第一章隨機(jī)事件及概率

1、這6個(gè)數(shù)字選出5個(gè)來(lái)排列的方法有用種，首位為0的

有P；種，而首位不能為0的為:-4=600.

2、任取5件，其中有4件正品與一件次品的取法為：

=105.

3、證明：

P(AUBUC)=P[(AUB)UC]

=尸(AU5)+P(C)-Pt(AUB)CJ

=P(A)+P(B)-P(AB)+P?_P(ACUBC)

=P(A)+P(B)~P(AB)+P(C)-[P(AC)+P(BC)-P(ACABC)]

=P(A)+P(B)+P(C)—P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

4、A表示任取3件中有一件為次品事件，50件中任取3件

的取法為4,而有一件為次品的取法為心G，???44)=警=孤.

5、(1)任取四球都是白球的取法有C：,而任取四球的取法有

叱，因此任取四球都是白球的概率為：與」

C,233

(2)任取6球恰好3白2紅1黑的概率為：￡攀=改.

377

6、(1)每個(gè)盒子都放有的方法有10!,而總共的放法有10%

因此沒(méi)有一個(gè)空盒子的概率為帶；

(2)至少有一個(gè)空盒子的概率為1-播.

7、由題知：e(0,1)且x+y<(,如下圖所不：

y

陰影部分為符合條件的點(diǎn)其面積S=S.OB-2=11

此事件的概率為：*1flW

8、如下圖所示：

由題意可知所求的概率為:

1122

XXX

21-213-3-5

sV—q

P=°AAOH°AAA'B'1

X±1X

0^AOB0^AOB2-

9、（1）取得2個(gè)紅球的可能有c；,而總共的取法為c3所以

兩次取得都是紅球的概率為4=--

GZ45

（2）兩次中一次取得紅球，另一次取得白球的方法有C；。；，而

總共的取法為G3因此此事件的概率為與="；

Go45

（3）因?yàn)閮纱稳〉眉t球的概率由⑴知為生，因此其對(duì)立事件

45

即至少一次取得白球的概率為1-身=口；

4545

（4）設(shè)4表示第一次取得白球事件，兒表示第二次取得白球事

件；顯然這兩事件是對(duì)立的，即P（A）=P（4）,至少一次取得白球

事件為4UA2，根據(jù)概率性質(zhì)有：P（AtUA,）=F（A,）+P（A2）-A2）

=2P（4）-P（AA）

而由題知P（AUA?）豈，兩次取得白球的概率為P（AH）=圣=2，

代入上等式有P（A2）=『g

10、設(shè)A表示此密碼被譯出的事件，A表示甲譯出事件，A2

表示乙譯出事件，&表示丙譯出事件，?表示一個(gè)人譯出事件，

當(dāng)表示只有兩人譯出事件，人表示3個(gè)人譯出事件，顯然與，生，

易相互獨(dú)立。由題知：

m）=P（A）p（4）p（4）+尸（A）p（&）p（4）+p（A>>2）p（4）

=gxa—5（1—（）+（1-｝（1一手><；+（1—卜乂:*（1一:）

13

"30

同理尸(當(dāng))=P(A)尸()p(4)+p(A)p(彳2)P(4)+P(A)P(&)P(4)

3

-20

P(B3)=P(A)P(&)P(A3)=]

60

根據(jù)全概率公式有：P(A)=P(B1)+2(4)+P(4)=0.6

11、(D設(shè)顧客買下該箱事件為A,4表示取得一箱中沒(méi)有次

品事件，A表示取一箱有一件次品事件，4表示取一箱中有兩件

次品事件；顯然4、4、4為相互獨(dú)立事件，P(A0)=0.8,

p（A）=01，p（4）=0.1

而尸(44)=1'P(A/A)卷子*P(“2)卷卷

根據(jù)全概率事件:

448

P(A)=P(A/A°)?P(A0)+P(A/%)?P(A)+P(A/A2)-P(A2)=后；

⑵在顧客買下該箱中，確實(shí)沒(méi)有殘次品的概率為

尸（AAo）-P（A°）=95

P（4/A）=

P（A）-112

12、設(shè)A為中靶事件，A。為選中未校正過(guò)事件，為為選中校

正過(guò)槍支事件，則P(4)=|，尸(A)=|,P(A/A0)=0.3,P(A/A)=0.8,

oo

49

P(A)=P(A0)P(A/A0)+PWP(A/A0)=—,

P（AA）P（AJ，40

尸（A/A）=P（A）-49

13、設(shè)A為飛機(jī)墜落事件，A,為擊中一次事件，A2為擊中兩

次事件，人為擊中3此事件；B,表示被第i此擊中事件(i=l,2,3),

顯然A,42,4為相互獨(dú)立事件。尸(為)=0.4,P(B2)=0.5,尸(當(dāng))=0.7,

P(A)=P(Bi)P(瓦)P(瓦)+P(瓦)P(J)P(瓦)+P(瓦)P(瓦)P(%)=0.36,

P(4)=P(B1)P(/)P(瓦)+P(H)P(瓦)尸(島)+P(瓦)P(/)尸(4)=0.41,

P(A3)=P(B,)P(B2)P(B3)=0.14,

而P(A/A)=O.2,P(A/4)=O.6,P(A/&)=1,因此根據(jù)全概率公式有

P(A)=尸(A/A)P(A1)+P(A/A2)-P(A2)+P(A/&)?尸(A3)=0.45

14、⑴擊中3次的概率為尸=C：(0.6)3(1-0.6)2=0.3456,

(2)因?yàn)槊看螕糁械母怕蕿槿?0.6)3,而至少有一次未擊中

是其對(duì)立事件，因此至少有一次擊中的概率為l-C；(0.6)3=0.92224

15、考慮其對(duì)立事件：即少于3臺(tái)車床發(fā)生故障的概率，沒(méi)

有一臺(tái)發(fā)生故障的概率為嚴(yán)，一臺(tái)發(fā)生故障的概率為

。：2(0.3)(0.7尸，兩臺(tái)發(fā)生故障的概率為此(。3)2(0.7)|。，因此在任一

指定時(shí)刻有3臺(tái)以上車床發(fā)生故障的概率為

1一心(0.7嚴(yán)—4(0.3)(0.7)”—。［(83)2(0.7)|。

16、第一問(wèn)：考慮其對(duì)立事件：0臺(tái)、1臺(tái)發(fā)生故障的概率

分別為：或(0.99)2。,以(099)”.0.01；因此設(shè)備發(fā)生故障而得不到及

時(shí)處理的概率為1_或(0.99嚴(yán)-以(OS%*Ooi；

同理第二問(wèn)中所求概率為：

］一C*0.99)蹌一C；o(0.99)79.0.01-C^(0.99)78(0.01)2-C^(0.99)77-(0.01)3

第二章隨機(jī)變量及其分布

1,設(shè)Z表示取出次品的個(gè)數(shù)，“z=o”表示取出0個(gè)次品事

件；因?yàn)?5只零件中有2只次品，取3次且每次都不放回取到

。件次品的概率為：與=烏，即P（Z=O）=必；

C,3,3535

1）=P（Z=2）=*

同理有：「億=年—==工—，r（Z=，）=-—=—

G；3535

因此Z的分布律為：（如下圖所示）

X012

22121

P

353535

2,設(shè)Z表示3個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)，“z=o”表示取出0

個(gè)合格品事件，A,表示第i個(gè)零件為不合格品事件（i=l,2,3）,

顯然A，A2,A3為相互獨(dú)立事件。由題意知：P（A,）=1,P（A2）=|,

P（4）=；,因此尸（z=3）=P（4）P（&）P（4）=（1-f（i-；）"：）=；，

同理：

P（z=2）=P（A,）P（A2）P（A3）+P（A）P（A2）p（4）+p（4）p（4）P（4）=,

———6

P（Z=I）=/WP（&）P（&）+尸⑷P（4）P（&）+P（"（&）P（4）=五

P（Z=O）=P（A）P（&）尸（4）=《，

所以Z的分布列為：

X0123

12112

P

244244

3,設(shè)Z表示該汽車首次遇紅燈前已經(jīng)通過(guò)的路口的個(gè)數(shù),

過(guò)第一個(gè)路口就遇到紅燈的概率為：0億=。）=白

；

同理有：P（Z=1）P(Z=2)=p(Z=3)=-----=-

2'282228

所以Z概率分布列為:

X0123

]_i￡

p

2488

4,X的分布列為:

X012n-1n

1：

pGC

2"2"2"2"

5,由題意知Z的分布函數(shù)為:

0x<1

0.2l<x<2

F(x)=<

0.52<x<3

1x>3

6,(1),;「/(x)dx=l,

J-00

n71

pQdx+Acosxdx+,0dx=1

J-r.4

~22

71

從而得到Asinx2A=J_

2

一2

(2),當(dāng)x<-三時(shí)，F(xiàn)(x)=f=fOdt=0;

2%

當(dāng)上生時(shí),

22

F(x)=f(t)dt=￡2Odt+—cosrJ/=—sinx+—;

“92222

當(dāng)C工時(shí),

2

7Tni

F(x)=f(t)dt=￡2Odt+R—cosrdf+，0力=1；

X22

71

rX<----

02

因此Z的分布函數(shù)/(x)=Lsinx+---<x<—

2222

1、71

iX>—

2

7,當(dāng)時(shí)有：

/(X)=rf(t)dt=r^e'dt=^-ex;

J-?k22

當(dāng)xNo時(shí)有：

/(X)=￡f(t)dt=j/(f)力+[fMdt=,；e*力+15r力=1-g

因此X的分布函數(shù)為：

[1.

于<0

F(x)=《2x

i1〃xNO

I2

8,(l)?.—(x)是處處右連續(xù)的，

limF(x)=F(l)=l,limAx2=1;A=1;

XT1XTl

(2)/(x)=%x)=2<x0<x<1

其它

(3)P{0.3<x<1.3}=F(1.3)-F(0.3)=0.91

9,(1)最初150小時(shí)電子管燒壞的概率為:

尸(X4150)=￡"/(x)Jx=1;

因此至少有兩電子管被燒壞的概率為：P=C；g）2（l—；）+仁（；）3=為

（2）Y表示在使用最初150小時(shí)內(nèi)燒壞的個(gè)數(shù)，則：

p（y=o）=c?（i-1）3=^,p（r=i）=c］（?。?-1）2=，

P（Y=2）=或（孑（1一；）=爭(zhēng)（丫=3）=c；g）3=

因此電子管數(shù)Y的分布列為：

Y0123

81261

P

27272727

（3）,Y的分布函數(shù)為：

0

8y<0

一

270<y<l

/X20

1-一

\71<y<2

27

26

一2<y<3

207

”3

10,設(shè)匕=k表示觀測(cè)值不大于0.1的次數(shù)為k,而

）

P（X<0.1）=￡X.If（x）dt=［fipdx+1fi.l2xdx=0.01,

因此隨機(jī)變量匕的概率分布為：

P（y?=k）=c^（0.01）A（0.99）"-*,A:=1,2,3"?

11,因?yàn)橐狗匠蘺2+Xy+l=0有實(shí)根,則其判別式

A=X2-4xlxl>0,得X22或X4-2;

又因?yàn)閄服從［1,6］分布，所以P（24X46）=手上

6-15

12,設(shè)A表示觀測(cè)值大于3的事件，B表示A發(fā)生的次數(shù),

依題意得：P(A)===2,

5-23

???P(8N2)=C；守;+C；(手哼

X10

13,(1)因?yàn)镕(x)=l-”，所以P(X410)=/(10)=1-e-=1-「2,

P(r=k)=C；*)*(1-e<)5-*,女=0,l,2,3,4,5;

(2)Y是表示10分鐘內(nèi)等不到的次數(shù)，則

P(r>l)=l-(l-e-2)5?0.5167

14,(l)P(X<a)=F(a)=①(紇&)=0.90,查表知上叫=1.28,所

33

以a=111.84;

(2),P(101.1<X<117.6)=-F(101.1)+F(117.6)

不，117.6—108、不，101.1—108、

=——-——)-0(——-——)

因?yàn)棰?-x)=l-①(x),所以P(1OL1<X<117.6)=0.988

15,因?yàn)镻{120<X<200}N0.8,即

_??__200_160120—160

產(chǎn)(200)-尸(120)=0(-----------)-0(------------)

a

?40、不/-40、

0(—)-0(——)

acr

示,40、1不,40、

=0(——)-1-0(——)

(7Lb_

40

=20(—)-1>0.8

(7

40

n(D(—)>0.90，

cr

查表知：—>1.28,.-.<7<31.20

(7

16,誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30米的概率為：

30-20-30-20

P(-30<X<30)=/(30)-尸(—30)=皿％)=04961，

所以誤差超過(guò)30米的概率為：1-0.4931=0.5069,

所以三次誤差絕對(duì)值都超過(guò)30米的概率為C；(0.5069)3,

因此三次測(cè)量中至少有一次誤差絕對(duì)值不超過(guò)30米的概率為：

1一《(0.5069)3=0869

17,(1)根據(jù)題知：

P(—l<X<x)=(1」」盧。1)=(其中xe(-1,1))；

841-(-1)16

當(dāng)x<-l時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=0,

當(dāng)-14x<1時(shí)，

F(x)=P(X<x)=P(X<-l)+P(-l<X<x)=0+l+^^=^^

81616

當(dāng)X21時(shí),尸(X)=1;

(2)X取負(fù)值的概率為：P(X<O)=F(O)=5X^+7=4

1616

18,由題知，P(X=0)=(1-04)3=0.216,

P(X=1)=C；(0.4)(1—0.4)2=0.432，P(X=2)=C；(0.4)2(l-0.4)=0.288，

P(X=3)=C；(0.4)3=0.064，

p0.2160.4320.2880.064

X0123

r0149

匕0-101

八0110

⑴故X=X2的分布列為:

匕0149

p0.2160.4320.2880.064

⑵％=X(X-2)的分布列為:

丫2-101

p0.4320.5040.064

⑶打=若也的分布列為:

01

p0.280.72

19,由丫=(?，得y=e，，顯然有y>0且x=lny,根據(jù)定理有：

A(y)=/xOny)|Qny)[=/x(lny)y,

⑴當(dāng)lny=xN0時(shí)，即yNl時(shí)有(Iny)?—=e-lny—=,

yy

(2)當(dāng)Iny=x<0時(shí)，即0cy<1時(shí)有/x(Iny)」=0,

y

i

=<2

由(1),(2)得：fY(y)y，一

00<y<1

20,(1)因?yàn)镕y(y)=P(Y<y)--(arctanX<y)=P(X<tany)=Fx(tany)

[ta02y

22

等式兩邊對(duì)y求導(dǎo)得：fyiy)-fx(tany)secy=—f=e-sec^j

J2萬(wàn)

=arctanX1守y=arctanx，,——<y<—9

22

0MW

A(y)=12tan2y

secy――Z—71R

e2<y<—

22

2

(2)FY(y)=P(Y<y)=P(2X+l<y)(顯然y21才有可能)

F)

=3后^-弓(卡抖

=24(肉)T

兩邊對(duì)y進(jìn)行求導(dǎo)得：

川)=2打(用)(用)1上

'=.e4

2〃(y-l)

因此Y=2X?+1的概率密度為：

1「y-1

4y>i.

fr(y)-,2j萬(wàn)(y—1)9

0I

(3)Fr(y)=P(r<y)=P(|X|<y)

=P(-y<X<y)

=Fx(y)-Fx(-y)

=2G(y)-l,

匕[2

兩邊對(duì)y求導(dǎo)得：/y(y)=2/x(y)=2T=J2=ke丁

弋2兀

p2

因此丫=兇的概率密度為：fy(y)=，R7y>0

0y<0

習(xí)題三

1.箱子里裝有12只開關(guān)，其中只有2只次品，從箱中隨機(jī)地取兩次,

每次取一只，且設(shè)隨機(jī)變量X,Y為

vfO,若第一次取得正品，

[I,若第一次取得次品；

fo,若第二次取得正品，

[1,若第二次取得次品.

試就放回抽樣與不放回抽樣兩種情況，寫出X與Y的聯(lián)合分布律.

解：先考慮放回抽樣的情況：

25

/>{%=o,y=o}=—X—

121236

p{x=o,y=1}=也2='

12123(

210

p{x=i,y=0}一X—

1212

22

p{x=i,y=1}=—X—=

1212

則此種情況下，X與Y的聯(lián)合分布律為

再考慮不放回抽樣的情況

p{x=o,y=0}』x2=12p{x=o,y=1}

121122

P{X=l,y=0}=—X—=—,P{X=i,y=1}：

121133

2.將一硬幣連擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表

示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，試寫出

（X,Y）的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.

解：由已知可得：X的取值可能為0,1,2,3；Y的取值可能為1,

3；則由硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率各嗎，可知

P{X=0,Y=0}=0（此種情況不可能發(fā)生）

p{x=0,y=3}=—x—x—=—,

2228

p{x=i,y=3}=o,

i13

p{x=2,y=i}=《5X—x—=

228

P[X=2,Y=3}=0

p{x=3,y=i}=o

111]_

P{X=3,y=3}=—X—X—=

2228

3.把三個(gè)球隨機(jī)地投入三個(gè)盒子中去，每個(gè)球投入各個(gè)盒子的可能

性是相同的，設(shè)隨機(jī)變量X與Y分別表示投入第一個(gè)及第二個(gè)盒

子中的球的個(gè)數(shù)，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布.

解：由已知可得：X的取值可能為0,1,2,3；Y的取值可能為0,

1,2,3；則

111

p{x=o,y=o}=—X—X—=——

33327

P{x=o,y=2}=c；WLLp{x=o,y=3}=-xlxl=—

'333933327

P{X=l,y=0}=C'-xlxl=l,P{x=l,y=l}=C'C'-xlxl=-

33393339

P{X=l,y=2}=C]lxlxl=l

px=i,y=3}=o,?{x=2,y=o)=C3=i

P{X=2,Y=\}=C1-x-x-=-

33339

P{X=2,y=2}=P{X=21=3}=0

1

P{x=3,y=0}=c^xlxl

27

P{X=3,Y=l}=P[X=3,y=2}=P{X=3,y=3}=0

則二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率分布及邊緣分布為

4.設(shè)(X,Y)的概率密度為

、：(6-x-y),0<x<2,2<y<4,

f(x,y)=j8

0,其它.

求：

(1)P((x,y)￡D},其中D={(x,y)|x〈l,y<3};

(2)P{(x,y)eD},其中D={(x,y)|x+y<3}.

解(1)VD={(x,y)lx<l,y<3}

P{(x,y)GO}=「，/(x,y)dxdyy)dxdy=|

(2)VD={(x,y)lx+y<3}

?*-P{(x,)，)eD}=J/(x,y)dxdy=f'(6_X_y)dxdy=總

5.設(shè)(X,Y)的概率密度為

C(R—&2+y2),x2+y2<R2,

f(x,y)=

0,其它.

求:

(1)系數(shù)c；

(2)(入丫)落在圓/+》2少2卜</?)內(nèi)的概率.

解(1)由「「/(x,y)dxdy=1,得

J-coJ-CO

+y2yixdy=1,可求得c=—"?

x2+y2<R2兀R

(2)設(shè)Z)={(x,y)I/+y2K〃2,則

P{(X,Y)e。}

=\[f{x,y}dxdy=JJ(R-yfx2+y2}dxdy=

八22/2TUX7CKJLX.

Dxz+yz<r

6.已知隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為

4xy,0<x<1,0<y<1,

f(x,y)=<

0,其他.

求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).

解：???隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為

[4盯,0<x<1,0<y<1,

f(x,y)=

1。，其他.

當(dāng)x<0,或y<0時(shí)，F(xiàn)(x,y)=0;

當(dāng)OKx<l,OWyK1時(shí)，

F(x,y)=P{X<x,Y<y}=j'4XYdXdY^x2y2

當(dāng)04x41,y>l時(shí)，

F(x,y)=P{X<x,Y<y}=f^AXYdXdY^x2

當(dāng)x>1,04y41時(shí)，

F(x,y)=P{X<x,Y<y)=^AXYdXdY=y2

當(dāng)x>1,y>1時(shí)，

F(x,y)=P{X<x,Y<y}=j^AXYdXdY=1

綜上可得，X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為

0X<0,或y<0

22

%y0<x<1,0<y<1

F(x,y)=<x20<x<1,y>1

y2x>1,0<y<1

ix>l,y>1

7.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

[k{x+y),0<x<6,0<y<6,

小0,其他

(1)求常數(shù)k;

(2)求P{0<x<2,l<y^3];

(3)求X,Y的邊緣概率密度；

(4)判斷X與Y是否相互獨(dú)立.

解(1)由概率密度的性質(zhì)有「「/(x,y)dMy=l

即/f左(x+y)dxdy=1,有216k=1女=

(2)尸{0<x<2,l<yW3}=j，+(%+)3入6=需

(3)X的邊緣概率密度為

(

/xx)=]J-cof(x,y)dy

?*?當(dāng)oWx<6時(shí)，fx(x)=f+(x+y")dy=急

當(dāng)xvO或x26時(shí)，顯然有人(x)=0

x+3

0<x<6,

，/x(x)=<36

0,其他.

Y的邊緣概率密度為4(y)=匚/(x,y)dx

.?.當(dāng)o〈y<6時(shí)一，方(y)=f上a+y)力=崇

㈤21636

當(dāng)yWO或x26時(shí)，顯然有月(>)=0

1+3

0<y<6,

???/y(y)=36

0,其他.

(4)從以(x)及/丫(y)的表達(dá)式易知，/x(幻力(y)牛/(x,y)

??.X與Y不相互獨(dú)立.

8.已知隨機(jī)變量X1和X2的概率分布為

Pill------2

157----------

而且P{X1X2=O}=1.

(1)求X1和X2的聯(lián)合分布；

(2)問(wèn)X］和X2是否獨(dú)立？為什么？

解：由P{X1X2=0}=1,可知乂禺=0必然成立?

P[X}X2#0}=0

由p{X2=}}=P{Xi=-\,X2=l]=P{Xi=0,X2=1}=P{XI=1,X2=1}W

P{X1=0,X2=l}=P[X2=l}=g

同理可得：P{Xt=-l,X2=0}=^-,P{X,=1,X2=0}=1,

而

P{XtX2=O}=P{Xt=0,X2=0}+P{X1=-l,X2=0}+P{X,=0,X2=1}+P{X,=l,x2=0}

P{X}=0,X2=0}=P{XtX2=0}-P{X1=-l,X2=0}-P{X1=0,X2=1}-P{X,=l,X2=0}

(2)p{X1=o,X2=0}xP{X1=0}尸{x?=0}

可知X1和X2不獨(dú)立.

9.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從(-6,6)上的均勻分布，求

方程J+rx+y=0有實(shí)根的概率.

解：方程J+氏+丫=0有實(shí)根的充要條件是X2—4Y20,

由于隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，所以隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概

率密度為/(x,y)=標(biāo)'—"<"〈"一腔”"'

0,其他

下面分兩種情況討論:

(1)當(dāng)0<b44時(shí)，如圖

P[X2>4y}=娶(尤,y)dxdy=宜收￡力=；+,

(2)當(dāng)b>4時(shí)，如圖

P{X224y}=W(x,y)dxdy=y\\dxdy=1-?\\dxdy=1《籃吧辦=1-擊

綜上可得：方程/+正+丫=0有實(shí)根的概率為

1b

2+24'0<^<4,

P{X2-4K>0}=<

1」6>4.

3折'

另解：方程J+fX+y=o有實(shí)根的充要條件是

x2-4r>o

令4=X2,其分布函數(shù)為々(%),Z2=-4匕其分布函數(shù)為七(%),

則當(dāng)x<0時(shí)七(x)=0,則當(dāng)OWxWb?時(shí)

七(x)=P{Z1<X]=P{X2<X}=F{-VX<X<4x]

由于X與Y都服從(-。/)上的均勻分布，即其密度函數(shù)各為

1

-h<x<h—,-h<y<h

fM=<2b'=<

x/Y(y)2b

0,其他0,其他

當(dāng)OWxWb2時(shí),

Fz,(x)=

2bb

當(dāng)X>b2時(shí)顯然有F%(x)=l.

.?.Z1的概率密度函數(shù)為七(x)=五，USXS0

0其他

而當(dāng)xN4。時(shí)，F(xiàn)(x)=P[-4Y<x}=l-P{7<--}=l-0(v--<-b)=l

z244

xi]

當(dāng)-4b<x<4b時(shí)，F(xiàn)(x)=l-P{y<--}=l-p—dt(-.--b<--<b)=~+—

47、4*2b428。

當(dāng)xW-4b時(shí)，

xx

&（x）=i-py<-R=?-產(chǎn)）=0

.?Z的概率密度函數(shù)為匕,出=總-404x446

0其他.

又由于隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，...Z]和4也相互獨(dú)立.

又設(shè)Z=Zi+Z2

其密度函數(shù)為fz（x）,分布函數(shù)為fz（x），則/z（z）=f：/z（x）/z（Z—》心，

2

ffi]F{X-4y>0}=F{Z>0）=l-Fz（0）=l-fjz（z）dz

?.,b>0,而當(dāng)zW-4b,xe[-40,4們時(shí)，z+4640止匕時(shí)/z（z）=0

當(dāng)—46<z4〃-4b時(shí)，/（z）=rih—^—.—dx=—

J,2b6助8b

0,z<—4b,

即/z（z）=<上筌,-4b<z<b2-4b,

8b

—,z>b2-4b.

18b

當(dāng)0<644時(shí)，（即從—4A40）,

2

2fi-4bJz+4Z?.p1..bib\b

P{X~-4K>0}=1-----；~Jz—L-dz=\-------F—=—H----

8h2以一病8。1228224

當(dāng)b》4時(shí)，（即從一4。>0）,P{X?—4丫20}=1—「&+?=]—-'

兒8/3加

綜上可得：方程/+式+丫=0有實(shí)根的概率為

1b

,2+24f0<^<4,

p{x2-4r>oj=p]

]--------,b>4.

I3顯

10.設(shè)（X,Y）的概率密度為

/(x,y)=.；0<x<y,

其他.

求邊緣概率密度和P{X+Y<i}.

解：X的邊緣概率密度為

/x(x)=「/(x，y)dy，當(dāng)xWO時(shí)，九。)=0

yx

當(dāng)x>0時(shí)，fx(x)=￡e~dy=e~

Y的邊緣概率密度為4(y)=「/(x,y)dx

yy

當(dāng)xWO時(shí)，fY(y)=0,當(dāng)y>0時(shí)，fY(y)=e~dx=ye'

0x<0[0y<0

fx(^)=\一八力(y)=《_y、n

ex>0.[ye-y>0

而

P{X+Y<1}=y)dxdy(其中。={(x,y)Ix+y<1}

D

1I_1

=e-ydy=^{e-x-ex-')dx=i+e-'-2e~i

11.設(shè)X,Y相互獨(dú)立，其概率密度為

i,0<x<1,.[e~y,y>0,

/x(x)=\甘柚A(y)=<,

[0,具他.[0,y<0.

求Z=X+Y的概率密度.

解：由已知得"z)=「/x(x)/y(Z-x)dx

當(dāng)Z<0時(shí)，/z(Z)=OG?當(dāng)OWxWl時(shí),z-xKO)

當(dāng)OWzWl時(shí)，/z⑵=16，-,=1一0乜

當(dāng)Z>1時(shí)，/z(z)=1e，rdx=(e-1)1

0z<0

/.Z=X+Y的概率密度為七⑵二”-10<z<l

(e-\)e-zz>1

12.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

3x,0<y<x,0<x<1,

f(x,y)=<

0,其他.

求Z=x—Y的概率密度.

解：???ZnX—Y的分布函數(shù)為

Fz(z)=P{Z<z}=P[X-Y<^}=y)dxdy=f/(x,y)dy

X-Y^z

/.Z=X—Y的概率密度為fz(z)=Fz(z)=￡f[x,x-z)dx

3x,0<y<x,0<x<1,

f(x,y)=>

0,其他.

當(dāng)z21時(shí)，x-z<0,.-./Z(z)=0,

當(dāng)zWO時(shí)，x-z>x,.,./Z(z)=0,

2

當(dāng)0<z<l時(shí)，/Z(z)=_[3xdx=|(l-z),

.,.Z=X—Y的概率密度為

f-(l-z2),

OVNv1,

fz(N)=v2

O,其他.

13.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

]產(chǎn)+―

y)=~~~2，(-8<<+oo),

2g

求Z=X?+y2的概率密度.

解：設(shè)z=x?+y2的分布函數(shù)為BQ)

當(dāng)ZW0時(shí)，