解析幾何

1.直線的傾斜角

（1）定義：當(dāng)直線/與X軸相交時(shí)，取X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線/向上方向之間所成的

角叫做直線/的傾斜角.當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為0。.

（2）范圍：直線/傾斜角的范圍是［0,兀）.

2.斜率公式

（1）若直線/的傾斜角aW90。，則斜率k=tana.

（2）P］（x“％）,P,（X2,竺）在直線/上，且巾金乃，則/的斜率々=及三上

X2-X\

3.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

）

點(diǎn)斜式y(tǒng)—Xo不含直線x=x0

斜截式不含垂直于X軸的直線

y—yi_x—xi不含直線x=x\（由w、2）和直線y=y

兩點(diǎn)式

y2-y\x2—x1（）儼”）

截距式4+{=]不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線

ab

Ar+B>+C=0

一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

（儲(chǔ)+FLO）

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.（V）

（2）坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率.（X）

⑶直線的傾斜角越大，其斜率就越大.（X）

⑷直線的斜率為tana,則其傾斜角為a.（X）

（5）斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.（X）

（6）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)4（0,6）的直線都可以用方程y=fcv+b表示.（X）

（7）不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用2+方=1表示.（X）

⑻經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)尸1（片,〉1）,「2（必，”）的直線都可以用方程丁1）（必一為）=。一即）02

一yi）表示.（V）

1.圓的定義

在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓.

2.確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑.

3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(x—a)2+(y—如2=,(->0),其中(“，為圓心,二為半徑.

4.圓的一般方程

/+/+"+￡>+尸=0表示圓的充要條件是迂土史二絲泗，其中圓心為(一夕一D，半徑

一。2+君2-4產(chǎn)

「=2

5.確定圓的方程的方法和步驟

確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為

(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；

(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或。、E、尸的方程組；

(3)解出〃、氏r或。、E、尸代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.

6.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(X—“尸+。一加2=/，點(diǎn)M(xo，y0)

(1)點(diǎn)在圓上：恤—")2+(口一。)2=J;

(2)點(diǎn)在圓外：(電一af+C-Q—力2>,；

(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：。一”)2+(即一

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(V)

(2)已知點(diǎn)A(x”yi),8(x2,72)>則以AB為直徑的圓的方程是(x—xD(x—通)+。-yi)(y—竺)

—0(J)

(3)方程Ax+B^+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是A=CW0,B=0,D2+E^-

4AF>0.(V)

(4)方程f+2ax+)?=0一定表示圓.(X)

(5)圓f+2x+y2+y=0的圓心是(1,；)(X)

⑹若點(diǎn)M(xo,泗)在圓/+/+以+或+/=。外，則/+/+①0+均，0+/>0.(4)

I.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法

(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑〃的大小關(guān)系.

火廣。相交；d=/0相切；相離.

>00相交;

(2)代數(shù)法：，第=0?ilW;

A=b—4ac

<00相離.

2.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓。1：（X—4|）2+（y—仇）2=片（廠|>0）,

圓。2：（X—。2—+（7-岳產(chǎn)=3（『2>0）.

方法代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組

幾何法：圓心距d與/?”萬(wàn)的關(guān)系

位置關(guān)成方程組的解的情況

外離力無(wú)解

外切d=.+.一組實(shí)數(shù)解

相交1———I<d<q+n兩組不同的實(shí)數(shù)解

內(nèi)切d=\r\—r^riW㈤一組實(shí)數(shù)解

內(nèi)含OWdvl——嗖為#r2)無(wú)解

【知識(shí)拓展】

1.圓的切線方程常用結(jié)論

⑴過(guò)圓f+y2=J上一點(diǎn)p（xo，澗）的圓的切線方程為X（>r+yoy=J.

（2）過(guò)圓（x—a）2+（y—6）2=/上一點(diǎn)P（xo,%）的圓的切線方程為（刈一4）（了一60+（比一/?）&—〃）

=/.

（3）過(guò)圓￥+尸=/外一點(diǎn)M（xo，兒）作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為小+如占尸

2.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論

（1）兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：

3條:⑤外離：4條.

（2）當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程（f,y?項(xiàng)系數(shù)相同）相減便可得公共弦所在直線的方程.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）'“=1”是“直線x—y+&=0與圓x?+y2=i相交”的必要不充分條件.（X）

（2）如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.（X）

（3）如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.（X）

（4）從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方

程.（*）

（5）過(guò)圓。：f+）?=/上一點(diǎn)2（回，兒）的圓的切線方程是鄧r+wy=M.（V）

（6）過(guò)圓0：f+y2=J外一點(diǎn)尸（沏，％）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則0,P,A,B

四點(diǎn)共圓且直線A8的方程是x（>x+yoy=/.（，）

1.橢圓的概念

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)尸”尸2的距離的和等于常數(shù)(大于|為巳|)的點(diǎn)的軌跡叫做血這兩個(gè)定

點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.

集合P={M||M尸il+|MBI=2a},尸iBI=2c,其中a＞0,cX),且a,c為常數(shù)：

(1)若亞，則集合P為橢圓；

(2)若口，則集合P為線段；

(3)若任，則集合P為空集.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

22

與+:=1

標(biāo)準(zhǔn)方程1+1=1ab

(a>b>0)(a>h>0)

y

A^O

圖形

—b&xWb

范圍

—bWyWb一aWyW。

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)

A](一〃,0),A2(tz,0)Ai(O,—a),4(0,a)

頂點(diǎn)

5(0,-/?),&(0,b)8](一40),B2s,0)

性

軸長(zhǎng)軸4A2的長(zhǎng)為額；短軸Bj&的長(zhǎng)為功

質(zhì)

焦距\F\F^=2c

離心率e='(。/)

a,b,c

?2+c2

的關(guān)系

【知識(shí)拓展】

點(diǎn)PQb,比)和橢圓的關(guān)系

22

⑴點(diǎn)尸(沏，先)在橢圓內(nèi)=我十微＜1.

22

(2)點(diǎn)P(xo，泗)在橢圓上=我+券=1

22

(3)點(diǎn)尸(xo,%)在橢圓外=我+患＞1.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)廠“B的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.（X）

（2）橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)Fi，&構(gòu)成的周長(zhǎng)為24+2c（其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng),

c為橢圓的半焦距）.（V）

（3）橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.（X）

（4）方程Wix2+〃y2=］（%）0,小表示的曲線是橢圓.（J）

（5方十方=1（”Wb）表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.（X）

2222

（6）3+*=1（a>fr>0）與^+5=1伍>6>0）的焦距相等.（V）

1.雙曲線定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)B，F(xiàn),的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于IQF,|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲

線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

集合P={MI|MF1L|M尸川=2。},|吊川=2。，其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.

⑴當(dāng)2〃<|乙碼時(shí),P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；

⑵當(dāng)2a=嗎F?|時(shí),P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；

⑶當(dāng)2°>|竹燈時(shí),P點(diǎn)不存在.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程/一5=1(〃>0,b>0)力一京=l(a>0,Z?0)

圖形

范圍或xW—my￡Rx￡R,yW—?；?gt;2。

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：儂,

頂點(diǎn)A|(-6F,0),42(〃,0)A|(0,—a),42(0,〃)

性a

漸近線y=±~x)=9

質(zhì)

離心率e=%ge(j,4-QO),其中c=q〃2+/

線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)肉&|=額；線段8由2叫做

實(shí)虛軸

雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|8|固=%；。叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b

叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)

。、b、c

c1=a2+b1(c>67>0,c>b>0)

的關(guān)系

【知識(shí)拓展】

巧設(shè)雙曲線方程

2222

⑴與雙曲線也一，=1(4>0,6>0)有共同漸近線的方程可表示為也一齊=，(/#0).

22

(2)過(guò)已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為5+)=1(.<0).

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

⑴平面內(nèi)到點(diǎn)F|(O,4),F2(0,—4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(X)

22

(2)方程今一?=1(?7">0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.(X)

2222

(3)雙曲線方程/一〃>0,4W0)的漸近線方程是%=0,即今書=0.(V)

(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于啦.(V)

(5)若雙曲線會(huì)一方=1伍>0,fr>0)與5一^i=l(a>0,b>0)的離心率分別是e1，e2,則,+留=

1(此結(jié)論中兩條雙曲線稱為共規(guī)雙曲線).(V)

1.拋物線的概念

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)尸和一條定直線/(/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)尸叫

做拋物線的焦點(diǎn),直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

y2=2px(p>0)y2=~2px(p>0)x2=2py(p>0)X2=-2py(p>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

p的幾何意義：焦點(diǎn)產(chǎn)到準(zhǔn)線/的距離

圖形

頂點(diǎn)0(0,0)n□

對(duì)稱軸y=0x=0

造,0){0,f)

焦點(diǎn)

離心率e=1

準(zhǔn)線方程x2x2y=~2y=2

范圍x，0,y￡RxWO,yWRy20,xSR

開口方向向右向左向上向下

【知識(shí)拓展】

1.拋物線尸=2px仍>0)上一點(diǎn)尸(沏，刈)到焦點(diǎn)眠，0)的距離陽(yáng)=必+多也稱為拋物線

的焦半徑.

2./=取的焦點(diǎn)坐標(biāo)為g,0),準(zhǔn)線方程為X=

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線/的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.(X)

(2)方程)，="2(“#0)表示的曲線是焦點(diǎn)在工軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(*0),準(zhǔn)線方

程是x=一￡.(X)

(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.(X)

2

(4)AB為拋物線)2=2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)啰，0)的弦，若A(x”yi),8(必經(jīng))，則'的=，，

>|>2=-〃2,弦長(zhǎng)|AB|=M+X2+P.(J)

(5)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那

么拋物線》2=—2.(“>0)的通徑長(zhǎng)為2a(V)

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量得到關(guān)于x(或y)的一元方程：a^+bx+c^

0(或ay2+by+c=0).

(1)若aWO,可考慮一元二次方程的判別式/,有

①/>0=直線與圓錐曲線相交；

②/=0。直線與圓錐曲線相切;

③/<0c直線與圓錐曲線相離.

(2)若。=0,b^Q,即得到一個(gè)一元一次方程，則直線/與圓錐曲線E相交，且只有一個(gè)交

點(diǎn)，

①若E為雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是壬立；

②若E為拋物線，則直線I與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行或重合.

2.圓錐曲線的弦長(zhǎng)

設(shè)斜率為％(kWO)的直線/與圓錐曲線C相交于4為，乃)，8(X2,")兩點(diǎn)，則依劇=，1不

--vi|=^l+^|>,2—^ll.

【知識(shí)拓展】

過(guò)一點(diǎn)的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

(1)過(guò)橢圓外一點(diǎn)總有兩條直線與橢圓相切；

過(guò)橢圓上一點(diǎn)有且只有一條直線與橢圓相切；

過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與橢圓相交.

(2)過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條與對(duì)稱軸

平行或重合的直線；

過(guò)拋物線上一點(diǎn)總有兩條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：一條切線和一條與對(duì)稱軸平行

或重合的直線；

過(guò)拋物線內(nèi)一點(diǎn)只有一條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：一條與對(duì)稱軸平行或重合的直

線.

(3)過(guò)雙曲線外不在漸近線上的一點(diǎn)總有四條直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)：兩條切線和

兩條與漸近線平行的直線；

過(guò)雙曲線上一點(diǎn)總有三條直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)：一條切線和兩條與漸近線平行的

直線；

過(guò)雙曲線內(nèi)一點(diǎn)總有兩條直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)：兩條與漸近線平行的直線.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)直線/與拋物線丁=2度只有一個(gè)公共點(diǎn)，則/與拋物線相切.(X)

(2)直線y=fcr(Z#O)與雙曲線y2=i一定相交.(x)

(3)與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn).(J)

(4)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)=直線與橢圓相切.(V)

2

(5)過(guò)點(diǎn)(2,4)的直線與橢圓r亍+尸=1只有一條切線.(X)

(6)滿足“直線y=?x+2與雙曲線丁=4只有一個(gè)公共點(diǎn)，，的。的值有4個(gè).(V)

數(shù)歹IJ

1.數(shù)列的定義

按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的見

2.數(shù)列的分類

分類原則類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

按項(xiàng)數(shù)分類

無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限

按項(xiàng)與項(xiàng)間遞增數(shù)列1------------%

其中

的大小關(guān)系遞減數(shù)列an+\_<^_an"GN*

分類常數(shù)列an+\=an

有界數(shù)列存在正數(shù)M,使EIWM

按其他標(biāo)準(zhǔn)

從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一

分類擺動(dòng)數(shù)列

項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

3.數(shù)列的表示法

數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

4.數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛&｝的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)

數(shù)列的通項(xiàng)公式.

(?=!)>

5.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和&，

(〃22).

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“X”)

(1)所有數(shù)列的第〃項(xiàng)都能使用公式表達(dá).(X)

(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).(V)

(3)1,1,1,1,…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.(X)

(4)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.(X)

(5)如果數(shù)列｛〃“｝的前"項(xiàng)和為S”，則對(duì)V〃WN*,都有斯+產(chǎn)S,,+LS“.(J)

(6)在數(shù)列｛斯｝中，對(duì)于任意正整數(shù)〃，1,若q=1,則。2=2.(V)

1.等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)

列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為由，公差為“，那么它的通項(xiàng)公式是葉="+(〃-l)d.

3.等差中項(xiàng)

如果4=皇，那么4叫做。與b的等差中項(xiàng).

4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：a?=a,?+(n—m)d(n,ZMCN").

(2)若｛斯｝為等差數(shù)列，Kk+l—m+n(k,I,m,?GN*),則4+”,=&；+&.

(3)若｛斯｝是等差數(shù)列，公差為d,則｛為“｝也是等差數(shù)列,公差為2d.

(4)若｛乩｝是等差數(shù)列，則｛pa“+qb“｝也是等差數(shù)列.

(5)若｛〃“｝是等差數(shù)列，公差為d,則a*,a*+m,4+2加，…(匕〃?eN)是公差為也義的等差數(shù)

列.

5.等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,其前n項(xiàng)和a=幽抖或5”=〃，“+也展).

6.等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系

&=舞+(，3~2)n-

數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列。，=4“2+即(4、B為常數(shù)).

7.等差數(shù)列的前”項(xiàng)和的最值

在等差數(shù)列｛斯｝中，ai>0,"<0,則&存在最值；若卬<0,冷0，則S”存在最—小—

值.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

⑴若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)

列.(X)

(2)數(shù)列｛狐｝為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意“GN”,都有2a“+i=a“+a“+2.(V)

(3)等差數(shù)列｛%｝的單調(diào)性是由公差”決定的.(V)

(4)數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為〃的一次函數(shù).(X)

(5)數(shù)列｛斯｝滿足斯+1一斯=〃，則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.(X)

(6)已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是a,,=p"+q(其中p,q為常數(shù))，則數(shù)列｛〃“｝一定是等差數(shù)

列.(V)

1.等比數(shù)列的定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列

叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母a表示3W0).

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

設(shè)等比數(shù)列｛”“｝的首項(xiàng)為勾，公比為則它的通項(xiàng)為=21s二.

3.等比中項(xiàng)

若b(“b#0),那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).

4.等比數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：斯=斯,?仁2(W，〃?GN*).

(2)若｛斯｝為等比數(shù)列，Kk+l=m+n｛k,I,m,"CN*),則純4丘馬20.

⑶若｛斯｝，也｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛斷｝(2#0),嘮，｛片｝，｛斯也｝，悔｝仍是等比

數(shù)列.

5.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

等比數(shù)列｛%｝的公比為40WO),其前n項(xiàng)和為S,,,

當(dāng)夕=1時(shí)，Sn=na\\

當(dāng)步1時(shí)，s,=華"=『.

r\-q\—q

6.等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

公比不為一1的等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為s”則s“s2n-s?,S3”一%仍成等比數(shù)列,其

公比為d'.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)滿足a.+i=W“(〃eN*,4為常數(shù))的數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列.(X)

(2)G為a,6的等比中項(xiàng)QG2=aA(X)

(3)如果數(shù)列｛〃“｝為等比數(shù)列，兒="2"-|+"2"，則數(shù)列｛乩｝也是等比數(shù)列.(X)

(4)如果數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，則數(shù)列｛In斯｝是等差數(shù)列.(X)

(5)數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式是a“=a",則其前〃項(xiàng)和為二:").(X)

(6)數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，則X，&-孔，&2-S8成等比數(shù)列.(X)

求數(shù)列的前”項(xiàng)和的方法

(1)公式法

①等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

5產(chǎn)葉卓”

②等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式

=

(i)當(dāng)q=1時(shí)，Snna\\

,??、山c?(]_，)a「c1q

(11)當(dāng)。去1時(shí)，S,、=]_；=LJn

(2)分組轉(zhuǎn)化法

把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.

(3)裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).

常見的裂項(xiàng)公式

「1_11

'%〃+1)=丁〃+1；

②(2〃一[)(2〃+])02〃-1-2〃+1)；

③5+/=kf?

(4)倒序相加法

把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.

(5)錯(cuò)位相減法

主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式

的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.

(6)并項(xiàng)求和法

一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如。,,=(一1)伏〃)類型，可

采用兩項(xiàng)合并求解.

例如，5?=1002-992+982-972H---F22-l2=(100+99)+(98+97)H-----1-(2+1)=5050.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)如果數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，且公比不等于1,則其前〃項(xiàng)和S"J)

?q

⑵當(dāng)“22時(shí),禺一*).(7)

(3)求S.=a+2“2+3/+…+/"之和時(shí)，只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以。即可根據(jù)錯(cuò)位相減

法求得.(X)

(4)數(shù)歹!!｛/+2〃一1｝的前〃項(xiàng)和為/+*.(x)

(5)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2l°+sin220+sin23°

+???4-sin288°+sin289°=44.5.(J)

不等式

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

。一b>00a>b

(1)作差法｛〃一匕=00〃=b(〃，bWR)；

、a—vb

(a,.

1>b

⑵作商法點(diǎn)=io〃=b(〃￡R,/?>0).

7<l<=>6f<b

、b--------

2.不等式的基本性質(zhì)

特別

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

提醒

對(duì)稱性a>b<^b<ao

傳遞性a>b,b>c=>a>c=>

可加性a>h^a+c>h+c<=>

a>h]

=>ac>bc注意c

c>0J

可乘性的符

a>b\

=>ac<bc號(hào)

c<Oj

同向可a>b]

)=>a+c>b+cl=>

加性c>d]

同向同正a>b>Q)[

(=>ac>bd

可乘性c>d>CJ

=>

可乘方性a>b>0=d'>b〃(neN,〃21)a,b

同為

可開方性a>b>0=>y[a>y[h(neN,〃22)

正數(shù)

3.不等式的一些常用性質(zhì)

(1)倒數(shù)的性質(zhì)

?a>bf

②a<O<b=>懸.

?0<a<x<b或〃4<*0=2J/

(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

若a>b>0,/n>0,貝！J

u"?b+mhb—m

①^<〃+加;->-------(b—m>0).

aa-m

a+tnaa-nt

行二請(qǐng)f孫

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(l)tz>/?<:>fzc2>frc2.(X)

(2?=a〈b3bW0).(X)

C3)a>b,c>d=>ac>hd.(X)

1.“三個(gè)二次”的關(guān)系

判別式A=b2-

A>0A=0A<0

4ac

二次函數(shù)的l￡

y=ax2+bx+c

o怔="2￡

(a>0)的圖象

一元二次方程有兩相等實(shí)根X]=X2=

有兩相異實(shí)根X1,

2

ax+bx+c=0b沒有實(shí)數(shù)根

X2(X1<X2)-2a

(a>0)的根

ax2+bx+c>0

[x|x〈Xj_或x>x”{xlxW-裊{x|x￡R}

(a>0)的解集

aj3+hx+c<0

{x|X|<x<x7}00

5>0)的解集

2.常用結(jié)論

(x-a)(x—6)>0或(x—a)(x一份<0型不等式的解法

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x-a)'(x—{小<4或(xRvb或

b)>0x>b]

(九一a>(x-

3〃<工詢0{x\b<x<a}

b)<0

口訣：大于取兩邊，小于取中間.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“X”)

⑴若不等式以2+公+<:<0的解集為(X”X2),則必有4>0.(V)

⑵不等式泊W0的解集是［—1,2］.(X)

(3)若不等式af+bx+oO的解集是(一8,X1)U(jf2，+°°),則方程01?+法+。=0的兩個(gè)根

是X］和%2-(J)

(4)若方程/+云+C=0(“#0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式―+法+少。的解集為R.(X)

⑸不等式a?+fcc+cWO在R上恒成立的條件是“<0且/=/一4〃￡<0.(X)

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域

(1)一般地，二元一次不等式Ax+By+OO在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某

一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線.當(dāng)我們?cè)谧?/p>

標(biāo)系中畫不等式Ar+By+CNO所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線,則把邊界直

線畫成實(shí)線.

(2)由于對(duì)直線Ax+By+C^O同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,

所得的符號(hào)都相同,所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(xo,泗)作為測(cè)試點(diǎn)，由4xo

+Bvn+C的符號(hào)即可判斷Ax+By+OO表示的直線是Ar+B)'+C=0哪一側(cè)的平面區(qū)域.

2.線性規(guī)劃相關(guān)概念

名稱意義

約束條件由變量X,y組成的一次不等式

線性約束條件由尤，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組

目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)

線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式

可行解滿足線性約束條件的解

可行域所有可行解組成的集合

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題

3.重要結(jié)論

(1)畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點(diǎn)定域：

①直線定界：不等式中無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線；

②特殊點(diǎn)定域：若直線不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過(guò)原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0,1)

或(1,0)來(lái)驗(yàn)證.

(2)利用“同號(hào)上，異號(hào)下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：

對(duì)于Ar+By+OO或Ar+B.y+C<0,則有

①當(dāng)B(Ax+By+C)>0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€Ar+By+C=0的上方；

②當(dāng)8(Ar+By+O<0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€Ar+By+C=0的下方.

(3)最優(yōu)解和可行解的關(guān)系：

最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)唯一，有時(shí)有多

個(gè).

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)不等式Ax+By+OO表示的平面區(qū)域一定在直線Ax+8)，+C=0的上方.(X)

(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.(V)

⑶目標(biāo)函數(shù)z=or+力(6W0)中,z的幾何意義是直線or+by—z=0在)，軸上的截距.(X)

(4)不等式丫2<0表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成

的含有y軸的兩塊區(qū)域.(V)

1.基本不等式/而

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=E時(shí)取等號(hào).

2.幾個(gè)重要的不等式

(^a2+b2^2ab(a,Z?eR).

(2)§+號(hào))23，b同號(hào)).

(a,R).

(4)”,少代抄(。,h&R).

以上不等式等號(hào)成立的條件均為a=b.

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)a>0,b>0,則a,6的算術(shù)平均數(shù)為竽，幾何平均數(shù)為股，基本不等式可敘述為兩個(gè)

正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問(wèn)題

己知x>0,y>0,則

(1)如果積孫是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值2赤.(簡(jiǎn)記：積定和最小)

2

(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),肛有最大值：(簡(jiǎn)記：和定積最大)

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)函數(shù)>=》+；的最小值是2.(X)

4JT

(2)函數(shù)?r)=cos%+￡V工￡(0，5)的最小值等于4(X)

⑶“x>0且y>0”是“計(jì)拄2”的充要條件.(X)

(4)若a>0,則/+/的最小值為2也.(X)

(5)不等式/+廿22"與生芋》標(biāo)有相同的成立條件.(X)

立體幾何

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體

①棱柱的側(cè)棱都平行且相等,上、下底面是全等的多邊形.

②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.

③棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形.

(2)旋轉(zhuǎn)體

①圓柱可以由矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.

②圓錐可以由直角三角形繞其直免邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到.

③圓臺(tái)可以由直角梯形繞直魚喳所在直線或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到,

也可由平行于底面的平面截圓錐得到.

④球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到.

2.空間幾何體的三視圖

空間幾何體的三視圖是正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面

圖形的形狀和大小是完全相同的,三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.

3.空間幾何體的直觀圖

畫空間幾何體的直觀圖常用斜耳地畫法，其規(guī)則是：

(1)原圖形中x軸、》軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，一軸、y'軸的夾角為45。(或135。)，z'

軸與『軸、y'軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段

在直觀圖中保持原長(zhǎng)度丕變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

4.常用結(jié)論

(1)常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖

①球的三視圖都是半徑相等的圓.

②水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形.

③水平放置的圓臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形.

④水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形.

（2）斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”

'坐標(biāo)軸的夾角改變，

“三變”<與丫軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，

.圖形改變.

.平行性不改變，

，，三不變”，與x,z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變，

.相對(duì)位置不改變.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.（X）

（2）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（X）

（3）夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái).（X）

（4）正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同.（X）

（5）用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.（X）

（6）菱形的直觀圖仍是菱形.（X）

1.多面體的表（側(cè)）面積

因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和,表面積是側(cè)

面積與底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

，國(guó)片?

側(cè)面展開圖/'2總

2U險(xiǎn)/

S國(guó)行例=兀（口+—）/

側(cè)面積公式S網(wǎng)柱蒯=2兀/7S圓錐解=花/7

3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何

柱體

V=Sh

S表面積=S側(cè)+2S底

（棱柱和圓柱）

錐體

v=|s/?

S表面積=S捌+S底

（棱錐和圓錐）

（上下+

臺(tái)體V=|S+S

S表面積=S側(cè)+S上+S下

(棱臺(tái)和圓臺(tái))

S上S下）fi

球5=4兀*/=軸3

4.常用結(jié)論

(1)與體積有關(guān)的兒個(gè)結(jié)論

①一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.

②底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等.

(2)幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

a.正方體的棱長(zhǎng)為“，球的半徑為R,

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=0

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R="；

③若球與正方體的各棱相切，則2/?=小”.

b.若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=q7鏟”.

c.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

【思考辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和.(V)

(2)錐體的體積等于底面積與高之積.(X)

(3)球的體積之比等于半徑比的平方.(X)

(4)簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差.(J)

(5)長(zhǎng)方體既有外接球又有內(nèi)切球.(X)

(6)圓柱的一個(gè)底面積為5,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是27ts.(X)

1.四個(gè)公理

公理1：如果一條直線上的西點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們?nèi)缜抑挥幸粭l過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

2.直線與直線的位置關(guān)系

(1)位置關(guān)系的分類

平行直線

共面直線―

相交直線

I異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)