共只要付元．問(wèn)：甲、乙兩班分別有多少人？【答案】設(shè)甲班有x人，乙班有y人，由題意得：解得：．答：甲班有55人，乙班有48人.6．在社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，某校甲、乙、丙三位同學(xué)一同調(diào)查了高峰時(shí)段北京的二環(huán)路、三環(huán)路、四環(huán)路的車(chē)流量（每小時(shí)通過(guò)觀測(cè)點(diǎn)的汽車(chē)車(chē)輛數(shù)），三位同學(xué)匯報(bào)高峰時(shí)段的車(chē)流量情況如下：

甲同學(xué)說(shuō)：“二環(huán)路車(chē)流量為每小時(shí)10000輛”；

乙同學(xué)說(shuō)：“四環(huán)路比三環(huán)路車(chē)流量每小時(shí)多2000輛”；

丙同學(xué)說(shuō)：“三環(huán)路車(chē)流量的3倍與四環(huán)路車(chē)流量的差是二環(huán)路車(chē)流量的2倍”；請(qǐng)你根據(jù)他們所提供的信息，求出高峰時(shí)段三環(huán)路、四環(huán)路的車(chē)流量各是多少？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)甲、乙、丙三位同學(xué)提供的信息找出等量關(guān)系列出方程組求解.【答案與解析】設(shè)高峰時(shí)段三環(huán)路的車(chē)流量為每小時(shí)輛，四環(huán)路的車(chē)流量為每小時(shí)輛，根據(jù)題意得：

解得

答：高峰時(shí)段三環(huán)路的車(chē)流量為每小時(shí)11000輛，四環(huán)路的車(chē)流量為每小時(shí)13000輛.【總結(jié)升華】通過(guò)甲、乙、丙三位同學(xué)調(diào)查結(jié)果找到車(chē)流量的等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.中考總復(fù)習(xí)：一次方程及方程組--鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.小明在解關(guān)于x、y的二元一次方程組時(shí)得到了正確結(jié)果后來(lái)發(fā)現(xiàn)“”“”處被墨水污損了，請(qǐng)你幫他找出、處的值分別是()A．=1，=1B．=2，=1C．=1，=2D．=2，=22．方程組的解是（）.A.B.C.D.3．已知方程組的解為，則2a-3b的值為（）.A.4B.-4C.6D.-64．（2014春?昆山市期末）方程x+2y=5的正整數(shù)解有（）A．一組 B．二組 C．三組 D．四組5．小明買(mǎi)書(shū)需用48元，付款時(shí)恰好用了1元和5元的紙幣共12張，設(shè)所用的1元紙幣為x張，根題意，下列所列方程正確的是()A．x＋5(12－x)＝48B．x＋5(x－12)＝48C．x＋12(x－5)＝48D．5x＋(12－x)＝486．九（3）班的50名同學(xué)進(jìn)行物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn)測(cè)試，經(jīng)最后統(tǒng)計(jì)知：物理實(shí)驗(yàn)做對(duì)的有40人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做對(duì)的有31人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)的有4人，則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有（） A.17人 B.21人 C.25人 D.37人二、填空題7．已知x、y滿足方程組則x－y的值為_(kāi)_______．8．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，則k=_____．9．如圖所示，在桌面上放著A、B兩個(gè)正方形，共遮住了27cm2的面積，若這兩個(gè)正方形重疊部分的面積為3cm2，且正方形B除重疊部分外的面積是正方形A除重疊部分外的面積的2倍，則正方形A的面積是．10．已知關(guān)于x、y的二元一次方程(a－1)x＋(a＋2)y＋5－2a＝0，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，這個(gè)公共解是________．11．已知關(guān)于x的方程a(2x－1)＝3x－2無(wú)解，則a的值為．12．已知下面兩個(gè)方程3(x＋2)＝5x…①；4x－3(a－x)＝6x－7(a－x)…②；有相同的解，則a的值為．三、解答題13．某校的一間階梯教室，第1排的座位數(shù)為a，從第2排開(kāi)始，每一排都比前一排增加b個(gè)座位。⑴請(qǐng)你在下表的空格里填寫(xiě)一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式：第1排的座位數(shù)第2排的座位數(shù)第3排的座位數(shù)第4排的座位數(shù)……aa＋ba＋2b……⑵已知第4排有18個(gè)座位，第15排座位數(shù)是第5排座位數(shù)的2倍，求第21排有多少個(gè)座位？14.（1）；（2）．15．某體育彩票經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃用45000元從省體彩中心購(gòu)進(jìn)彩票20扎，每扎1000張，已知體彩中心有A，B，C三種不同價(jià)格的彩費(fèi)，進(jìn)價(jià)分別是A種彩票每張1.5元，B種彩票每張2元，C種彩票每張2.5元．（1）若經(jīng)銷(xiāo)商同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的彩票20扎，用去45000元，請(qǐng)你設(shè)計(jì)進(jìn)票方案；（2）若銷(xiāo)售A型彩票一張獲手續(xù)費(fèi)0.2元，B型彩票一張獲手續(xù)費(fèi)0.3元，C型彩票一張獲手續(xù)費(fèi)0.5元．在購(gòu)進(jìn)兩種彩票的方案中，為使銷(xiāo)售完時(shí)獲得手續(xù)費(fèi)最多，你選擇哪種進(jìn)票方案？（3）若經(jīng)銷(xiāo)商準(zhǔn)備用45000元同時(shí)購(gòu)進(jìn)A，B，C三種彩票20扎，請(qǐng)你設(shè)計(jì)進(jìn)票方案．16.某玩具廠工人的工作時(shí)間規(guī)定：每月25天，每天8h，待遇：按件訂酬，多勞多得，每月另加福利工資100元，按月結(jié)算。該廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，工人每生產(chǎn)一件A產(chǎn)品，可得到報(bào)酬0.75元，每生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，可得報(bào)酬1.40元，下表記錄了工人小李的工作情況：生產(chǎn)A種產(chǎn)品件數(shù)（件）生產(chǎn)B種產(chǎn)品件數(shù)（件）總時(shí)間（min）11353285根據(jù)上表提供的信息，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）小李每生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品、每生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，分別需要多少分鐘？（2）如果生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)目沒(méi)有限制，那么小李每月的工資數(shù)目在什么范圍之內(nèi)？【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】B；【解析】把代入得解得2.【答案】B；【解析】①＋②，得3x=3，∴x=1.把x=1代入①，得1+3y＝4，∴y=1.3.【答案】C；【解析】由題意可知，解得，∴2a-3b=6.4.【答案】B；【解析】由已知，得x=5﹣2y，要使x，y都是正整數(shù)，則y=1，2時(shí)，相應(yīng)x=3，1．所以有2組，分別，．故選B．5.【答案】A；【解析】1元紙幣x張，則5元紙幣(12－x)張，共值48元，則1·x＋5(12－x)＝48.6.【答案】C；【解析】設(shè)這兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有x人，（40﹣x）+（31﹣x）+x+4=50，x=25．故都做對(duì)的有25人．故選C．二、填空題7．【答案】1；【解析】①－②，得x－y＝1.8．【答案】k=4；【解析】由已知得x－1=0，2y+1=0，∴x=1，y=－，把代入方程2x－ky=4中，2+k=4，∴k=4．9．【答案】11cm2；【解析】設(shè)正方形A的面積為xcm2，正方形B的面積為ycm2，由題意，得，解得：．故答案為：11cm2．10．【答案】【解析】解法一：取a＝1，得3y＋3＝0，y＝－1，取a＝－2，得－3x＋9＝0，x＝3，∴解法二：整理，得(x＋y－2)a＝x－2y－5，∵方程有一個(gè)公共解，∴解得11．【答案】a＝；【解析】將原方程變形為2ax－a＝3x－2，即(2a－3)x＝a－2.由已知該方程無(wú)解，所以解得a＝，所以a＝即為所求．12．【答案】；【解析】由方程①可得3x－5x＝－6，所以x＝3.由已知，x＝3也是方程②的解，根據(jù)方程解的定義，把x＝3代入方程②，有4×3－3(a－3)＝6×3－7(a－3)，7(a－3)－3(a－3)＝18－12,4(a－3)＝6,4a－12＝6,4a＝18，a＝＝.三、解答題13.【答案與解析】（1）（2）依題意得解得∴12＋20×2＝52答：第21排有52個(gè)座位.14.【答案與解析】解：（1），①×24，②×12得：，④﹣③得：m=162，代入①得：n=204，∴方程組的解為：；（2）由②得：y=2x﹣9，∴=2（2x﹣9），解得：x=5，代入y=2x﹣9得：y=1，∴方程組的解為：．15.【答案與解析】設(shè)經(jīng)銷(xiāo)商從體彩中心購(gòu)進(jìn)A種彩票x張，B種彩票y張，C種彩票z張，則可分以下三種情況考慮：（1）只購(gòu)進(jìn)A種彩票和B種彩票，依題意可列方程組解得x<0，所以無(wú)解．只購(gòu)進(jìn)A種彩票和C種彩票，依題意可列方程組，只購(gòu)進(jìn)B種彩票和C種彩票，依題可列方程組，綜上所述，若經(jīng)銷(xiāo)商同時(shí)購(gòu)進(jìn)不同型號(hào)的彩票，共有兩種方案可行，即A種彩票5扎，C種彩票15扎或B種彩票與C種彩票各10扎．（2）若購(gòu)進(jìn)A種彩票5扎，C種彩票15扎，銷(xiāo)售完后獲手續(xù)費(fèi)為0.2×5000＋0.5×15000＝8500（元）；若購(gòu)進(jìn)B種彩票與C種彩票各10扎，銷(xiāo)售完后獲手續(xù)費(fèi)為0.3×10000＋0.5×10000＝8000（元），∴為使銷(xiāo)售完時(shí)獲得手續(xù)費(fèi)最多，選擇的進(jìn)票方案為A種彩票5扎，C種彩票15扎．（3）若經(jīng)銷(xiāo)商準(zhǔn)備用45000元同時(shí)購(gòu)進(jìn)A，B，C三種彩票共20扎．設(shè)購(gòu)進(jìn)A種彩票x扎，B種彩票y扎，C種彩票z扎，則∴1≤x<5，又∵x為正整數(shù)，共有4種進(jìn)票方案，即A種1扎，B種8扎，C種11扎，或A種2扎，B種6扎，C種12扎，或A種3扎，B種4扎，C種13扎，或A種4扎，B種2扎，C種14扎．16.【答案與解析】（1）設(shè)小李每生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品、每生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品分別需要x分鐘和y分鐘，據(jù)題意，得解之，得（2）方法一：設(shè)小李每月生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，B種產(chǎn)品y件（x、y均為非負(fù)整數(shù)），月工資數(shù)目為w元，根據(jù)題意，得即w最大＝－0.3·0＋940，當(dāng)x＝800時(shí)，w最小＝－0.3·800＋940＝700，因?yàn)樯a(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)目沒(méi)有限制，所以700≤w≤940，即小李每月的工資數(shù)目不低于700元而不高于940元.方法二：由（1）知小李生產(chǎn)A種產(chǎn)品每分鐘可獲利0.05元，生產(chǎn)B種產(chǎn)品每分鐘可獲利0.07元，若小李全部生產(chǎn)A種產(chǎn)品，每月的工資數(shù)目為700元，若小李全部生產(chǎn)B種產(chǎn)品，每月的工資數(shù)目為940元，小李每月的工資數(shù)目不低于700元而不高于940元.中考總復(fù)習(xí)：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1.理解配方法，會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2.會(huì)解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題，從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元二次方程1.一元二次方程的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式為(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)平方法：把方程變成的形式，當(dāng)m＞0時(shí)，方程的解為；當(dāng)m＝0時(shí)，方程的解；當(dāng)m＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解．（2）配方法：通過(guò)配方把一元二次方程變形為的形式，再利用直接開(kāi)平方法求得方程的解．（3）公式法：對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，它的解為．（4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個(gè)一次因式積的形式，使每一個(gè)因式等于零，就得到兩個(gè)一元一次方程，分別解這兩個(gè)方程，就得到原方程的解．要點(diǎn)詮釋?zhuān)褐苯娱_(kāi)平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為．△>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△＝0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△<0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．上述由左邊可推出右邊，反過(guò)來(lái)也可由右邊推出左邊．要點(diǎn)詮釋?zhuān)骸鳌?方程有實(shí)數(shù)根.4．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程(a≠0)的兩個(gè)根是，那么．考點(diǎn)二、分式方程1.分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的有理方程，叫做分式方程．要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）分式方程的三個(gè)重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù))，分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，不含有未知數(shù)的方程是整式方程，如：關(guān)于的方程和都是分式方程，而關(guān)于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，換元法．3.解分式方程的一般步驟

(1)去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，把原方程化為整式方程；

(2)解這個(gè)整式方程；

(3)驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡(jiǎn)公

分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗(yàn)”.要點(diǎn)詮釋?zhuān)航夥质椒匠虝r(shí)，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗(yàn)根．考點(diǎn)三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用1．應(yīng)用問(wèn)題中常用的數(shù)量關(guān)系及題型(1)數(shù)字問(wèn)題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律)關(guān)鍵會(huì)表示一個(gè)兩位數(shù)或三位數(shù)，對(duì)于日歷中的數(shù)字問(wèn)題關(guān)鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律．(2)體積變化問(wèn)題關(guān)鍵是尋找其中的不變量作為等量關(guān)系.(3)打折銷(xiāo)售問(wèn)題其中的幾個(gè)關(guān)系式：利潤(rùn)＝售價(jià)-成本價(jià)(進(jìn)價(jià))，利潤(rùn)率＝×100%．明確這幾個(gè)關(guān)系式是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．(4)關(guān)于兩個(gè)或多個(gè)未知量的問(wèn)題重點(diǎn)是尋找到多個(gè)等量關(guān)系，能夠設(shè)出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)列出方程.(5)行程問(wèn)題對(duì)于相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題是列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn)問(wèn)題，也是易出錯(cuò)的問(wèn)題，一定要分析其中的特點(diǎn)，同向而行一般是追及問(wèn)題，相向而行一般是相遇問(wèn)題．注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分問(wèn)題增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率；現(xiàn)有量＝原有量+增長(zhǎng)量；現(xiàn)有量＝原有量-降低量．2．解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．要點(diǎn)詮釋?zhuān)悍匠痰乃枷?，轉(zhuǎn)化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結(jié)合的思想用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示與數(shù)量有關(guān)的語(yǔ)句的數(shù)學(xué)思想．注意：①設(shè)列必須統(tǒng)一，即設(shè)的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；②未知數(shù)設(shè)出后不要漏棹單位；③列方程時(shí)，兩邊單位要統(tǒng)一；④求出解后要雙檢，既檢驗(yàn)是否適合方程，還要檢驗(yàn)是否符合題意．【典型例題】類(lèi)型一、一元二次方程 1．用配方法解一元二次方程：【思路點(diǎn)撥】把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)右移，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再用直接開(kāi)平方法解出未知數(shù)的值.【答案與解析】移項(xiàng)，得二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得配方由此可得，【總結(jié)升華】用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開(kāi)平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.舉一反三：【變式】用配方法解方程x2-7x-1=0．

【答案】將方程變形為x2-7x=1，兩邊加一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得

x2-7x+=1+，所以有=1+．

直接開(kāi)平方，得x-=或x-=-．

所以原方程的根為x=或x=．2．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．【思路點(diǎn)撥】判別式大于0，二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.【答案與解析】（1）證明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不論m為何值時(shí)，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，∴m=1或2，∵m=2不合題意，∴m=1．【總結(jié)升華】（1）注意隱含條件m≠0；（2）注意整數(shù)根的限制條件的應(yīng)用，求出m的值，要驗(yàn)證m的值是否符合題意.舉一反三：【變式】已知關(guān)于x的方程．（1）求證方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）當(dāng)m為何值時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)？并求出此時(shí)方程的解．【答案】（1）證明:因?yàn)椤? = 所以無(wú)論取何值時(shí)，△>0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：因?yàn)榉匠痰膬筛橄喾磾?shù)，所以， 根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，解得， 所以原方程可化為，解得，.類(lèi)型二、分式方程3．解分式方程：=﹣．【思路點(diǎn)撥】先去分母將分式方程化為整式方程，求出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn).【答案與解析】解：方程兩邊同乘以（2x+1）（2x﹣1），得x+1=3(2x-1)-2(2x+1)x+1=2x-5，解得x=6．檢驗(yàn)：x=6是原方程的根．故原方程的解為：x=6．【總結(jié)升華】首先要確定各分式分母的最簡(jiǎn)公分母，在方程兩邊乘這個(gè)公分母時(shí)不要漏乘，解完后記著要驗(yàn)根.舉一反三：【變式1】解分式方程：．【答案】方程兩邊同乘以，得． ．． 經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，所以原方程的解是． 【變式2】方程的解是x=．【答案】.4．若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（）A. B.C. D.【思路點(diǎn)撥】先把原方程化為整式方程，再把可能的增根分別代入整式方程即可求出m的值.【答案】D；【解析】由題意得增根是：化簡(jiǎn)原方程為：把代入解得，故選擇D.【總結(jié)升華】分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值.舉一反三：【變式】若關(guān)于的方程無(wú)解，則的值是．【答案】1.類(lèi)型三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用5．輪船在一次航行中順流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小時(shí)；在另一次航行中，用相同的時(shí)間，順流航行40千米，逆流航行70千米.求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度.【思路點(diǎn)撥】在航行問(wèn)題中的等量關(guān)系是“順流速度＝靜水速度＋水流速度；逆流速度＝靜水速度－水流速度”，兩次航行提供了兩個(gè)等量關(guān)系.【答案與解析】設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時(shí)，水流速度為y千米/小時(shí)由題意，得答：水流速度為3千米/小時(shí)，船在靜水中的速度為17千米/小時(shí).【總結(jié)升華】流水問(wèn)題公式：順流速度＝靜水速度＋水流速度；逆流速度＝靜水速度－水流速度；靜水速度＝(順流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(順流速度－逆流速度)÷2.舉一反三：【變式】甲、乙兩班同學(xué)參加“綠化祖國(guó)”活動(dòng)，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹(shù)，甲班種60棵所用的時(shí)間與乙班種66棵樹(shù)所用的時(shí)間相等，求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹(shù)？【答案】設(shè)甲班每小時(shí)種x棵樹(shù)，則乙班每小時(shí)種（x+2）棵樹(shù)，由題意得：答：甲班每小時(shí)種樹(shù)20棵，乙班每小時(shí)種樹(shù)22棵.6．某服裝廠生產(chǎn)一批西服，原來(lái)每件的成本價(jià)是500元，銷(xiāo)售價(jià)為625元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，該產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)第一個(gè)月將降低20%，第二個(gè)月比第一個(gè)月提高6%，為了使兩個(gè)月后的銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到原來(lái)水平，該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低百分之幾？【思路點(diǎn)撥】設(shè)該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月降低率為x，那么兩個(gè)月后的銷(xiāo)售價(jià)格為625（1-20%）（1+6%），兩個(gè)月后的成本價(jià)為500（1-x）2，然后根據(jù)已知條件即可列出方程，解方程即可求出結(jié)果．【答案與解析】設(shè)該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低的百分?jǐn)?shù)為x．625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．1-x=±0.9，x=1±0.9，x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．答：該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低10%．【總結(jié)升華】題目中該產(chǎn)品的成本價(jià)在不斷變化，銷(xiāo)售價(jià)也在不斷變化，要求變化后的銷(xiāo)售利潤(rùn)不變，即利潤(rùn)仍要達(dá)到125元，關(guān)鍵在于計(jì)算和表達(dá)變動(dòng)后的銷(xiāo)售價(jià)和成本價(jià)．中考總復(fù)習(xí)：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（）A．B．C．D．2．關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，且，則的值是（）A．1 B．12 C．13 D．253．（2015?成都）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠04．若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值等于（）A．1 B．2C．1或2D．05．在一幅長(zhǎng)為80cm，寬為50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為cm，那么滿足的方程是（）.A． B．C． D．6．甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發(fā)，以v千米/小時(shí)的速度步行，走了a小時(shí)后改乘汽車(chē)，又過(guò)b小時(shí)到達(dá)乙地，則汽車(chē)的速度（）A. B.C. D.二、填空題7．方程﹣=0的解是．8．如果方程ax2＋2x＋1＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．9．某種商品原價(jià)是120元，經(jīng)兩次降價(jià)后的價(jià)格是100元，求平均每次降價(jià)的百分率．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，可列方程為_(kāi)_．10．當(dāng)為時(shí)，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；此時(shí)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根是.11．如果分式方程=無(wú)解,則m=.12．已知關(guān)于x的方程－=m有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是.三、解答題13.（1）；（2）.14．一列火車(chē)從車(chē)站開(kāi)出，預(yù)計(jì)行程450千米，當(dāng)它開(kāi)出3小時(shí)后，因特殊任務(wù)多停一站，耽誤30分鐘，后來(lái)把速度提高了0.2倍，結(jié)果準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的地，求這列火車(chē)的速度.15．已知關(guān)于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有實(shí)數(shù)根，（1）求m的取值范圍；（2）若方程的一個(gè)根為1，求m的值；（3）設(shè)α、β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，請(qǐng)求出來(lái)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．如圖，利用一面墻，用80米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地（1）怎樣圍才能使矩形場(chǎng)地的面積為750平方米？（2）能否使所圍的矩形場(chǎng)地面積為810平方米，為什么？ 【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】B；【解析】根據(jù)配方法的步驟可知在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，整理即可得到B項(xiàng)是正確的.2.【答案】C；【解析】∵∴，解得m=5（此時(shí)不滿足根的判別式舍去）或m=－1.原方程化為，=3.【答案】D；【解析】依題意列方程組，解得k＜1且k≠0．故選D．4.【答案】B；【解析】有題意解得.5.【答案】B；【解析】（80+2x）（50+2x）=5400，化簡(jiǎn)得.6.【答案】B；【解析】由已知，此人步行的路程為av千米，所以乘車(chē)的路程為千米。又已知乘車(chē)的時(shí)間為b小時(shí)，故汽車(chē)的速度為二、填空題7．【答案】x=6；【解析】去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，去括號(hào)得：3x﹣6﹣2x=0，整理得：x=6，經(jīng)檢驗(yàn)得x=6是方程的根．故答案為：x=6．8．【答案】a＜1且a≠0；【解析】△＞0且a≠0.9．【答案】；【解析】平均降低率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)10．【答案】m=；x1=x2=2．【解析】由題意得，△=(－4)2－4(m－)=0即16－4m+2=0，m=．當(dāng)m=時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=2．11．【答案】-1；【解析】原方程可化為：ｘ＝ｍ．∵原分式方程無(wú)解∴ｘ=－1，故代入一次方程有ｍ＝－１．所以，當(dāng)ｍ＝－１時(shí)，原分式方程無(wú)解.12．【答案】當(dāng)ｍ≤且ｍ≠０時(shí)；【解析】原方程可化為：ｍｘ２－ｘ＋１＝０當(dāng)ｍ＝０時(shí)，得ｘ＝１，原分式方程無(wú)解，不符合題意舍去．當(dāng)ｍ≠０時(shí),⊿=１２－４ｍ≥０，解之ｍ≤所以，當(dāng)ｍ≤且ｍ≠０時(shí)，原分式方程有實(shí)數(shù)根．三、解答題13.【答案與解析】（1）部分移項(xiàng)得： ∴x＝2 經(jīng)檢驗(yàn)：x＝2是原分式方程的根. （2）原方程可化為： 14.【答案與解析】設(shè)這列火車(chē)的速度為x千米/時(shí)根據(jù)題意，得方程兩邊都乘以12x，得解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根答：這列火車(chē)原來(lái)的速度為75千米/時(shí).15.【答案與解析】解：（1）根據(jù)題意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，解得m1=0，m2=﹣2，即m的值為0或﹣2；（3）存在．根據(jù)題意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，∵α2+β2﹣αβ=6，∴（α+β）2﹣3αβ=6，即（2m﹣1）2﹣3m2=6，整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，∵m≤；∴m的值為﹣1．16.【答案與解析】設(shè)AD=BC=xm，則AB=（80－2x）m（1）由題意得：x（80－2x）=750解得：x1=15，x2=25，當(dāng)x=15時(shí)，AD=BC=15m，AB=50m當(dāng)x=25時(shí)，AD=BC=25m，AB=30m答：當(dāng)平行于墻面的邊長(zhǎng)為50m，斜邊長(zhǎng)為15m時(shí)，矩形場(chǎng)地面積為750m2；或當(dāng)平行于墻面的邊長(zhǎng)為30m，鄰邊長(zhǎng)為25m時(shí)矩形場(chǎng)地面積為750m2.（2）由題意得：x（80－2x）=810△=40－4×405=1600－1620=－20＜0∴方程無(wú)解，即不能?chē)擅娣e為810m2的矩形場(chǎng)地.中考總復(fù)習(xí)：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用—知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1.理解配方法，會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2.會(huì)解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題，從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元二次方程1.一元二次方程的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式為(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)平方法：把方程變成的形式，當(dāng)m＞0時(shí)，方程的解為；當(dāng)m＝0時(shí)，方程的解；當(dāng)m＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解．（2）配方法：通過(guò)配方把一元二次方程變形為的形式，再利用直接開(kāi)平方法求得方程的解．（3）公式法：對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，它的解為．（4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個(gè)一次因式積的形式，使每一個(gè)因式等于零，就得到兩個(gè)一元一次方程，分別解這兩個(gè)方程，就得到原方程的解．要點(diǎn)詮釋?zhuān)褐苯娱_(kāi)平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．易錯(cuò)知識(shí)辨析：（1）判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式.（3）用配方法時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)要化1.（4）用直接開(kāi)平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù).3．一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為．△>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△＝0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△<0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．上述由左邊可推出右邊，反過(guò)來(lái)也可由右邊推出左邊．要點(diǎn)詮釋?zhuān)骸鳌?方程有實(shí)數(shù)根.4．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程(a≠0)的兩個(gè)根是，那么．要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0．（2）解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開(kāi)平方法和因式分解法，再考慮用公式法．（3）一元二次方程(a≠0)的根的判別式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情況；②根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；③解與根有關(guān)的證明題．（4）一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；②已知方程，求含有兩根對(duì)稱(chēng)式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；③已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．考點(diǎn)二、分式方程1.分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的有理方程，叫做分式方程．要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）分式方程的三個(gè)重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù))，分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，不含有未知數(shù)的方程是整式方程，如：關(guān)于的方程和都是分式方程，而關(guān)于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，換元法．3.解分式方程的一般步驟

(1)去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，把原方程化為整式方程；

(2)解這個(gè)整式方程；

(3)驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗(yàn)”.要點(diǎn)詮釋?zhuān)航夥质椒匠虝r(shí)，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗(yàn)根．增根的產(chǎn)生的原因：

對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根.考點(diǎn)三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用1．應(yīng)用問(wèn)題中常用的數(shù)量關(guān)系及題型(1)數(shù)字問(wèn)題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律)關(guān)鍵會(huì)表示一個(gè)兩位數(shù)或三位數(shù)，對(duì)于日歷中的數(shù)字問(wèn)題關(guān)鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律．(2)體積變化問(wèn)題關(guān)鍵是尋找其中的不變量作為等量關(guān)系.(3)打折銷(xiāo)售問(wèn)題其中的幾個(gè)關(guān)系式：利潤(rùn)＝售價(jià)-成本價(jià)(進(jìn)價(jià))，利潤(rùn)率＝×100%．明確這幾個(gè)關(guān)系式是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．(4)關(guān)于兩個(gè)或多個(gè)未知量的問(wèn)題重點(diǎn)是尋找到多個(gè)等量關(guān)系，使能夠設(shè)出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)列出方程.(5)行程問(wèn)題對(duì)于相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題是列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn)問(wèn)題，也是易出錯(cuò)的問(wèn)題，一定要分析其中的特點(diǎn)，同向而行一般是追及問(wèn)題，相向而行一般是相遇問(wèn)題．注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分問(wèn)題增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率；現(xiàn)有量＝原有量+增長(zhǎng)量；現(xiàn)有量＝原有量-降低量．2．解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．要點(diǎn)詮釋?zhuān)悍匠痰乃枷耄D(zhuǎn)化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結(jié)合的思想用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示與數(shù)量有關(guān)的語(yǔ)句的數(shù)學(xué)思想．注意：①設(shè)列必須統(tǒng)一，即設(shè)的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；②未知數(shù)設(shè)出后不要漏棹單位；③列方程時(shí)，兩邊單位要統(tǒng)一；④求出解后要雙檢，既檢驗(yàn)是否適合方程，還要檢驗(yàn)是否符合題意．【典型例題】類(lèi)型一、一元二次方程 1．閱讀材料：為解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，然后設(shè)，那么原方程可化為……①，解得，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，故原方程的解為，，，．解答問(wèn)題：（1）上述解題過(guò)程，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用________法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程．【思路點(diǎn)撥】此題考查了學(xué)生學(xué)以致用的能力，解題的關(guān)鍵是掌握換元思想．【答案與解析】（1）換元法；（2）設(shè)，那么原方程可化為解得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去．所以原方程的解為，．【總結(jié)升華】應(yīng)用換元法解方程，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.舉一反三：【變式】設(shè)m是實(shí)數(shù)，求關(guān)于x的方程的根．【答案】x1=1,x2=m+2.2．設(shè)x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．【思路點(diǎn)撥】先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可．【答案與解析】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=﹣2，x1?x2=．（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．（2）=x1x2+1+1+==．【總結(jié)升華】將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．舉一反三：【變式】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，且滿足5x1+2x2=2，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】解：（1）∵方程有實(shí)數(shù)根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0，∴m≤4；（2）∵x1+x2=4，∴5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=2×4+3x1=2，∴x1=﹣2，把x1=﹣2代入x2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，解得：m=﹣12．類(lèi)型二、分式方程3．解方程：【思路點(diǎn)撥】把原方程右邊化為代入原方程求解較為簡(jiǎn)單.【答案與解析】原方程變?yōu)榻?jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根.【總結(jié)升華】因?yàn)?，，所以最?jiǎn)公分母為：，若采用去分母的通常方法，運(yùn)算量較大，可采用上面的方法較好.舉一反三：【變式1】解方程：【答案】原方程化為方程兩邊通分，得化簡(jiǎn)得解得經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根.【變式2】【答案】 解此方程此方程無(wú)解. 4．m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？【思路點(diǎn)撥】先把原方程化為整式方程，使分母為0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案與解析】方程兩邊都乘以，得整理，得【總結(jié)升華】分式方程的增根，一定是使最簡(jiǎn)公分母為零的根.舉一反三：【變式】當(dāng)m為何值時(shí)，方程會(huì)產(chǎn)生增根()

A.2B.－1C.3D.－3

【答案】分式方程，去分母得，將增根代入，得m＝3.所以，當(dāng)m＝3時(shí)，原分式方程會(huì)產(chǎn)生增根.故選C.類(lèi)型三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用5．要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機(jī)器零件，如果甲單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單獨(dú)做則要超過(guò)3天.現(xiàn)在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨(dú)做，正好按期完成.問(wèn)規(guī)定日期是多少天？【思路點(diǎn)撥】設(shè)規(guī)定日期是x天，則甲的工作效率為，乙的工作效率為，工作總量為1.【答案與解析】設(shè)規(guī)定日期為x天根據(jù)題意，得解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根答：規(guī)定日期是6天.【總結(jié)升華】工程問(wèn)題涉及的量有三個(gè)，即每天的工作量、工作的天數(shù)、工作的總量．它們之間的基本關(guān)系是：工作總量=每天的工作量×工作的天數(shù)．舉一反三：【變式】據(jù)林業(yè)專(zhuān)家分析，樹(shù)葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．已知一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量比一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量的2倍少4毫克，若一年滯塵1000毫克所需的銀杏樹(shù)葉的片數(shù)與一年滯塵550毫克所需的國(guó)槐樹(shù)葉的片數(shù)相同，求一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量．【答案】設(shè)一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量為x毫克，由題意得，解得：x=22，

經(jīng)檢驗(yàn)：x=22是原分式方程的解，且符合題意．

答：一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量為22毫克．6．某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)工程費(fèi)共8700元，乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共9500元，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共5500元．

⑴求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？

⑵若工期要求不超過(guò)15天完成全部工程，問(wèn)由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢(qián)最少？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【思路點(diǎn)撥】第一問(wèn)是工程問(wèn)題，工程問(wèn)題中有三個(gè)量：工作總量，工作效率，工作時(shí)間，這三個(gè)量之間的關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間第二問(wèn)只要求出每天應(yīng)各付甲、乙、丙各隊(duì)多少錢(qián)，并由第一問(wèn)求出甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作所需的天數(shù)，即可求出在規(guī)定時(shí)間內(nèi)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程哪個(gè)隊(duì)花錢(qián)最少.【答案與解析】⑴設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，依題意，得

①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④

④－①×，得＝，即z＝30，

④－②×，得＝，即x＝10，

④－③×，得＝，即y＝15．

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10，y＝15，z＝30