第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素投影二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分概念與性質(zhì)

三、對(duì)坐標(biāo)曲面積分計(jì)算法四、兩類(lèi)曲面積分聯(lián)絡(luò)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)坐標(biāo)曲面積分第十章1/28一、有向曲面及曲面元素投影?曲面分類(lèi)雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面經(jīng)典)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2/28其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)

為有向曲面,側(cè)要求

指定了側(cè)曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上投影記為面積為則要求類(lèi)似可要求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3/28二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體速度場(chǎng)為求單位時(shí)間流過(guò)有向曲面

流量

.分析:若

是面積為S平面,則流量法向量:流速為常向量:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4/28對(duì)普通有向曲面

,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體速度場(chǎng)進(jìn)行分析可得,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5/28設(shè)

為光滑有向曲面,在

上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R叫做被積函數(shù);

叫做積分曲面.或第二類(lèi)曲面積分.以下極限都存在向量場(chǎng)若對(duì)

任

則稱(chēng)此極限為向量場(chǎng)A在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)曲面積2.定義.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/28引例中,流過(guò)有向曲面

流體流量為稱(chēng)為Q在有向曲面

上對(duì)

z,x曲面積分;稱(chēng)為R在有向曲面

上對(duì)

x,

y

曲面積分.稱(chēng)為P在有向曲面

上對(duì)

y,z

曲面積分;若記

正側(cè)單位法向量為令則對(duì)坐標(biāo)曲面積分也常寫(xiě)成以下向量形式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7/283.性質(zhì)(1)若之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn),則(2)用

ˉ表示

反向曲面,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束8/28三、對(duì)坐標(biāo)曲面積分計(jì)算法定理:設(shè)光滑曲面取上側(cè),是

上連續(xù)函數(shù),則證:∵

取上側(cè),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束9/28

?若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說(shuō)明:假如積分曲面

取下側(cè),則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束10/28例1.

計(jì)算其中

是以原點(diǎn)為中心,邊長(zhǎng)為

a

正立方體整個(gè)表面外側(cè).解:

利用對(duì)稱(chēng)性.原式

頂部取上側(cè)

底部取下側(cè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束11/28解:把

分為上下兩部分依據(jù)對(duì)稱(chēng)性思索:下述解法是否正確:例2.計(jì)算曲面積分其中

為球面外側(cè)在第一和第八卦限部分.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束12/28機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束13/28例3.設(shè)S是球面外側(cè),計(jì)算解:利用輪換對(duì)稱(chēng)性,有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束14/28四、兩類(lèi)曲面積分聯(lián)絡(luò)曲面方向使用方法向量方向余弦刻畫(huà)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束15/28令向量形式(A在n上投影)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束16/28例4.

位于原點(diǎn)電量為q點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)為解:。求E經(jīng)過(guò)球面

:r=R外側(cè)電通量

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束17/28例5.設(shè)是其外法線與z軸正向夾成銳角,計(jì)算解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束18/28例6.

計(jì)算曲面積分其中

解:利用兩類(lèi)曲面積分聯(lián)絡(luò),有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分下側(cè).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束19/28原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束20/28內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類(lèi)曲面積分及其聯(lián)絡(luò)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束21/28性質(zhì):聯(lián)絡(luò):思索:方向相關(guān),上述聯(lián)絡(luò)公式是否矛盾?兩類(lèi)曲線積分定義一個(gè)與

方向無(wú)關(guān),一個(gè)與

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束22/282.慣用計(jì)算公式及方法面積分第一類(lèi)(對(duì)面積)第二類(lèi)(對(duì)坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不一樣時(shí)分片積分)(2)積分元素投影第一類(lèi)：面積投影第二類(lèi)：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類(lèi)曲面積分特殊情況.轉(zhuǎn)化機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束23/28當(dāng)時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“

”)類(lèi)似可考慮在yoz面及zox面上二重積分轉(zhuǎn)化公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束24/28思索與練習(xí)1.P167題2提醒:設(shè)則

取上側(cè)時(shí),

取下側(cè)時(shí),2.P184題13.P167題3(3)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束25/28是平面在第四卦限部分上側(cè),計(jì)算提醒:求出

法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類(lèi)曲面積分P167題3(3).設(shè)作業(yè)

P1673(1),(2),(4);4(1),