容器設(shè)計的數(shù)學(xué)建模計算【摘要】本題目屬于在一定條件下求最優(yōu)解的問題。具體到題目是求不同形狀的容器在容積一定容器表面積最小的情況下，求容器的各項參數(shù)（圓錐臺的高h，上下底面半徑r,R,L；圓柱高H）之間的比值，并將解的精確度進行優(yōu)化的問題。求解的大體步驟為先建立簡化模型，以便于計算且使結(jié)論具有一定普遍性。使用Autocad2007繪圖軟件繪制圖形。建立容器各項參數(shù)與表面積、體積的正確的的函數(shù)關(guān)系式，并使容器表面積達到最小，求出此時各項參數(shù)間的比值。解答過程中，因出現(xiàn)較為復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式，我們將借助數(shù)學(xué)軟件LINGO9.0進行編程計算，調(diào)整輸出數(shù)據(jù)的精確度的有效位數(shù)，得到最優(yōu)解?！娟P(guān)鍵詞】優(yōu)化最小值比值理想模型1、問題重述容器的設(shè)計問題：（1）.要設(shè)計一個無蓋的圓錐臺形狀的容器，上半徑為R，下半徑為r<R，高為h。求容積在一個正常數(shù)的條件下，使該容器的表面積達到最小時的兩個比值r/R,h/R的精確值（用整數(shù)的有限次四則運算及根式運算的最簡形式表示）及它們精確到20位有效數(shù)字的近似值。（2）.要設(shè)計一個無蓋的容器，是一個半徑為R，高為H的圓柱面放在一個圓錐臺上組成的。圓錐臺的半徑為R，下半徑為r<R,高為h.求容積在一個正常數(shù)的條件下，使該容器的表面積達到最小時的三個比值r/R,h/R,H/R的精確值（意義同（1））及它們精確到20位有效數(shù)字的近似值。（3）.要設(shè)計一個無上蓋的容器，是一個高為H，上半徑為L，下半徑為R<L的圓錐臺放在高為h，上半徑為R，下半徑為r<R的圓錐臺組成的。求容積為一整常數(shù)的條件下，使該容器的表面積達到最小時的四個比值h/L,H/L,r/L,R/L的精確到20位有效數(shù)字的值。2、模型假設(shè)及符號說明這雖然是一道有關(guān)容器設(shè)計的實際應(yīng)用問題，而在實際生產(chǎn)實踐中，容器是具有一定的厚度的，而因種類、工藝、功能等原因，不同的容器對厚度的要求也不盡相同，例如從原始的陶器到現(xiàn)代的不銹鋼容器，從生活中的碗到工業(yè)煉鐵的高爐，它們的厚度都不盡相同，甚至同一容器在不同部位的厚度也有所差異（如啤酒瓶的側(cè)壁薄而底厚）。在建模計算的過程中，若將容器厚度加以考慮則會使計算難度增加，且使結(jié)果不具有一般性。因此在此我們將對模型進行假設(shè)優(yōu)化，忽略容器的厚度，即容器的體積就是其容積。r：問題1）2）3）中容器下底面圓的半徑；R：問題2）中圓柱的底面圓半徑以及問題1）中容器的上地面園的半徑和問題3）中下圓錐臺的上底面圓半徑；L:問題3）中上圓錐臺的上底面圓半徑；h:問題1）2）中圓錐臺的高度以及問題3）中下圓錐臺的高度；H：問題3）中上圓錐臺的高度。3、模型的建立與求解空間體積與面積的線度比可以概括為A^3：A^2(A>0).根據(jù)對稱性原理，可以猜想當(dāng)定容時，無論容器的大小，最優(yōu)解時的形狀是相似的，而尺寸比例是相同的。故而:當(dāng)體積V為定值，不妨設(shè)V=360000。3.1模型一：容器主體為正圓臺模型當(dāng)容器為一個正圓臺時（如右圖），假設(shè)正圓臺部分上半徑為為R，下半徑為r，R〉r，高為h，容積為v。根據(jù)假設(shè)1可知，制作容器的表面積最小作為最優(yōu)設(shè)計。容器的正圓臺部分側(cè)面積：容器底部面積：所以，容器表面積：則使容器表面積最小，得：利用LINGO9.0計算得出:=0.54858381654520368112048360043044=0.892313578454584607048502590053863.2模型二：容器主體為正圓柱體，下面部分為正圓臺模型當(dāng)容器的上面部分是正圓柱體，下面部分是一個正圓臺時（如右圖），假設(shè)正圓柱體部分半徑為，高為H，；正圓臺部分上半徑為R，下半徑為r，正圓臺高為h。根據(jù)假設(shè)2可知，制作容器的表面積最小作為最優(yōu)設(shè)計。R容器正圓臺部分表面積：容器正圓柱部分表面積：所以，容器表面積為：使容器表面積最小：RowSlackorSurplusDualPrice10.000000-0.3655368E-