追本求源本質(zhì)切入——由《植樹問題》引發(fā)的思考《植樹問題》是人教版四年級下冊數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容，已經(jīng)有許多成功的案例，前幾天為了準(zhǔn)備一節(jié)研討課，我選擇了這一課例。因此，我一直在思考這一節(jié)課到底該怎么上。收集了一些資料，總結(jié)出了下面的幾種上法：1、一節(jié)課只研究三種情況中的一種。這種設(shè)計可以使學(xué)生在一節(jié)課內(nèi)很好的解決所講類型的問題。但總覺得有些單薄，有種“只見樹木不見森林”的感覺。2、三種情況都研究，用不同的數(shù)據(jù)不斷的嘗試，總結(jié)出各種情況下棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，然后加以應(yīng)用。3、滲透“一一對應(yīng)”的思想，用這種思想歸納出其中的規(guī)律。4、把三種情況進(jìn)行歸一，即兩種物體間隔排列，存在兩種情況“同種物體既開始又結(jié)束，數(shù)量多，開始和結(jié)束的物體不同，數(shù)量相同?！睅追N教法各有千秋，于是我就在思考：1、《植樹問題》的本質(zhì)是什么？2、《植樹問題》要體現(xiàn)或者要滲透怎么樣的數(shù)學(xué)思想？3、《植樹問題》中的規(guī)律要不要總結(jié)？4、一些我們很推崇的生活原型真的那么有用嗎？比如“一刀兩斷”“五指四空”。其實，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。”所謂基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理?！睌?shù)學(xué)思想與方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分，在教學(xué)中的有意滲透能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，所學(xué)知識就會“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義”，也就是能夠使新知識較順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。因此，教師要在比較寬的視野下看待數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅考慮顯性的知識，更要充分挖掘教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想、方法的滲透，用數(shù)學(xué)思想、方法來指導(dǎo)和帶動具體知識內(nèi)容的教學(xué)，從而讓學(xué)生掌握具有思想方法做靈魂的知識。日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏說：即使學(xué)生把所有教給的知識全忘了，銘刻在他心中的數(shù)學(xué)精神、思想、方法卻能使他終身受益。目前，國際流行的“問題解決”、“數(shù)學(xué)建?！钡榷俭w現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想、方法在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題中的重要作用。我們正在開展的研究性學(xué)習(xí)方式也要求學(xué)生把數(shù)學(xué)思想、方法運(yùn)用到解決問題中并獲得新知。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中滲透數(shù)學(xué)思想、方法不僅具有提高教學(xué)效果的近期功效，而且具有優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，進(jìn)而全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的遠(yuǎn)期功效。所謂數(shù)學(xué)思想是指對數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)的認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。而數(shù)學(xué)方法則是解決數(shù)學(xué)問題的方法。即解決數(shù)學(xué)具體問題時所采用的方式、途徑和手段，也可說是解決數(shù)學(xué)問題的策略和手段。就“植樹問題”這一經(jīng)典課題而言，諸多任課教師往往特別重視關(guān)于“植樹問題”的三種不同類型的區(qū)分，即所謂的“兩端都種”“一端種一端不種”與“兩端都不種”，并要求學(xué)生牢牢地記住相應(yīng)的計算法則（“加一”“不加不減”“減一”），從而能在面對新的類似問題時不假思索地直接加以應(yīng)用。但是，實際教學(xué)效果卻并不如人意，“有些學(xué)生雖然會解決這一問題，但這些學(xué)生尚不能把植樹問題的解決方法與生活中相似的現(xiàn)象進(jìn)行知識鏈接，這就導(dǎo)致了能找到規(guī)律但不會熟練運(yùn)用規(guī)律……”，反映出學(xué)生只是在“機(jī)械應(yīng)用”，思維的靈活性卻明顯不夠。如何破解這一難題呢？近日，有幸讀到鄭毓信教授《“植樹問題”教學(xué)之我見》一文，深受啟發(fā)，對“植樹問題”的教學(xué)也有了更深層次的思考。事實上，“植樹問題”的本質(zhì)就是對應(yīng)問題，只要明確了“間隔”與“樹”這兩者之間的對應(yīng)關(guān)系，突出“一一對應(yīng)”的思想，再以此為基礎(chǔ)并通過適當(dāng)變化就可以應(yīng)對各種變化了的情況。因此，在此真正重要的應(yīng)是“一一對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)該用對應(yīng)思想統(tǒng)領(lǐng)課堂。從而，在此真正需要的也就并非“規(guī)律的應(yīng)用”，而是思維的靈活性，即如何能夠依據(jù)基本模式并通過適當(dāng)變化以適應(yīng)變化了的情況。對于“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”這樣三種情況的區(qū)分則不必過于強(qiáng)調(diào)，更不必將相應(yīng)的計算法則看成是重要的規(guī)律乃至要求學(xué)生牢牢地去記住并能不假思索地加以應(yīng)用。另外，無論是“植樹問題”，還是“路燈問題”、“排隊問題”、“爬樓問題”，或是“鋸木問題”、“敲鐘問題”等等，都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即可以被歸結(jié)為同一個數(shù)學(xué)模式，可以統(tǒng)稱為“分隔問題”（鄭毓信語）。因此，盡管“植樹問題”可以被看成提供了一個很好的“現(xiàn)實原型”，但在教學(xué)中我們還需要超出這一特定情境，設(shè)法幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識到所有這些具體問題事實上都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生建構(gòu)普遍的數(shù)學(xué)模式，以提升學(xué)生的思維水平。下面就本節(jié)課的重要環(huán)節(jié)進(jìn)行簡要說明。先分別出示兩個問題：1、學(xué)校操場邊有8棵樹排成一行，為了美化校園環(huán)境，同學(xué)們又在每棵樹旁都擺一盆花，一共擺了多少盆花？2、假如有1000棵樹排成一行，每相鄰兩棵樹之間擺一盆花，開頭不放花，而末尾放花，一共要放多少花呢？在上述片段中，精心設(shè)計了“在每棵樹旁都擺一盆花”的情境，從8棵樹到1000棵樹，由少到多，由想到畫，從直觀圖示中能直接看到間隔個數(shù)與棵數(shù)必須按“一一對應(yīng)”的方法，不只是量的增多，更是質(zhì)的提高。不知不覺中，學(xué)生從中體會到了“一一對應(yīng)”思想的妙處，不管花盆數(shù)和樹的棵數(shù)是多還是少，棵數(shù)與花盆數(shù)的個數(shù)始終相等。接下來又出示：3、假如有1000棵樹排成一行，每相鄰兩棵樹之間擺一盆花，頭和尾都不放花，一共擺多少盆花呢？4、假如有1000棵樹排成一行，每相鄰兩棵樹之間放一盆花，頭和尾都放花，一共可以放多少盆花呢？圍繞“樹的棵數(shù)”和“花盆數(shù)”之間的關(guān)系，不斷地進(jìn)行變式練習(xí)，但萬變不離其宗——“一一對應(yīng)”思想。學(xué)生依據(jù)表象，靈活地運(yùn)用這一思想方法，在不斷的運(yùn)用中，“一一對應(yīng)”這一思想方法逐步深入人心，最終將內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。接著出示：生活中還有什么事情跟擺花盆這樣的問題類似，可以用“一一對應(yīng)”的方法來解決？幾乎每個學(xué)生在生活中都遇到過間隔現(xiàn)象，但是大多數(shù)學(xué)生都沒有研究過間隔現(xiàn)象。讓學(xué)生帶著剛剛明確的“對應(yīng)思想”重返生活，有意識地關(guān)注過去沒有注意的現(xiàn)象，經(jīng)歷從諸多實際問題中抽取出植樹問題模型的過程，使學(xué)生清楚地認(rèn)識到所有這些具體問題事實上都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即可以被歸結(jié)為同一個數(shù)學(xué)模式，鞏固、深化對“對應(yīng)思想”的理性認(rèn)識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。最后的練習(xí)：1、園林隊沿500米長的公路一側(cè)植樹（兩端都不種），每隔10米種一棵，一共種了多少棵？2、學(xué)校走廊的一側(cè)每隔2米放一盆花（兩頭都放），共放了18盆花，這條走廊長多少米？對應(yīng)思想在實際生活中應(yīng)用比較廣泛，讓學(xué)生理解并運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想方法解決一些簡單的實際問題，不僅有利于提高他們用數(shù)學(xué)解決問題的能力，同時也可使他們感受數(shù)學(xué)思想方法的奇妙與作用，受到數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，逐步形成有序地、嚴(yán)密地思考問題的意識。同時，在教學(xué)中明確提出“分隔問題”這樣一個概念，并清楚地總結(jié)出相關(guān)的計算法則“路的長度÷間隔長度＝間隔數(shù)”，再利用適當(dāng)?shù)膱D形以幫助學(xué)生很好地建構(gòu)起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模式，包括通過正、反兩個方面的練習(xí)幫助學(xué)生更好地去掌握這一模式，有利于學(xué)生思維能力的發(fā)展。本節(jié)課給我的思考很多，怎么把數(shù)學(xué)思想應(yīng)用到教學(xué)中，怎么抓住