江西省贛州市里仁中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.右圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于(

)

A．

B．C．

D．參考答案：A2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（﹣1，1）上為減函數(shù)的是（）A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x參考答案：D【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，余弦函數(shù)單調(diào)性，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個選項函數(shù)在（﹣1，1）上的單調(diào)性，從而找出正確選項．【解答】解：A．x增大時，﹣x減小，1﹣x減小，∴增大；∴函數(shù)在（﹣1，1）上為增函數(shù)，即該選項錯誤；B．y=cosx在（﹣1，1）上沒有單調(diào)性，∴該選項錯誤；C．x增大時，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上為增函數(shù)，即該選項錯誤；D.；∴根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知，該函數(shù)在（﹣1，1）上為減函數(shù)，∴該選項正確．故選D．3.如圖，四棱錐中，，，和都是等邊三角形，則異面直線與所成角的大小為A．

B．

C．

D．參考答案：A4.直線和圓的位置關(guān)系是（

）A．相離B．相切C．相交不過圓心D．相交過圓心參考答案：A圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，選A.5.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（用幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，并稱之為“無字證明”.現(xiàn)有如下圖形：AB是半圓O的直徑，點D在半圓周上，于點C，設(shè)，，直接通過比較線段OD與線段CD的長度可以完成的“無字證明”為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D6.已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A試題分析：因為是開口向上，對稱軸為的拋物線，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，又因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，即，故答案為．考點：二次函數(shù)的單調(diào)性．7.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為2cm，高為4cm，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面，繞行兩周到達(dá)點A1的最短路線的長為（）A．4cm B．12cm C．2cm D．13cm參考答案：C【考點】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題．【分析】將三棱柱展開，不難發(fā)現(xiàn)最短距離是3個矩形對角線的連線，正好相當(dāng)于繞三棱柱轉(zhuǎn)1次的最短路徑．【解答】解：將正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿側(cè)棱展開，在展開圖中，最短距離是3個矩形對角線的連線的長度，也即為三棱柱的側(cè)面上所求距離的最小值．由已知求得矩形的長等于3×2=6，寬等于4，由勾股定理d==2故選：C．【點評】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，空間想象能力，幾何體的展開與折疊，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化（空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，化曲為直）的思想方法．8.已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，則a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣2參考答案：B考點： 平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．

專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)表示，列出方程，求出a的值即可．解答： 解：∵=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，∴a（1﹣a）﹣（﹣2）×1=0，化簡得a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1；∴a的值是2或﹣1．故選：B．點評： 本題考查了平面向量平行的坐標(biāo)表示的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．9.函數(shù)的值域為()參考答案：D10.某班有34位同學(xué)，座位號記為01,02,…34，用下面的隨機數(shù)表選取5組數(shù)作為參加青年志愿者活動的五位同學(xué)的座號．選取方法是從隨機數(shù)表第一行的第6列和第7列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第4個志愿者的座號是（

）A．23 B．09 C．02 D．16參考答案：試題分析:從隨機數(shù)表第一行的第列和第列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，不超過的依次為：，第四個志愿者的座號為，故選.考點：隨機抽樣.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知△ABC的三個頂點在以O(shè)為球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，三棱錐O﹣ABC的體積為，則球O的表面積為

．參考答案：16π考點：球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積．專題：球．分析：通過A的余弦函數(shù)求出正弦函數(shù)值，求出B的大小，利用三棱錐O﹣ABC的體積為，求出O到底面的距離，求出球的半徑，然后求出球的表面積．解答： 解：△ABC的三個頂點在以O(shè)為球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，∴sinA==，由正弦定理可知：，∴sinB=1，B=90°．斜邊AC的中點就是△ABC的外接圓的圓心，∵三棱錐O﹣ABC的體積為，又AB==2，∴=，∴h=，∴R==2，球O的表面積為4πR2=16π．故答案為：16π．點評：本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計算能力．12.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)時，,則滿足的的取值范圍是參考答案：13.不等式的實數(shù)解為____________．參考答案：且略14.（+3）（﹣）5的展開式中的常數(shù)項為．參考答案：40【考點】二項式定理的應(yīng)用．【分析】把（﹣）5按照二項式定理展開，可得（+3）（﹣）5的展開式中的常數(shù)項．【解答】解：（+3）（﹣）5=（+3）（﹣?2x+?4﹣?8x﹣2+?16﹣?32x﹣5），故展開式中的常數(shù)項為?4=40，故答案為：40．15.數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*，則a1=

，an=

．參考答案：12,考點：數(shù)列遞推式．專題：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：條件可與a1+a2+…+an=Sn類比．在a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*①中，令n=1，可解出a1=12，由已知，可得當(dāng)n≥2時，a1+a2+…+an﹣1=3（n﹣1）+1，②，①﹣②得，an=3，an=3n+1，解答： 解：在a1+a2+…+an=3n+1，n∈N*①中，令n=1，得a1=4，a1=12，由已知，可得當(dāng)n≥2時，a1+a2+…+an﹣1=3（n﹣1）+1，②，①﹣②得，an=3，an=3n+1，所以an=故答案為：12，點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列通項求解，考查邏輯推理．計算能力．16.若函數(shù)，則的最小正周期為

；

．參考答案：

；

17.在數(shù)1和2之間插入n個正數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記為，令．

(1)數(shù)列的通項公式為=____________；

(2)=___________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=mcosθ（m＞0），過點P（﹣2，﹣4）且傾斜角為的直線l與曲線C相交于A，B兩點．（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若|AP|?|BP|=|BA|2，求m的值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．過點P（﹣2，﹣4）且傾斜角為的直線l參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）．相減消去參數(shù)化為普通方程．（2）把直線l的方程代入曲線C的方程為：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．由于|AP|?|BP|=|BA|2，可得|t1?t2|=，化為：5t1?t2=，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【解答】解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），可得直角坐標(biāo)方程：y2=mx（m＞0）．過點P（﹣2，﹣4）且傾斜角為的直線l參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）．消去參數(shù)化為普通方程：y=x﹣2．（2）把直線l的方程代入曲線C的方程為：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．則t1+t2=（m+8），t1?t2=4（m+8）．∵|AP|?|BP|=|BA|2，∴|t1?t2|=，化為：5t1?t2=，∴20（m+8）=2（m+8）2，m＞0，解得m=2．19.如圖所示，在多面體ABCDEF中，CB⊥平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，是一個正三角形，且.（1）求證：；（2）若三棱錐的體積為2，求點A到平面CDF的距離．參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）通過證明和可得平面，從而可證得；（2）設(shè)，由，解得，設(shè)點A到平面CDF的距離為，由即可求解.【詳解】（1）∵平面，平面，∴，∵是一個正三角形，，∴，∵，∴平面，∵平面，∴．（2）∵平面，四邊形是正方形，是一個正三角形，，且．三棱錐體積為2，設(shè)，則，，∴，解得，取中點M，連接NF，取CD中點M，則，又，所以面，.易知，，設(shè)點A到平面CDF的距離為．，解得.【點睛】本題主要考查了線面的垂直關(guān)系的證明及性質(zhì)，考查了點面距的求解，涉及等體積轉(zhuǎn)化的運算求解，屬于中檔題.20.已知函數(shù)（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）求時函數(shù)f（x）的最大值和最小值．參考答案：【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）化簡得f（x）=sin（2x﹣）+．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)x的范圍求出2x﹣的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求出最值．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+?=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+．∴f（x）的最小正周期是T=π．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵，∴2x﹣∈[0，]，∴當(dāng)2x﹣=0時，f（x）取得最小值，當(dāng)2x﹣=時，f（x）取得最大值+1．21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，M為橢圓上任意一點且△MF1F2的周長等于6．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）以M為圓心，MF1為半徑作圓M，當(dāng)圓M與直線l：x=4有公共點時，求△MF1F2面積的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）根據(jù)△MF1F2的周長等于6，再由離心率為可求出a的值，進(jìn)而得到b的值，寫出橢圓方程．（2）先設(shè)M的坐標(biāo)為（x0，y0）根據(jù)題意滿足橢圓方程，利用圓M與l有公共點可得到M到l的距離4﹣x0小于或等于圓的半徑R，整理可得到關(guān)系y02+10x0﹣15≥0，再由即可消去y0，求出x0的取值范圍，再表示出△MF1F2面積即可求出最大值．【解答】解：（1）因為橢圓的離心率為，M為橢圓上任意一點且△MF1F2的周長等于6．所以c=1，a=2．所以b2=3．所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x0，y0），則．由于直線l的方程為x=4，圓M與l有公共點，所以M到l的距離4﹣x0小于或等于圓的半徑R．因為R2=MF12=（x0+1）2+y02，所以（4﹣x0）2≤（x0+1）2+y02，即y02+10x0﹣15≥0．又因為，所以3﹣+10x0﹣15≥0．解得．又﹣2＜x0＜2，則，所以0＜|y0|≤因為△MF1F2面積為|y0||F1F2|=|y0|，所以當(dāng)|y0|=時，△MF1F2面積有最大值．【點評】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的綜合題．直線和圓錐曲線的綜合題是高考的重點，每年必考，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，要想答對此題必須熟練掌握其基礎(chǔ)知識，對各種題型多加練習(xí)．22.（本小題滿分12分）對于定義域為上的函數(shù)，如果同時滿足下列三條：①對任意的，總有≥；②；③若≥，≥，≤，都有≥成立，則稱函數(shù)為理想函數(shù)．(1)若函數(shù)為理想函數(shù)，求的值；(2)判斷函數(shù)（）是否為理想函數(shù)，并給出證明；(3)若函數(shù)為理想函數(shù)，