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第二節(jié)偏導數(shù)

一、偏導數(shù)的定義及其計算法123由偏導數(shù)的定義可知，求二元函數(shù)的偏導數(shù)并不需要新的方法.例如求時,視y為常數(shù),故若令這仍然是一元函數(shù)求導問題.則

4偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處5例1.求解1解26證7解8例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程(R為常數(shù)),求證:證:9有關偏導數(shù)的幾點說明：１、２、求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；解10例6解11按定義可知：12３、偏導數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關系？但由上節(jié)例6知函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在

連續(xù)，13注意:對于一元函數(shù),可導必連續(xù).而對于多元函數(shù),從以上兩例可看出函數(shù)連續(xù)與偏導數(shù)存在沒有必然的聯(lián)系.又例如,144、偏導數(shù)的幾何意義如圖15是曲線在點M0處的對x

軸的斜率.在點M0處的切線斜率.是曲線對y軸的切線16純偏導混合偏導定義：二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).二、高階偏導數(shù)17解18解注意:兩例但這一結(jié)論并不總成立.19例9解20按定義可知：21問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導數(shù)相等？解本定理對n

元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.22證畢．23例11.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程24內(nèi)容小結(jié)1.偏導數(shù)的概念及有關結(jié)論

定義;記號;幾何意義

函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù)

混合偏導數(shù)連續(xù)與求導順序無關2.偏導數(shù)的計算方法

求一點處偏導數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法(與求導順序無關時,應選擇方便的求導順序)25備用題

設方程確定u

是x,y

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