導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2024年高考數(shù)專項(xiàng)復(fù)習(xí)第4講導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜合知識(shí)要點(diǎn)復(fù)習(xí)回顧求曲線的切線研究函數(shù)的單調(diào)性單增單減研究函數(shù)的極值與最值與端點(diǎn)函數(shù)值研究函數(shù)圖像的大致形狀典型例題分析例1函數(shù)的圖象大致是解析：例2設(shè)函數(shù)，則A在區(qū)間內(nèi)均有零點(diǎn)B在區(qū)間內(nèi)均無零點(diǎn)C在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)D在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)解析：思考：研究函數(shù)的單調(diào)性.例3已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)k=2時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間.解析：例4設(shè)，，（1）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（2）求證:當(dāng)時(shí)恒有解析：第3講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（二）知識(shí)要點(diǎn)一、函數(shù)的極值定義：一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有定義，如果對(duì)于附近的所有點(diǎn)，都有：，稱為函數(shù)的一個(gè)極大值，記作，稱為的一個(gè)極大值點(diǎn)；如果對(duì)于附近的所有點(diǎn)，都有：，稱為函數(shù)的一個(gè)極小值，記作，稱為的一個(gè)極小值點(diǎn)。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。注意：（1）區(qū)間端點(diǎn)不是極值點(diǎn)。（2）極值是一個(gè)局部概念，可以有多個(gè)極大（小）值，函數(shù)的極小值不一定比極大值小，函數(shù)也不一定有極值。（3）一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，稱為駐點(diǎn)。不要將極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)混為一談，（導(dǎo)數(shù)為零）駐點(diǎn)是對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言的，而極值點(diǎn)對(duì)不可導(dǎo)函數(shù)、甚至對(duì)不連續(xù)函數(shù)也是有意義的，只有可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)才是駐點(diǎn)。利用導(dǎo)數(shù)求極值的步驟：（1）求定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解方程；（4）列表：看在每個(gè)根附近導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化：若由正變負(fù)，則該點(diǎn)為極大值點(diǎn)；若由負(fù)變正，則該點(diǎn)為極小值點(diǎn)。注意：無定義的點(diǎn)不用在表中列出（5）依表給結(jié)論：二、函數(shù)的最大值最小值1、最值定理:閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)（連續(xù)不間斷曲線）一定有最值。2、求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上最值的一般步驟：（1）求出f(x)在(a,b)內(nèi)的全部極值點(diǎn)（至多有限個(gè)點(diǎn)）；（2）計(jì)算出函數(shù)值f(x1),f(x2),…f(xn)，以及f(a)與f(b)；（3）比較上述值的大小，最大者即為最大值，最小者即為最小值。典型例題分析例1討論函數(shù)（）的單調(diào)性并求極值．解法:例2.求函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值。解法:例3函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)分析與解：例4已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：．解析：定積分的概念問題一、曲邊梯形的面積問題二、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程已知做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體速度與時(shí)間之間的關(guān)系為那么從t=0到t=1時(shí)間內(nèi)，該物體經(jīng)過的路程是多少？解:1.分割2.近似代替3.求和4.取極限問題三、變力做功彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長所作的功.一、定積分的概念設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間[a,b]上，用分點(diǎn)把區(qū)間[a,b]分為n個(gè)小區(qū)間，其長度依次為.記為這些小區(qū)間長度的最大值，當(dāng)趨近于0時(shí)，所有區(qū)間的長度都趨近于0.在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，作和式，當(dāng)時(shí)，如果和式的極限存在，把和式的極限叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作.即.定積分的相關(guān)名稱：ò———叫做積分號(hào)，f(x)——叫做被積函數(shù)，f(x)dx—叫做被積表達(dá)式，x———叫做積分變量，a———叫做積分下限，b———叫做積分上限，[a,b]—叫做積分區(qū)間。說明：（1）（2）（3）二、定積分的幾何意義（1）當(dāng)時(shí)（2）當(dāng)時(shí)三、定積分的基本性質(zhì)1.；（其中為常數(shù)）2.3.，（其中）例.已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),并沿同一路線（假定為直線）行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為和（如圖所示）．那么對(duì)于圖中給定的和，下列判斷中一定正確的是（）A.在時(shí)刻，甲車在乙車前面B.時(shí)刻后，甲車在乙車后面C.在時(shí)刻，兩車的位置相同D.時(shí)刻后，乙車在甲車前面微積分基本定理一、回顧定積分的背景的的幾何背景的物理背景二、牛頓---萊布尼茲公式定理（微積分基本定理）例1.計(jì)算下列定積分（1）（2）解析：練習(xí)：（1）（2）（3）（4）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式積分公式表定積分的基本性質(zhì)例2.計(jì)算下列定積分（1）（2）（3）（4）（5）解析：例3.計(jì)算，其中解析：例4.計(jì)算（1）（2）解析：例5.證明：.解析：定積分的簡單應(yīng)用一、回顧1.定積分的的定義2.定積分的的背景的幾何背景的物理背景3.微積分基本定理二、定積分的應(yīng)用1.在幾何中的應(yīng)用求曲線與所圍成圖形的面積.求由曲線圍成的平面圖形面積的步驟：畫草圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積確定被積函數(shù)及積分區(qū)間計(jì)算定積分，求出面積幾種典型的平面圖形面積的計(jì)算：類型1：類型2：例2.計(jì)算由曲線，直線以及軸圍成圖形的面積.解：另解１：另解２：２.在物理中的應(yīng)用例３.一輛汽車在１分鐘內(nèi)的速度－時(shí)間曲線如圖所示，那么汽車在這１分鐘內(nèi)走的路程是多少？例4.