第15章

軸對(duì)稱圖形與等腰三角形第2節(jié)線段的垂直平分線課堂講解課時(shí)流程12線段垂直平分線的畫法線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)1知識(shí)點(diǎn)線段垂直平分線的畫法知1－講怎樣作出線段的垂直平分線?問

題知1－講通過折紙可以作出線段的垂直平分線.在半透明紙上畫一條線段AA'，折紙，使A與A'重合，得到的折痕l是線段AA'的垂直平分線（如圖).步驟1步驟2步驟3知1－講也可以用刻度尺量出線段的中點(diǎn)，再用三角尺過中點(diǎn)畫垂線的方法作出線段的垂直平分線.

知1－講下面介紹用尺規(guī)作圖，作出線段AB的垂直平分線.作法：1.分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于交于點(diǎn)E，F(xiàn).2.過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線.則直線EF就是線段AB的垂直平分線（如圖).2知識(shí)點(diǎn)線段垂直平分線的性質(zhì)知2－講思考

為什么這樣作出的直線EF，就是線段AB的垂直平分線呢？設(shè)所作直線EF交AB于點(diǎn)O，你能給出證明嗎？知2－講線段的垂直平分線的性質(zhì)：1.定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；

條件：點(diǎn)在線段的垂直平分線上；結(jié)論：這個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離相等．表達(dá)方式：如圖，l⊥AB，AO＝BO，點(diǎn)P在l上，則AP＝BP.2.作用：可用來證明兩線段相等．（來自《點(diǎn)撥》）知2－講（來自《點(diǎn)撥》）例1(山東臨沂)如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是(

)A．AB＝AD

B．CA平分∠BCDC．AB＝BD

D．△BEC≌△DECC知2－講導(dǎo)引：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB與AD的關(guān)系，結(jié)合三角形全等對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一驗(yàn)證．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝DC，又∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BCA＝∠DCA.又∵BC＝DC，CE＝CE，∴△BEC≌△DEC，∴選項(xiàng)A，B，D成立．知2－講（來自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)平面幾何圖形問題的解決方法：分析圖形，結(jié)合已知條件對(duì)基本圖形的形狀進(jìn)行判定是常用的方法，然后再根據(jù)具體圖形的性質(zhì)作出判斷即可．

知2－講例2如圖，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分線DE交AB，AC于點(diǎn)E，D，(1)若△BCD的周長(zhǎng)為8，求BC的長(zhǎng)；(2)若BC＝4，求△BCD的周長(zhǎng)．知2－講導(dǎo)引：由DE是AB的垂直平分線，得AD＝BD，所以BD與CD的長(zhǎng)度和等于AC的長(zhǎng)，所以由△BCD的周長(zhǎng)可求BC的長(zhǎng)，同樣由BC的長(zhǎng)也可求△BCD的周長(zhǎng)．知2－講解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周長(zhǎng)為8，∴BC＝△BCD的周長(zhǎng)－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周長(zhǎng)＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.（來自《點(diǎn)撥》）知2－講（來自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，用線段垂直平分線的性質(zhì)把BD的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成AD的長(zhǎng)，從而把未知的BD與CD的長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)化成已知的線段AC的長(zhǎng)．本題中AC的長(zhǎng)、BC的長(zhǎng)及△BCD的周長(zhǎng)三者可互相轉(zhuǎn)化，知其二可求第三者．

知2－講（來自《點(diǎn)撥》）例3如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，線段AC的垂直平分線MN與AB交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，則∠BCD的度數(shù)是________．10°知2－講導(dǎo)引：在△ABC中，∵∠B＝90°，∠A＝40°，∴∠ACB＝50°.∵M(jìn)N是線段AC的垂直平分線，∴DC＝DA，AE＝CE.又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE(SSS)，∴∠DCE＝∠A＝40°.∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.知2－講總

結(jié)利用線段的垂直平分線的性質(zhì)和定義得出邊相等，從而得出三角形全等，再利用全等三角形中對(duì)應(yīng)角相等確定∠DCA的度數(shù)，根據(jù)角度差解決問題．（來自《點(diǎn)撥》）知2－練（來自《典中點(diǎn)》）1(中考·義烏)如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，已知線段PA＝5，則線段PB的長(zhǎng)度為(

)A．6B．5C．4D．3B知2－練(中考·臨沂)如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是(

)A．AB＝AD

B．CA平分∠BCD

C．AB＝BD

D．△BEC≌△DEC2（來自《典中點(diǎn)》）C知2－練3(中考·遂寧)如圖，在△ABC中，AC＝4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，若△BCN的周長(zhǎng)是7cm，則BC的長(zhǎng)為(

)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm（來自《典中點(diǎn)》）C知2－練(中考·荊州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交邊AB于D點(diǎn)，交邊AC于E點(diǎn)，若△ABC與△EBC的周長(zhǎng)分別是40cm，24cm，則AB＝________．4（來自《典中點(diǎn)》）16cm3知識(shí)點(diǎn)線段垂直平分線的判定知3－講思考你能寫出上面定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？如果是真命題，請(qǐng)給出證明.知3－講線段的垂直平分線的判定：1．定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．(1)條件：點(diǎn)到線段兩端距離相等；結(jié)論：點(diǎn)在線段垂直平分線上．(2)表達(dá)方式：如圖，∵PA＝PB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．知3－講(3)作用：①作線段的垂直平分線的依據(jù)；②可用來證線段垂直、相等．2．拓展：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這個(gè)點(diǎn)叫這個(gè)三角形的外心．（來自《點(diǎn)撥》）知3－講例4如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求證：直線AD是CE的垂直平分線．導(dǎo)引：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD＝∠CAD，結(jié)合已知條件可證△ADE≌△ADC，所以DE＝DC，AE＝AC，所以點(diǎn)D、A都在CE的垂直平分線上，從而就能證明結(jié)論．知3－講證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠AED＝∠ACB＝90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，∴CD＝DE，AC＝AE，∴點(diǎn)D、A都在CE的垂直平分線上，∴直線AD是CE的垂直平分線．（來自《點(diǎn)撥》）知3－講總

結(jié)利用判定定理證一條直線是線段的垂直平分線，必須證明這條直線上有兩點(diǎn)到線段兩端的距離相等(即證有兩點(diǎn)在線段的垂直平分線上)．易錯(cuò)之處：只證明一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，就說過該點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線．因?yàn)檫^該點(diǎn)的直線有無窮多條，其中只有一條是線段的垂直平分線．注意：證線段的垂直平分線也可以利用定義．

知3－講例5已知：如圖，△ABC的邊AB,AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P在BC的垂直平分線上.（來自教材）知3－講證明：連接PA，PB，PC.∵點(diǎn)P在AB,AC的垂直平分線上,（已知）∴PA=PB,PA=PC.(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）∴PB=PC.(等量代換）∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上.（到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）知3－講例6如圖，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一點(diǎn)，求證：(1)BE＝DE；(2)∠ABE＝∠ADE.知3－講導(dǎo)引：(1)連接BD，要證BE＝DE，只要證明E點(diǎn)是線段BD的垂直平分線上的點(diǎn)即可．由AB＝AD，說明A點(diǎn)是線段BD的垂直平分線上的點(diǎn)，由BC＝DC，說明C點(diǎn)也是線段BD的垂直平分線上的點(diǎn)，所以AC是線段BD的垂直平分線，而已知E是AC上一點(diǎn)，問題得以解決．(2)要證明角相等，只需證明△ABE≌△ADE即可．知3－講證明：(1)連接BD，如圖，∵AB＝AD，BC＝CD，∴A，C兩點(diǎn)均在線段BD的垂直平分線上．∴AC是線段BD的垂直平分線．又∵E是AC上一點(diǎn)，∴BE＝DE.

知3－講證明：(2)在△ABE和△ADE中，∵AB＝AD，BE＝DE，AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SSS)，∴∠ABE＝∠ADE.（來自《點(diǎn)撥》）知3－講總

結(jié)（來自《點(diǎn)撥》）由線段的垂直平分線的判定定理確定AC是線段BD的垂直平分線，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得BE＝DE，這是線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用．

知3－講例7如圖，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A，B，C之間修建一個(gè)購物中心，試問：該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等？知3－講導(dǎo)引：本題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是要找一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．首先考慮到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)應(yīng)該在線段AB的垂直平分線上，到B，C兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)應(yīng)該在線段BC的垂直平分線上，兩條垂直平分線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．知3－講解：連接AB，BC，分別作AB，BC的垂直平分線DE，GF，兩直線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所要確定的購物中心的位置．如圖.

（來自《點(diǎn)撥》）知3－講總

結(jié)（來自《點(diǎn)撥》）解決作圖選點(diǎn)性問題：若要找到某兩個(gè)點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，一般在這兩點(diǎn)所連線段的垂直平分線上去找．

知3－練銳角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PA＝PB＝PC，則點(diǎn)P是△ABC(

)A．三條角平分線的交點(diǎn)B．三條中線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)1（來自《典中點(diǎn)》）D知3－練如圖，點(diǎn)D在三角形ABC的BC邊上