高中數(shù)學(xué)易錯、易混、易忘題分類匯編

“會而不對，對而不全"一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高的重要因

素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個問題對決定學(xué)生的高考成

敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗精心挑選

學(xué)生在考試中常見的66個易錯、易混、易忘典型題目，這些問題也

是高考中的熱點和重點，做到力避偏、怪、難，進行精彩剖析并配以

近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高考

中確實存在，另一方面通過作針對性練習(xí)幫你識破命題者精心設(shè)計的

陷阱，以達到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實現(xiàn)自己的

理想報負。

【易錯點1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。

例1、設(shè)，，若，求實數(shù)a組成的集合的子集有多少個？

【易錯點分析】此題由條件易知，由于空集是任何非空集合的子集,

但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生

漏解現(xiàn)象。

解析：集合A化簡得，由知故（I）當(dāng)時，即方程無解，此時

a=0符合已知條件（H）當(dāng)時，即方程的解為3或5,代入得或。

綜上滿足條件的a組成的集合為，故其子集共有個。

【知識點歸類點拔】（1）在應(yīng)用條件AUB=BAGB=AAB時,

要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，將集合A是空集中的情況優(yōu)先進行討

論.

(2)在解答集合問題時，要注意集合的性質(zhì)"確定性、無序性、互異

性"特別是互異性對集合元素的限制。有時需要進行檢驗求解的結(jié)果

是滿足集合中元素的這個性質(zhì)，此外,解題過程中要注意集合語言(數(shù)

學(xué)語言)和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如：，，其中，若求r的取值范圍。

將集合所表達的數(shù)學(xué)語言向自然語言進行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以

原點為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以(3,4)為圓心，以r

為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點即兩圓相離或內(nèi)含時，求半徑r的取值

范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式的解

集等也要注意集合語言的應(yīng)用。

【練1】已知集合、，若，則實數(shù)a的取值范圍是。

答案：或。

【易錯點2］求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

例2、已知，求的取值范圍

【易錯點分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)

于x的函數(shù)最值求解，但極易忽略x、y滿足這個條件中的兩個變量

的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴大。

解析：由于得(x+2)2=l-<1,從而x2+y2=-3x2-16x-12=

+因此當(dāng)x=-l時x2+y2有最小值1,當(dāng)x=-時-，x2+y2有最大值。

故x2+y2的取值范圍是［1,］

【知識點歸類點拔】事實上我們可以從解析幾何的角度來理解條件

對x、y的限制，顯然方程表示以(-2,0)為中心的橢圓，則易知-3

WxW-1,o此外本題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解。

【練2】（05高考重慶卷）若動點（x,y）在曲線上變化，則的最

大值為（）

（A）（B）（C）（D）

答案：A

【易錯點3］求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的

定義域。

例3、是R上的奇函數(shù)，（1）求a的值（2）求的反函數(shù)

【易錯點分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略求解反函數(shù)的定義

域即原函數(shù)的值域而出錯。

解析：（1）利用（或）求得a=l.

（2）由即，設(shè)，則由于故，，而所以

【知識點歸類點拔】（1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時，一定要通過確定原

函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的

定義域為R可省略）。

（2）應(yīng)用可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其

自變量和函數(shù)值要互換。

【練3】（2004全國理）函數(shù)的反函數(shù)是（）

A、B、

C、D、

答案：B

【易錯點4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯位

例4、已知函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖象關(guān)于直線對稱，則的解

析式為（）

A、B、C、D、

【易錯點分析】解答本題時易由與互為反函數(shù)，而認為的反函數(shù)

是則==而錯選A。

解析：由得從而再求的反函數(shù)得。正確答案：B

【知識點分類點拔】函數(shù)與函數(shù)并不互為反函數(shù)，他只是表示中

x用x-1替代后的反函數(shù)值。這是因為由求反函數(shù)的過程來看：設(shè)

則，

再將x、y互換即得的反函數(shù)為，故的反函數(shù)不是，因此在今后

求解此題問題時一定要謹慎。

【練4】（2004高考福建卷）已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f-l（x）,

則函數(shù)y=f-l（l-x）的圖象是（）

答案：B

【易錯點5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定

義域關(guān)于原點對稱。

例5、判斷函數(shù)的奇偶性。

【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解:

從而得出函數(shù)為非奇非偶函數(shù)的錯誤結(jié)論。

解析：由函數(shù)的解析式知x滿足即函數(shù)的定義域為定義域關(guān)于原點

對稱，在定義域下易證即函數(shù)為奇函數(shù)。

【知識點歸類點拔】（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶

性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時一定要先研究函

數(shù)的定義域。

（2）函數(shù)具有奇偶性，則是對定義域內(nèi)x的恒等式。常常利用這

一點求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。

【練5】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

①②③

答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

【易錯點6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)

致解題過程繁鎖。

例6、函數(shù)的反函數(shù)為，喇是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)。

【思維分析】可求的表達式，再證明。若注意到與具有相同的單

調(diào)性和奇偶性，只需研究原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可。

解析：，故為奇函數(shù)從而為奇函數(shù)。又令在和上均為增函數(shù)

且為增函數(shù)，故在和上分別為增函數(shù)。故分別在和上分別為

增函數(shù)。

【知識點歸類點拔】對于反函數(shù)知識有如下重要結(jié)論：（1）定義域上

的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和

反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域為非單元素的偶函數(shù)不存在反

函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反

函數(shù)的定義域和值域到換。即。

【練6】（1）（99全國高考題）已知，則如下結(jié)論正確的是（）

A、是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、是奇函數(shù)且為減函

數(shù)

C、是偶函數(shù)且為增函數(shù)D、是偶函數(shù)且為減函

數(shù)

答案：A

（2）（2005天津卷）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使成立的的取值范

圍為（）A、B、C、D、

答案：A（時，單調(diào)增函數(shù)，所以.）

【易錯點7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)

范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。

例7、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明。

【易錯點分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的

性質(zhì)解答。特別注意定義中的的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必

是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識。

解析：由于即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即

可。設(shè)，由于故當(dāng)時，此時函數(shù)在上增函數(shù)，同理可證

函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，

在為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在和上分

別為減函數(shù).

【知識歸類點拔［（1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、

求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)引起足夠重視。

（2）單調(diào)性的定義等價于如下形式：在上是增函數(shù)，在上是減

函數(shù)，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩點連

線的斜率都大于（小于）零。

（3）是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題

中不能說在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間時不能在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號"U"和"或"，

【練7】（1）（濰坊市統(tǒng)考題）（1）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在

上的單調(diào)性。（2）設(shè)在的最小值為，求的解析式。

答案：（1）函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。（2）

（2）（2001天津）設(shè)且為R上的偶函數(shù)。（1）求a的值（2）試

判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并給出證明。

答案：（1）（2）函數(shù)在上為增函數(shù)（證明略）

【易錯點8］在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必

要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯誤結(jié)論。

例8、（2004全國高考卷）已知函數(shù)上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

【易錯點分析】是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程

中易誤作是充要條件，如在R上遞減，但。

解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）當(dāng)時，是減函數(shù)，則故解得°（2）

當(dāng)時，易知此時函數(shù)也在R上是減函數(shù)。（3）當(dāng)時，在R上存在

一個區(qū)間在其上有，所以當(dāng)時，函數(shù)不是減函數(shù)，綜上，所求a

的取值范圍是。

【知識歸類點拔】若函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以

增函數(shù)為例來說明：①與為增函數(shù)的關(guān)系：能推出為增函數(shù)，但

反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，二是為增函數(shù)的充分

不必要條件。②時，與為增函數(shù)的關(guān)系:若將的根作為分界點，

因為規(guī)定，即摳去了分界點，此時為增函數(shù)，就一定有。，當(dāng)時,

是為增函數(shù)的充分必要條件。③與為增函數(shù)的關(guān)系：為增函數(shù)，

一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)

間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。.?.是為增函數(shù)的必要

不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究

的重點，我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)

性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單

調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇

到端點的討論問題，要謹慎處理。

因此本題在第一步后再對和進行了討論，確保其充要性。在解題中

誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件

使用而導(dǎo)致的錯誤還很多，這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴

密性。

【練8】（1）（2003新課程）函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）

A、B、C、D、

答案：A

（2）是否存在這樣的K值，使函數(shù)在上遞減，在上遞增？

答案：。（提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，但是函數(shù)在上遞減,

在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出K值后要檢

驗）

【易錯點9】應(yīng)用重要不等式確定最值時，忽視應(yīng)用的前提條件特別

是易忘判斷不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。

例9、已知:a>O,b>O,a+b=l,求(a+)2+(b+)2的最小值。

錯解:(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4》2ab++4N4+4=8;.(a+)2+(b+)2

的最小值是8

【易錯點分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b222ab,

第一次等號成立的條件是a=b=，第二次等號成立的條件ab=,顯然，

這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。

解析：原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4

=(l-2ab)(l+)+4由abW()2=得：l-2abNl-=，且216,1+N17

...原式2X17+4=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時，等號成立)...(a+)2+(b+)2

的最小值是。

【知識歸類點拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前

提條件缺一不可即"一正、二定、三相等"，在解題中容易忽略驗證取

提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。

【練9】(97全國卷文22理22)甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地

勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h，已知汽車每小時的運輸成本

(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v

(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指

出這個函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

答案為：(1)(2)使全程運輸成本最小，當(dāng)Wc時，行駛速度丫=；

當(dāng)>c時，行駛速度v=c。

【易錯點10］在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時，沒有根據(jù)性

質(zhì)進行分類討論的意識和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。

例10、是否存在實數(shù)a使函數(shù)在上是增函數(shù)？若存在求出a的值,

若不存在，說明理由。

【易錯點分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

判斷方法，在解題過程中易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個限制條件

而導(dǎo)致a的范圍擴大。

解析：函數(shù)是由和復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方

法（1）當(dāng)a>l時，若使在上是增函數(shù)，則在上是增函數(shù)且大于

零。故有解得a>k（2）當(dāng)a<l時若使在上是增函數(shù)，則在上

是減函數(shù)且大于零。不等式組無解。綜上所述存在實數(shù)a>l使得函

數(shù)在上是增函數(shù)

【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的

單調(diào)性取決于一次項系數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項系

數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底

數(shù)的范圍（大于1還是小于1）,特別在解決涉及指、對復(fù)合函數(shù)的

單調(diào)性問題時要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對數(shù)型函數(shù)還要注意定義

域的限制）。

【練10］（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)，且試求函數(shù)的的單

調(diào)區(qū)間。

答案：當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞

增在上單調(diào)遞減。

（2）（2005高考天津）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍

是（）A、B、C、D、

答案：B.（記，則當(dāng)時，要使得是增函數(shù)，則需有恒成立，所

以.矛盾.排除C、D當(dāng)時，要使是函數(shù)，則需有恒成立，所以.

排除A）

【易錯點11】用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性.

例11、已知求的最大值

【易錯點分析】此題學(xué)生都能通過條件將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，

進而利用換元的思想令將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但

極易忽略換元前后變量的等價性而造成錯解，

解析：由已知條件有且（結(jié)合）得，而==令則原式=根據(jù)

二次函數(shù)配方得：當(dāng)即時，原式取得最大值。

【知識點歸類點拔】"知識"是基礎(chǔ)，"方法"是手段，"思想"是深化，

提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認識和運用，數(shù)

學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是"能力"，解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整

體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元

的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是

變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標

準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助

元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起

來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭?/p>

悉的形式，把復(fù)雜的計算和推證簡化。

【練11](1)(高考變式題)設(shè)a>0,000求f(x)=2a(sinx+cosx)—

sinx,cosx—2a的最大值和最小值。

答案：f(x)的最小值為一2a—2a—,最大值為

(2)不等式>ax+的解集是(4,b),則a=,b=。

答案：(提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集

為)

【易錯點12】已知求時，易忽略n=1的情況.

例12、(2005高考北京卷)數(shù)列前n項和且。(1)求的值及數(shù)列

的通項公式。

【易錯點分析】此題在應(yīng)用與的關(guān)系時誤認為對于任意n值都成

立，忽略了對n=l的情況的驗證。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯誤結(jié)

論。

解析：易求得。由得故得又，故該數(shù)列從第二項開始為等比

數(shù)列故。

【知識點歸類點拔】對于數(shù)列與之間有如下關(guān)系：利用兩者之間

的關(guān)系可以已知求。但注意只有在當(dāng)適合時兩者才可以合并否則

要寫分段函數(shù)的形式。

【練12】(2004全國理)已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項

為。

答案：(將條件右端視為數(shù)列的前n-1項和利用公式法解答即可)

【易錯點13】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前n項和最大值時

易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從1開始）

例13、等差數(shù)列的首項，前n項和，當(dāng)時，。問n為何值時最

大？

【易錯點分析】等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題

轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義

域為正整數(shù)集這個限制條件。

解析：由題意知=此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因為，當(dāng)時,

故即此二次函數(shù)開口向下，故由得當(dāng)時取得最大值，但由于，

故若為偶數(shù),當(dāng)時，最大。

當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)時最大。

【知識點歸類點拔】數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可視為定義域

為正整數(shù)集或其子集（從1開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹

立函數(shù)思想及觀點應(yīng)用函數(shù)知識解決問題。特別的等差數(shù)列的前n項

和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項，反之滿足形如所對應(yīng)的

數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項和。此時由知數(shù)列中的點是同一直

線上，這也是一個很重要的結(jié)論。此外形如前n項和所對應(yīng)的數(shù)列

必為一等比數(shù)列的前n項和。

【練13］（2001全國高考題）設(shè)是等差數(shù)列，是前n項和，且，,

則下列結(jié)論錯誤的是（）A、B、C、D、和均為的最大值。

答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項和關(guān)于n的二

次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）

【易錯點14］解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答

使解題思維受阻或解答過程繁瑣。

例14、已知關(guān)于的方程和的四個根組成首項為的等差數(shù)列，求的

值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差

數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項是如何排列的。

解析：不妨設(shè)是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)

列的性質(zhì)知方程的另一根是此等差數(shù)列的第四項，而方程的兩根是

等差數(shù)列的中間兩項，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：故從

而=O

【知識點歸類點拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識的一個重

要方面，有解題中充分運用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例

如對于等差數(shù)列，若，則；對于等比數(shù)列，若，則；若數(shù)列是

等比數(shù)列，是其前n項的和，，那么，，成等比數(shù)列；若數(shù)列是

等差數(shù)列，是其前n項的和，，那么，，成等差數(shù)列等性質(zhì)要

熟練和靈活應(yīng)用。

【練14］（2003全國理天津理）已知方程和的四個根組成一個首項

為的等差數(shù)列，則=（）A、1B、C、D、

答案：C

【易錯點15］用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比q=1的情

況

例15、數(shù)列中，，，數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列。

（I）求使成立的的取值范圍；（II）求數(shù)列的前項的和.

[易錯點分析】對于等比數(shù)列的前n項和易忽略公比q=l的特殊情況,

造成概念性錯誤。再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列是公比為

（）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)列而找不到解題

突破口。使思維受阻。

解（I）???數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，???，，由得，即（）,

解得.

（II）由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，這表明數(shù)列的所有奇數(shù)

項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是，又，，

當(dāng)時，

，當(dāng)時，

【知識點歸類點拔】本題中拆成的兩個數(shù)列都是等比數(shù)列，其中是

解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項、

偶數(shù)項都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，解題

時要慎重，寫出數(shù)列的前幾項進行觀察就得出正確結(jié)論.對等比數(shù)列

的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人

為的設(shè)計陷阱使考生產(chǎn)生對現(xiàn)而不全的錯誤。

【練15]（2005高考全國卷一第一問）設(shè)等比數(shù)列的公比為q,前n

項和（1）求q的取值范圍。

答案：

【易錯點16）在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成

的數(shù)列的前n項和不會采用錯項相減法或解答結(jié)果不到位。

例16,（2003北京理）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且

（1）求數(shù)列的通項公式（2）令求數(shù)列前項和的公式。

【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列的通項公式再由數(shù)列的通項公

式分析可知數(shù)列是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成的"差比數(shù)列

",可用錯項相減的方法求和。

解析：（1）易求得

（2）由（1）得令（I）則（H）用（I）減去（II）（注意錯

過一位再相減）得當(dāng)當(dāng)時

綜上可得：

當(dāng)當(dāng)時

【知識點歸類點拔】一般情況下對于數(shù)列有其中數(shù)列和分別為等

差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項和可通過在原數(shù)列的每一項的基礎(chǔ)上

都乘上等比數(shù)列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上課本上

等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。

【練16］（2005全國卷一理）已知當(dāng)時，求數(shù)列的前n項和

答案：時當(dāng)時.

【易錯點17）不能根據(jù)數(shù)列的通項的特點尋找相應(yīng)的求和方法，在

應(yīng)用裂項求和方法時對裂項后抵消項的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項或少項。

例17>求

【易錯點分析】本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就

很難找到解題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些

項剩余哪些項規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。

解：由等差數(shù)列的前項和公式得，.??，取，，，…，就分別

得到

【知識歸類點拔】“裂項法”有兩個特點，一是每個分式的分子相同；

二是每項的分母都是兩個數(shù)(也可三個或更多)相乘，且這兩個數(shù)的

第一個數(shù)是前一項的第二個數(shù)，如果不具備這些特點，就要進行轉(zhuǎn)化。

同是要明確消項的規(guī)律一般情況下剩余項是前后對稱的。常見的變形

題除本題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項，即，問

題會很容易解決。另外還有一些類似"裂項法”的題目，如：，求其

前項和，可通過分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公

式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。

【練17](2005濟南統(tǒng)考)求和++H——I-.

答案：…=.

【易錯點18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或

充要條件使用，缺乏嚴謹?shù)倪壿嬎季S。

例18、(2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20)設(shè)無窮等差數(shù)列｛an｝的前n項

和為Sn.

(I)若首項32,公差，求滿足的正整數(shù)k；

(H)求所有的無窮等差數(shù)列｛an｝,使得對于一切正整數(shù)k都有成立.

【易錯點分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以及運用數(shù)學(xué)知識

分析和解決問題的能力.學(xué)生在解第(II)時極易根據(jù)條件"對于一切正

整數(shù)k都有成立”這句話將k取兩個特殊值確定出等差數(shù)列的首項和

公差，但沒有認識到求解出的等差數(shù)列僅是對已知條件成立的必要條

件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進一步的由特殊到一般。

解(I)當(dāng)時

由，即又.

(II)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則在中分別取k=l,2,得

由(1)得當(dāng)

若成立，

若故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)

若

若.

綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：

①{an}:an=O,即0,0,0,…；②{an}:an=l,即1,1,1,…；

(3){an}:an=2n—1,即1,3,5,…，

【知識點歸類點拔】事實上，"條件中使得對于一切正整數(shù)k都有成

立."就等價于關(guān)于k的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程

的各項系數(shù)同時為零，于是本題也可采用這程等價轉(zhuǎn)化的思想解答，

這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗而犯下的邏輯錯誤。在上述解法

中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系。

【練18](1)(2000全國)已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)歹！J.求

常數(shù)p

答案：p=2或p=3(提示可令n=l,2,3根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立關(guān)于p

的方程，再說明p值對任意自然數(shù)n都成立)

【易錯點19］用判別式判定方程解的個數(shù)（或交點的個數(shù)）時，易

忽略討論二次項的系數(shù)是否為0.尤其是直線與圓錐曲線相交時更易

忽略.

例19、已知雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點的個數(shù)

【易錯點分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方

程聯(lián)立，組成方程組，方程組有兒解，則直線與曲線就有兒個交點，

但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程后，易忽視對方程的種類進行討

論而主觀的誤認為方程就是二次方程只利用判別式解答。

解析：聯(lián)立方程組消去y得到（1）當(dāng)時一，即，方程為關(guān)于x的

一次方程，此時方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個交點。（2）

當(dāng)時即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個交點（3）當(dāng)時,

方程組有兩個交點此時且。（4）當(dāng)時即或時方程組無解此時直

線與雙曲線無交點。

綜上知當(dāng)或時直線與雙曲線只有一個交點，當(dāng)且。時直線與雙曲

線有兩個交點，當(dāng)或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。

【知識點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種

代數(shù)方法即判斷方程組解的個數(shù)對應(yīng)于直線與雙曲線的交點個數(shù)另

一種方法借助于漸進線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種

方法的對應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對應(yīng)于直線與雙曲線的漸

進線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但只有一個公共點，通過這一

點也說明直線與雙曲線只有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要

但不充分條件。第二種情況對應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過本題可以

加深體會這種數(shù)與形的統(tǒng)一。

【練19](1)(2005重慶卷)已知橢圓的方程為，雙曲線的左右

焦點分別為的左右頂點，而的左右頂點分別是的左右焦點。(1)

求雙曲線的方程(2)若直線與橢圓及雙曲線恒有兩個不同的交點,

且與的兩個交點A和B滿足，其中。為原點，求k的取值范圍。

答案：(1)(2)

(2)已知雙曲線C：,過點P(1,1)作直線1,使1與C有且只有

一個公共點，則滿足上述條件的直線1共有——條。答案：4條(可

知kl存在時，令1:y-l=k(x-l)代入中整理有(4-口42+21<(1<-1雙-

(l-k2)-4=0,A當(dāng)4-k2=0即k=±2時，有一個公共點;當(dāng)kW±2時,

由△=()有,有一個切點另：當(dāng)kl不存在時，x=l也和曲線C有一個

切點.?.綜上，共有4條滿足條件的直線)

【易錯點20】易遺忘關(guān)于和齊次式的處理方法。

例20、已知，求(I)；(2)的值.

【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用可將(2)式分子分母除去即

可。

解⑴；

(2)

【知識點歸類點拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(如果不具備，通過構(gòu)造

的辦法得到)，進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。

這些統(tǒng)稱為1的代換)常數(shù)"1"的種種代換有著廣泛的應(yīng)用.

【練20】.（2004年湖北卷理科）

已知的值.

答案：（原式可化為，）

【易錯點21］解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴易將有關(guān)數(shù)列的第n項與

數(shù)列的前n項和混淆導(dǎo)致錯誤解答。

例21、如果能將一張厚度為0.05mm的報紙對拆，再對拆…?對拆50次

后,報紙的厚度是多少?你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之

間建一座橋嗎?（已知地球與月球的距離約為米）

【易錯點分析】對拆50次后,報紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第n項,

易誤理解為是比等比數(shù)列的前n項和。

解析：對拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對拆厚度構(gòu)成數(shù)列，

則數(shù)列是以米為首項，公比為2的等比數(shù)列。從而對拆50次后紙

的厚度是此等比數(shù)列的第51項，利用等比數(shù)列的通項公式易得

a51=0.05X10-3X250=5.63X1010,而地球和月球間的距離為4X

108<5.63X1010故可建一座橋。

【知識點歸類點拔】以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題曾是高考考查的熱

點內(nèi)容之一，其中有很多問題都是涉及到等差或者等比數(shù)列的前n項

和或第n項的問題，在審題過程中一定要將兩者區(qū)分開來。

【練21］（2001全國高考）從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資

金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入

800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估

計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游

業(yè)收入每年會比上年增加.

⑴設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn

萬元，寫出an,bn的表達式；

(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入

(1)an=800+800X(1-)+-+800X(1-)n—1=800X(1-)k-

1=4000XLl-()n]

bn=400+400X(l+)+-+400X(l+)kT=400X()k-l=1600X[()n

-1]

(2)至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入

【易錯點22]單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對此知

識遺忘，應(yīng)用意識不強，另一方面易將角的三角函數(shù)值所對應(yīng)的三角

函數(shù)線與線段的長度二者等同起來，產(chǎn)生概念性的錯誤。

例21、下列命題正確的是()

A、、都是第二象限角，若，則B、、都是第三象限角，若，

則C、、都是第四象限角，若，貝I」D、、都是第一象限角，若，

則。

【易錯點分析】學(xué)生在解答此題時易出現(xiàn)如下錯誤：(1)將象限角簡

單理解為銳角或鈍角或270到360度之間的角。(2)思維轉(zhuǎn)向利用三

角函數(shù)的單調(diào)性，沒有應(yīng)用三角函數(shù)線比較兩角三角函數(shù)值大小的意

識而使思維受阻。

解析：A、由三角函數(shù)易知此時角的正切線的數(shù)量比角的正切線的

數(shù)量要小即B、同理可知C、知滿足條件的角的正切線的數(shù)量比角

的正切線的數(shù)量要大即。正確。D、同理可知應(yīng)為。

【知識點歸類點拔】單位圓的三角函數(shù)線將抽象的角的三角函數(shù)值同

直觀的有向線段的數(shù)量對應(yīng)起來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要注

意一點的就是角的三角函數(shù)值是有向線段的數(shù)量而不是長度。三角函

數(shù)線在解三角不等式、比較角的同名函數(shù)值的大小、三角關(guān)系式的證

明都有著廣泛的應(yīng)用并且在這些方面有著一定的優(yōu)越性。例如利用三

角函數(shù)線易知，等。

【練22](2000全國高考)已知,那么下列命題正確的是()

A、若、都是第一象限角，則B、若、都是第二象限角，則

B、若、都是第三象限角，則D、若、都是第四象限角，則

答案：D

【易錯點23】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換

解題時。易將和求錯。

例23.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象()

A、先將每個x值擴大到原來的4倍，y值不變，再向右平移個

單位。

B、先將每個x值縮小到原來的倍，y值不變，再向左平移個單

位。

C、先把每個x值擴大到原來的4倍，y值不變，再向左平移個單

位。

D、先把每個x值縮小到原來的倍，y值不變，再向右平移個單

位。

【易錯點分析】變換成是把每個X值縮小到原來的倍，有的同學(xué)

誤認為是擴大到原來的倍，這樣就誤選A或C,硼平移到有的同

學(xué)平移方向錯了，

有的同學(xué)平移的單位誤認為是。

解析：由變形為常見有兩種變換方式，一種先進行周期變換，即將

的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫胶瘮?shù)的圖

象，

再將函數(shù)的圖象縱坐標不變，橫坐標向右平移單位。即得函數(shù)。

或者先進行相位變換，即將的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標向

右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，再將其橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍即

得即得函數(shù)的圖象。

【知識點歸類點拔】利用圖角變換作圖是作出函數(shù)圖象的一種重要的

方法，一般地由得到

的圖象有如下兩種思路：一先進行振幅變換即由橫坐標不變，縱坐

標變?yōu)樵瓉淼腁倍得到，再進行周期變換即由縱坐標不變，橫坐

標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到，再進行相位變換即由橫坐標向左（右）

平移個單位，即得，另種就是先進行了振幅變換后，再進行相位變

換即由向左（右）平移個單位，即得到函數(shù)的圖象，再將其橫坐

標變?yōu)樵瓉淼谋都吹?。不論哪一種變換都要注意一點就是不論哪一

種變換都是對純粹的變量x來說的。

【練23］（2005全國卷天津卷）要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象上

所有的點的

A、橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再向左平移個單位

長度。B、橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再向左平移個

單位長度。C、橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平

移個單位長度。D、橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向

右平移個單位長度。

答案：C

【易錯點24】沒有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對角的范圍的限

制而造成增解現(xiàn)象。

例24、已知，求的值。

【易錯點分析】本題可依據(jù)條件，利用可解得的值，再通過解方

程組的方法即可解得、的值。但在解題過程中易忽視這個隱含條

件來確定角范圍，主觀認為的值可正可負從而造成增解。

解析：據(jù)已知（1）有，又由于，故有，從而即（2）聯(lián)立（1）

（2）可得,可得。

【知識點歸類點拔】在三角函數(shù)的化簡求值過程中，角的范圍的確定

一直是其重點和難點，在解題過程中要注意在已有條件的基礎(chǔ)上挖掘

隱含條件如：結(jié)合角的三角函數(shù)值的符號、三角形中各內(nèi)角均在區(qū)

間內(nèi)、與已知角的三角函數(shù)值的大小比較結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性等。

本題中實際上由單位圓中的三角函數(shù)線可知若則必有，故必有。

【練24］（1994全國高考）已知，則的值是。

答案：

【易錯點25】根據(jù)已知條件確定角的大小，沒有通過確定角的三角

函數(shù)值再求角的意識或確定角的三角函數(shù)名稱不適當(dāng)造成錯解。

例25、若，且、均為銳角，求的值。

【易錯點分析】本題在解答過程中，若求的正弦，這時由于正弦函

數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)故滿足條件的角有兩個，兩個是否都滿足還需進

一步檢驗這就給解答帶來了困難，但若求的余弦就不易出錯，這是

因為余弦函數(shù)在內(nèi)單調(diào)，滿足條件的角唯一。

解析：由且、均為銳角知解析?：由且、均為銳角知，則由、

均為銳角即故

【知識點歸類點拔】根據(jù)已知條件確定角的大小，一定要轉(zhuǎn)化為確定

該角的某個三角函數(shù)值，再根據(jù)此三

角函數(shù)值確定角這是求角的必然步驟，在這里要注意兩點一就是要結(jié)

合角的范圍選擇合適的三角函數(shù)名稱

同時要注意盡量用已知角表示待求角，這就需要一定的角的變換技巧

如：等。

二是依據(jù)三角函數(shù)值求角時要注意確定角的范圍的技巧。

【練25](1)在三角形中，已知，求三角形的內(nèi)角C的大小。

答案：(提示確定已知角的余弦值，并結(jié)合已知條件確定角A的范

圍)

(2)(2002天津理，17)已知cos(a+)=WaV,求cos(2

a+)的值.

答案：=一

【易錯點26】對正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)：如圖象、對稱

軸、對稱中心易遺忘或沒有深刻理解其意義。

例26、如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，那么a等于（）

A.B.-C.lD.-1

【易錯點分析】函數(shù)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的波峰頂或波谷底，且

與y軸平行，而對稱中心是圖象與x軸的交點，學(xué)生對函數(shù)的對稱性

不理解誤認為當(dāng)時，y=0,導(dǎo)致解答出錯。

解析：（法一）函數(shù)的解析式可化為，故的最大值為，依題意，直

線是函數(shù)的對稱軸，則它通過函數(shù)的最大值或最小值點即

,解得.故選D

（法二）依題意函數(shù)為，直線是函數(shù)的對稱軸，故有，即：，而

故，從而故選D.

（法三）若函數(shù)關(guān)于直線是函數(shù)的對稱則必有，代入即得。

【知識點歸類點拔】對于正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)它們有無窮多條

對稱軸及無數(shù)多個對稱中心，它們的意義是分別使得函數(shù)取得最值的

x值和使得函數(shù)值為零的x值，這是它們的兒何和代數(shù)特征。希望同

學(xué)們認真學(xué)習(xí)本題的三種解法根據(jù)具體問題的不同靈活處理。

【練26］（1）（2003年高考江蘇卷18）已知函數(shù)上R上的偶函數(shù)，

其圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和3的值.

答案：或。

（2）（2005全國卷一第17題第一問）設(shè)函數(shù)的,圖象的一條對稱

軸是直線，求答案：=

【易錯點27］利用正弦定理解三角形時，若已知三角形的兩邊及其

一邊的對角解三角形時，易忽視三角形解的個數(shù)。

例27、在中，。求的面積

【易錯點分析】根據(jù)三角形面積公式，只需利用正弦定理確定三角形

的內(nèi)角C,則相應(yīng)的三角形內(nèi)角A即可確定再利用即可求得。但由

于正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不嚴格格單調(diào)所以滿足條件的角可能不唯一，

這時要借助已知條件加以檢驗，務(wù)必做到不漏解、不多解。

解析：根據(jù)正弦定理知：即得，由于即滿足條件的三角形有兩個

故或.則或故相應(yīng)的三角形面積為或.

【知識點歸類點拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工

具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩

類問題(1)已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時有且只有一

解。(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角，這是由于正

弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴格格單調(diào)，此時三角形解的情況可能是無解、

一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數(shù)。如：在中,

已知a,b和A解的情況如下：

(1)當(dāng)A為銳角

(2)若A為直角或鈍角

【練27]（2001全國）如果滿足，，的三角表恰有一個那么k的

取值范圍是（）A、B、C、D、或

答案：D

【易錯點281三角形中的三角函數(shù)問題。對三角變換同三角形邊、

角之間知識的結(jié)合的綜合應(yīng)用程度不夠。

例28、（1）（2005湖南高考）已知在AABC中，sinA（sinB+cosB）

-sinC=0,sinB+cos2c=0,求角A、B、C的大小.

【易錯點分析】本題在解答過程中若忽視三角形中三內(nèi)角的聯(lián)系及三

角形各內(nèi)角大小范圍的限制，易使思維受阻或解答出現(xiàn)增解現(xiàn)象。

解法一由得

所以即

因為所以，從而由知從而.由即由此得所以

解法二：由由、，所以即由得

所以即因為，所以由從而，知B+2C=不合要求.再由,得所

以

2、（北京市東城區(qū)2005年高三年級四月份綜合練習(xí)）在△ABC中，

a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且（I）求角B的大小（II）

若，求AABC的面積.

【思維分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理將條件化為三角形邊的關(guān)系或

角的關(guān)系解答。

(I)解法一：由正弦定理得將上式代入已知即故A+B+C=,

為三角形的內(nèi)角，.

解法二：由余弦定理得將上式代入整理得

為三角形的內(nèi)角，.

(II)將代入余弦定理得

【知識點歸類點拔】三角形中的三角函數(shù)問題一直是高考的熱點內(nèi)容

之一。對正余弦定理的考查主要涉及三角形的邊角互化(如判斷三角

形的形狀等，利用正、余弦定理將條件中含有的邊和角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為

邊或角的關(guān)系是解三角形的常規(guī)思路)，三角形內(nèi)的三角函數(shù)求值、

三角恒等式的證明、三角形外接圓的半徑等都體現(xiàn)了三角函數(shù)知識與

三角形知識的交匯，體現(xiàn)了高考命題的原則。

【練28](1)(2004年北京春季高考)在中，a,b,c分別是的對

邊長，已知a,b,c成等比數(shù)列，且，求的大小及的值。

答案：，

(2)(2005天津)在AABC中，/A、NB、NC所對的邊長分別為

a、b、c,設(shè)a、b、c滿足條件和o求NA和的值。

答案：，

【易錯點29]含參分式不等式的解法。易對分類討論的標準把握不

準，分類討論達不到不重不漏的目的。

例29、解關(guān)于x的不等式＞l(aWl).

【易錯點分析】將不等式化為關(guān)于x的一元二次不等式后，忽視對二

次項系數(shù)的正負的討論，導(dǎo)致錯解。

解:原不等式可化為:>0,即[(a—l)x+(2—a)](x-2)>0.

當(dāng)a>l時,原不等式與(x-)(x-2)>0同解.若22,即OWaVl時,

原不等式無解；若<2,即aVO或a>l,于是a>l時原不等式的解

為(一8,)U(2,+°°).

當(dāng)aVl時一，若aVO,解集為(,2)；若OVaVl,解集為(2,)

綜上所述：當(dāng)a>l時解集為(一8,)u(2,+8)；當(dāng)OVa<l時，

解集為(2,)；當(dāng)a=0時，解集為；當(dāng)a<0時，解集為(,2).

【知識點分類點拔】解不等式對學(xué)生的運算化簡等價轉(zhuǎn)化能力有較高

的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉(zhuǎn)化，對解不等式的

考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題：

(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法.

⑵掌握用序軸標根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式

的處理方法.

⑶掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數(shù)和對數(shù)不等式的兒

種基本類型的解法.

⑷掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法.

(5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式

等價地轉(zhuǎn)化為易解的不等式.(6)對于含字母的不等式，要能按照正確

的分類標準，進行分類討論.

【練29】(2005年江西高考)已知函數(shù)為常數(shù))，且方程有兩個實

根為

（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，解關(guān)于的不等式：

答案：①當(dāng)時,解集為②當(dāng)時，不等式為解集為③當(dāng)時,解集為

【易錯點30】求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯位

例30、已知函數(shù)（1）如果函數(shù)的定義域為R求實數(shù)m的取值范

圍（2）如果函數(shù)的值域為R求實數(shù)m的取值范圍。

【易錯點分析】此題學(xué)生易忽視對是否為零的討論，而導(dǎo)致思維不

全面而漏解。另一方面對兩個問題中定義域為R和值域為R的含義

理解不透徹導(dǎo)致錯解。

解析：（1）據(jù)題意知若函數(shù)的定義域為R即對任意的x值恒成立,

令，當(dāng)=0時，即或。經(jīng)驗證當(dāng)時適合，當(dāng)時，據(jù)二次函數(shù)知

識若對任意x值函數(shù)值大于零恒成立，只需解之得或綜上所知m

的取值范圍為或。

（2）如果函數(shù)的值域為R即對數(shù)的真數(shù)能取到任意的正數(shù)，令當(dāng)

=0時，即或。經(jīng)驗證當(dāng)時適合，當(dāng)時，據(jù)二次函數(shù)知識知要使

的函數(shù)值取得所有正值只需解之得綜上可知滿足題意的m的取值

范圍是。

【知識點歸類點拔】對于二次型函數(shù)或二次型不等式若二次項系數(shù)含

有字母，要注意對字母是否為零進行討論即函數(shù)是一次函數(shù)還是二次

函數(shù)不等式是一次不等式還是二次不等式。同時通過本題的解析同學(xué)

們要認真體會這種函數(shù)與不等式二者在解題中的結(jié)合要通過二者的

相互轉(zhuǎn)化而獲得解題的突破破口。再者本題中函數(shù)的定義域和值域為

R是兩個不同的概念，前者是對任意的自變量x的值函數(shù)值恒正，后

者是函數(shù)值必須取遍所有的正值二者有本質(zhì)上的區(qū)別。

【練30］已知函數(shù)的定義域和值域分別為R試分別確定滿足條件的

a的取值范圍。答案：（1）或（2）或

【易錯點31］不等式的證明方法。學(xué)生不能據(jù)已知條件選擇相應(yīng)的

證明方法，達不到對各種證明方法的靈活應(yīng)用程度。

例31、已知a>0,b>0,且a+b=l.求證：（a+）（b+）N.

【易錯點分析】此題若直接應(yīng)用重要不等式證明，顯然a+和b+不

能同時取得等號，本題可有如下證明方法。

證法一：（分析綜合法）欲證原式，即證4（ab）2+4（a2+b2）—25ab+4N0,

即證4（ab）2—33（ab）+820,即證abW或ab^8.Va>0,b>0,a+b=l,

...ab28不可能成立l=a+b22,.,.abW,從而得證.

證法二：（均值代換法）設(shè)a=+tl,b=+t2.Va+b=l,a>0,b>0,

tl+t2=0,ItlK,It21V

顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0,即a=b=時，等號成立.

證法三：（比較法）Va+b=l,a>0,b>0,.,.a+b^2,「.abW

證法四：（綜合法）??'a+b=l,a>0,b>0,Aa+b^2，；.ab<.

證法五：（三角代換法）：a>0,b>0,a+b=l,故令a=sin2a,b=cos2

a,ae（0,）

【知識點歸類點拔】1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和

分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作

差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，

判斷過程必須詳細敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個

變量的二次式，則考慮用判別式法證.

(2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相

滲透，互為前提，充分運用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴

視野.

2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)

單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值

代換兩種，在應(yīng)用換元法時，要注意代換的等價性.放縮性是不等式

證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的

結(jié)論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證

法.凡是含有"至少""惟一"或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.

證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C

明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和

語言特點.

【練31】(2002北京文)數(shù)列由下列條件確定:

(1)證明：對于總有，(2)證明：對于，總有.

【易錯點32］函數(shù)與方程及不等式的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。學(xué)生不能明確和

利用三者的關(guān)系在解題中相互轉(zhuǎn)化尋找解題思路。

例32、已知二次函數(shù)滿足，且對一切實數(shù)恒成立.求；求

的解析式；求證：

【易錯點分析】對條件中的不等關(guān)系向等式關(guān)系的轉(zhuǎn)化不知如何下

手，沒有將二次不等式與二次函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的意識，解題找不到思路。

解（1）由已知令得：

（2）令由得：即則對任意實數(shù)恒成立就是對任意實數(shù)恒

成立，即:

則

（3）由（2）知故

故原不等式成立.

【