八年級數學上冊壓軸題綜合檢測試題附答案1．（初步探索）（1）如圖：在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，探究圖中、、之間的數量關系．(1)（1）小明同學探究此問題的方法是：延長到點，使．連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論應是_____________；(2)（靈活運用）（2）如圖2，若在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，上述結論是否仍然成立，并說明理由；2．如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB分別交y軸、x軸于點A（0，a），點B（b，0），且a、b滿足a2-4a+4+＝0．（1）求a，b的值；（2）以AB為邊作Rt△ABC，點C在直線AB的右側，且∠ACB＝45°，求點C的坐標；（3）若（2）的點C在第四象限（如圖2），AC與x軸交于點D，BC與y軸交于點E，連接DE，過點C作CF⊥BC交x軸于點F．①求證：CF=BC；②直接寫出點C到DE的距離．

3．閱讀理解題：定義：如果一個數的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數i叫做虛數單位，把形如a+bi（a，b為實數）的數叫做復數，其中a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加、減、乘、除運算與代數式的運算類似．例如：計算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；根據以上信息，完成下列問題：（1）填空：i3＝，i4＝，i+i2+i3+…+i2021＝；（2）計算：（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）；（3）已知a+bi＝（a，b為實數），求的最小值．4．（1）如圖1，已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明：DE=BD+CE．（提示：由于DE=AD+AE，證明AD=CE，AE=BD即可）（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意鈍角，請問結論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試證明DEF是等邊三角形．5．已知：在平面直角坐標系中，A為x軸負半軸上的點，B為y軸負半軸上的點．(1)如圖1，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰，若，，求C點的坐標；(2)如圖2，若點A的坐標為，點B的坐標為，點D的縱坐標為n，以B為頂點，BA為腰作等腰．當B點沿y軸負半軸向下運動且其他條件都不變時，整式的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理出；(3)如圖3，若，于點F，以OB為邊作等邊，連接AM交OF于點N，若，，請直接寫出線段AM的長．6．如圖1，在平面直角坐標系中，，，且∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）求點B的坐標；（2）如圖2，若BC交y軸于點M，AB交x軸與點N，過點B作軸于點E，作軸于點F，請?zhí)骄烤€段MN，ME，NF的數量關系，并說明理由；（3）如圖3，若在點B處有一個等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，連接AG，點H為AG的中點，試猜想線段DH與線段CH的數量關系與位置關系，并證明你的結論．7．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）判斷與的位置關系和數量關系，并證明；（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉一定的角度后，BD與AC的位置關系和數量關系是否發(fā)生變化？并證明；（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數．8．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．（1）求∠CAM的度數；（2）若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；（3）當動D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．【參考答案】2．(1)（初步探索）結論：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；(2)（靈活運用）成立，理由見解析【分析】（1）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進而得出∠BAE=∠D解析：(1)（初步探索）結論：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；(2)（靈活運用）成立，理由見解析【分析】（1）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據此得出結論；（2）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．（1）解：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF．理由：如圖1，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，∵，∴，∵DG＝BE，，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF=BE+FD，DG＝BE，∴，且AE＝AG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．故答案為：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；（2）如圖2，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF【點睛】本題考查了全等三角形的判定以及性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應角相等進行推導變形．解題時注意：同角的補角相等．3．（1）a＝2，b＝-1；（2）滿足條件的點C（2，1）或（1，-1）；（3）①證明見解析；②1．【分析】（1）可得(a?2)2+＝0，由非負數的性質可得出答案；（2）分兩種情況：∠BAC=9解析：（1）a＝2，b＝-1；（2）滿足條件的點C（2，1）或（1，-1）；（3）①證明見解析；②1．【分析】（1）可得(a?2)2+＝0，由非負數的性質可得出答案；（2）分兩種情況：∠BAC=90°或∠ABC=90°，根據等腰直角三角形的性質及全等三角形的性質可求出點C的坐標；（3）①如圖3，過點C作CL⊥y軸于點L，則CL=1=BO，根據AAS可證明△BOE≌△CLE，得出BE=CE，根據ASA可證明△ABE≌△BCF，得出BE=CF，則結論得證；②如圖4，過點C作CK⊥ED于點K，過點C作CH⊥DF于點H，根據SAS可證明△CDE≌△CDF，可得∠BAE=∠CBF，由角平分線的性質可得CK=CH=1．【詳解】（1）∵a2?4a+4+＝0，∴(a?2)2+＝0，∵（a-2）2≥0，≥0，∴a-2=0，2b+2=0，∴a=2，b=-1；（2）由（1）知a=2，b=-1，∴A（0，2），B（-1，0），∴OA=2，OB=1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB=45°，∴只有∠BAC=90°或∠ABC=90°，Ⅰ、當∠BAC=90°時，如圖1，∵∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=CB，過點C作CG⊥OA于G，∴∠CAG+∠ACG=90°，∵∠BAO+∠CAG=90°，∴∠BAO=∠ACG，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG=OA=2，AG=OB=1，∴OG=OA-AG=1，∴C（2，1），Ⅱ、當∠ABC=90°時，如圖2，同Ⅰ的方法得，C（1，-1）；即：滿足條件的點C（2，1）或（1，-1）（3）①如圖3，由（2）知點C（1，-1），過點C作CL⊥y軸于點L，則CL=1=BO，在△BOE和△CLE中，，∴△BOE≌△CLE（AAS），∴BE=CE，∵∠ABC=90°，∴∠BAO+∠BEA=90°，∵∠BOE=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE=CF，∴CF＝BC；②點C到DE的距離為1．如圖4，過點C作CK⊥ED于點K，過點C作CH⊥DF于點H，由①知BE=CF，∵BE=BC，∴CE=CF，∵∠ACB=45°，∠BCF=90°，∴∠ECD=∠DCF，∵DC=DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，∴CK=CH=1．【點睛】此題考查三角形綜合題，非負數的性質，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，坐標與圖形的性質，等腰三角形的性質，點到直線的距離，角平分線的性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．4．（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值為25．【分析】（1）根據題目所給條件可得i3=i2?i，i4=i2?i2計算即可得出答案；（2）根據多項式乘法法則進行計算，及題目所給已知條解析：（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值為25．【分析】（1）根據題目所給條件可得i3=i2?i，i4=i2?i2計算即可得出答案；（2）根據多項式乘法法則進行計算，及題目所給已知條件即可得出答案；（3）根據題目已知條件，a+bi＝4+3i，求出a、b，即可得出答案．【詳解】（1）i3＝i2?i＝﹣1×i＝﹣i，i4＝i2?i2＝﹣1×（﹣1）＝1，設S＝i+i2+i3+…+i2021，iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，∴（1﹣i）S＝i﹣i2022，∴S＝，故答案為﹣i，1，；（2）（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）＝3﹣4i+3i﹣4i2﹣（4﹣9i2）＝3﹣i+4﹣4﹣9＝﹣i﹣6；（3）a+bi＝＝＝＝4+3i，∴a＝4，b＝3，∴＝，∴的最小值可以看作點（x，0）到點A（0，4），B（24，3）的最小距離，∵點A（0，4）關于x軸對稱的點為A'（0，﹣4），連接A'B即為最短距離，∴A'B＝＝25，∴的最小值為25．【點睛】此題考查了實數的運算，以及規(guī)律型：數字的變化類，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．5．（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）見解析【分析】（1）運用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（2）運用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（3）運用SAS證明△DBF≌△EAF，后運解析：（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）見解析【分析】（1）運用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（2）運用AAS證明△ADB≌△CEA即可；（3）運用SAS證明△DBF≌△EAF，后運用有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形證明即可．【詳解】（1）如圖1，∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）如圖2，∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）如圖3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF為等邊三角形．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，等邊三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關鍵．6．(1)(2)整式的值不發(fā)生變化．其值為(3)【分析】（1）過點作于點，可以證明，由，，再由條件就可以求出的坐標；（2）過點作于點，可以證明，則有為定值，從而可以得出結論的值不變?yōu)?；解析?1)(2)整式的值不發(fā)生變化．其值為(3)【分析】（1）過點作于點，可以證明，由，，再由條件就可以求出的坐標；（2）過點作于點，可以證明，則有為定值，從而可以得出結論的值不變?yōu)?；?）在上截取，連接，證明，由全等三角形的性質得出．由等腰三角形的性質可得出結論．(1)解：如圖1，過點作于點，，等腰直角三角形，，，．，，．，，，，，；(2)解：整式的值不會變化．理由如下：如圖2，過點作于點，，等腰直角三角形，，，，，，，，，，當點沿軸負半軸向下運動時，，整式的值不變，為；(3)．證明：如圖3，在上截取，連接，是等邊三角形，，，為等腰直角三角形，，，，,，，，，，．，，，，，，，，，即．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，正確的做出輔助線并證明三角形全等是解決問題的關鍵．7．（1）（2），見解析（3）且，見解析【分析】（1）如圖1中，過點C作CT⊥y軸于點T，根點B作BH⊥CT交CT的延長線于點H．證明△ATC≌△CHB（AAS），推出AT＝CH＝6，CT＝解析：（1）（2），見解析（3）且，見解析【分析】（1）如圖1中，過點C作CT⊥y軸于點T，根點B作BH⊥CT交CT的延長線于點H．證明△ATC≌△CHB（AAS），推出AT＝CH＝6，CT＝BH＝2，可得結論；（2）結論：MN＝ME+NF．證明△BFN≌△BEK（SAS），推出BN＝BK，∠FBN＝∠EBK，再證明△BMN≌△BMK（SAS），推出MN＝MK，可得結論；（3）結論：DH＝CH，DH⊥CH．如圖3中，延長DH到J，使得HJ＝DH，連接AJ，CJ，延長DG交AC于點M．證明△JDC是等腰直角三角形，可得結論．【詳解】解：（1）如圖1中，過點C作CT⊥y軸于點T，根點B作BH⊥CT交CT的延長線于點H．∵A（0，4），C（﹣2，﹣2），∴OA＝4，OT＝CT＝2，∴AT＝4+2＝6，∵∠ACB＝∠ATC＝∠H＝90°，∴∠CAT+∠ACT＝90°，∠BCH+∠CBH＝90°，∴∠CAT＝∠BCH，∵CA＝CB，∴△ATC≌△CHB（AAS），∴AT＝CH＝6，CT＝BH＝2，∴TH＝CH﹣CT＝4，∴B（4，-4）；（2）結論：MN＝ME+NF．理由：在射線OE上截取EK＝FN，連接BK．∵B（4，4），BE⊥y軸，BF⊥x軸，∴BE＝BF＝4，∠BEO＝∠BFO＝∠EOF＝90°，∴四邊形BEOF是矩形，∴∠EBF＝90°，∵EK＝FN，∠BFN＝∠BEK＝90°，∴△BFN≌△BEK（SAS），∴BN＝BK，∠FBN＝∠EBK，∴∠NBK＝∠FBE＝90°，∵∠MBN＝45°，∴∠MBN＝∠BMK＝45°，∵BM＝BM，∴△BMN≌△BMK（SAS），∴MN＝MK，∵MK＝ME+EK，∴MN＝EM+FN；（3）結論：DH＝CH，DH⊥CH．理由：如圖3中，延長DH到J，使得HJ＝DH，連接AJ，CJ，延長DG交AC于點M．∵AH＝HG，∠AHJ＝∠GHD，HJ＝HD，∴△AHJ≌△GHD（SAS），∴AJ＝DG，∠AJH＝∠DGH，∴AJ∥DM，∴∠JAC＝∠AMD，∵DG＝BD，∴AJ＝BD，∵∠MCB＝∠BDM＝90°，∴∠CBD+∠CMD＝180°，∵∠AMD+∠CMD＝180°，∴∠AMD＝∠CBD，∴∠CAJ＝∠CBD，∵CA＝CB，∴△CAJ≌△CBD（SAS），∴CJ＝CD，∠ACJ＝∠BCD，∴∠JCD＝∠ACB＝90°，∵JH＝HD，∴CH⊥DJ，CH＝JH＝HD，即CH＝DH，CH⊥DH．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．8．（1），；（2），；（3）．【分析】（1）先判斷出，再判定，再判斷，（2）先判斷出，再得到同理（1）可得結論；（3）先判斷出，再判斷出，最后計算即可．【詳解】解：（1）與的位置關解析：（1），；（2），；（3）．【分析】（1）先判斷出，再判定，再判斷，（2）先判斷出，再得到同理（1）可得結論；（3）先判斷出，再判斷出，最后計算即可．【詳解】解：（1）與的位置關系是：，數量關系是．理由如下：如圖1，延長交于點．于，．，，，