高中數(shù)學(xué)難點23求圓錐曲線方程

求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學(xué)生識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等

價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學(xué)們

熟練掌握好圓錦曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題

等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.

?難點磁場

22

1.(★★★★★)雙曲線--J=l(beN)的兩個焦點Fi、F2,P為雙曲線上一點，\0P\

4b-

V5,IPF|l,IQF2lJPF2l成等比數(shù)列，則b2=.

2.(*★★★汝口圖，設(shè)圓P滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其

弧長比為3：1,在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線/：x-2y=0的距離最小的圓

的方程.

?案例探究

［例1］某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸(即雙曲線的虛

軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、4'是雙曲線的頂點，C、C是冷卻塔上口直徑的兩個端點,

B、B'是下底直徑的兩個端點，已知A4'=14m,CC'=18m,Bfiz=22m,塔高20m.

(1)建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程.

(2)求冷卻塔的容積(精確到10n?,塔壁厚度不計，)取3.14).

命題意圖：本題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組的基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用

所學(xué)積分知識、思想和方法解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程；點在曲線上，點的坐標(biāo)適合方程；積分法求體積.

錯解分析：建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，積分求容積是本題的重點.

技巧與方法：本題第一問是待定系數(shù)法求曲線方程，第二問是積分法求體積.

解：如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy,使44'在x軸上，44'的中,

點為坐標(biāo)原點。，CC與BB'平行于x軸.飛--------T

設(shè)雙曲線方程為+-卡■=1(">0力>0),則=7—-----J------卜力

又設(shè)B(ll,yi),C(9/2)因為點仄C在雙曲線上，所以有

里一止=1竺一

72h2~572b2~

由題意，知丫2—M=20,由以上三式得：丫］=-12,》2=8/=7應(yīng)

22

故雙曲線方程為二-二=1.

4998

（2）由雙曲線方程，得丁=，/+49

223

設(shè)冷卻塔的容積為"n?）,則￡^Jy=^￡2（ly+49）Jy=^（1）-+49y）l!12，經(jīng)

計算，得y=4.25Xl（）3（m3）

答：冷卻塔的容積為425X1（^3

［例2］過點（1,0）的直線/與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為也的橢圓C相

2

交于A、8兩點，直線y=；x過線段A8的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線

/對稱，試求直線/與橢圓C的方程.

命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計新穎，基礎(chǔ)

性強，屬★★★★★級題目.

知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題.

錯解分析：不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯誤.恰當(dāng)?shù)乩煤脤ΨQ問

題是解決好本題的關(guān)鍵.

技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標(biāo)代入圓

錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線力B斜率的等式.解法二，用韋達(dá)定理.

解法一：由e=￡=,W—~~=L從而a2=2b2,c^b.

a2a22

設(shè)橢圓方程為f+2y2=2但加）,8（尤2,），2）在橢圓上.

貝ljXt2+2y\2=2b2,x^+2y2=2b2,兩式相減得，（x/—%22）+20,12—

疥=0,91=_上山」

玉一心2（必+為）

設(shè)AB中點為（沏,%）,則kAlt=—3-，又（沏9）在直線尸1上，yo=［xo,于是一

2yo222yo

—1,^B=-1,設(shè)I的方程為y=-x+\.

右焦點?0）關(guān)于/的對稱點設(shè)為（x'，），'）,

If

3-=l

xf=l

則I解得

上=-3+1y'=\-b

122

99

由點(1/一b)在橢圓匕得1+2(1—⑦2=2b2,/=—,a2=—.

168

...所求橢圓C的方程為半+和=以的方程為y=-X+L

解法二：山e=￡=遂s得^—T—=L從而。2=2/￡=尻

a2a22

設(shè)橢圓C的方程為丁+2)2=2成/的方程為y=k(x-l),

將I的方程代入C的方程，得(1+2戶4產(chǎn)x+2產(chǎn)—2/=0,則x］+X2=----7，力+)'2=k3

1+2K.

2k

—1)+做12-1)=攵(尤］+必)-2k=

}+2k2

直線/：尸gx過4B的中點(三產(chǎn)-k12k2

.+為)，則解得《=o,或上

21+2公21+2/

-1.

若k=0,則/的方程為尸0,焦點廠(c,0)關(guān)于直線/的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C

上，所以8=0舍去，從而&=-1,直線/的方程為廣一(x—1),即)=-x+1,以下同解法一.

［例3］如圖，已知△POP2的面積為9三7，P為線段夕出2的一個三等分點，求以直線

4

OP1、0P2為漸近線且過點P的離心率為反的雙曲線方程.

2

命題意圖：本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程以及綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決

問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：定比分點坐標(biāo)公式；三角形的面積公式；以及點在曲線上，點的坐標(biāo)適合方

程.

錯解分析：利用離心率恰當(dāng)?shù)卣页鲭p曲線的漸近線方程是本題的關(guān)鍵，正確地表示出

△PQ2的面積是學(xué)生感到困難的.

技巧與方法：利用點尸在曲線上和△尸。尸2的面積建立關(guān)于參數(shù)。、b的兩個方程，從

而求出。、h的值.

解：以。為原點，/PQP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

22

設(shè)雙曲線方程為--彳=1（〃>0力>0）

ab

33

.??兩漸近線OPi、OP2方程分別為y=1x和y=一1x

設(shè)點Pig,■|々）12。2,—1應(yīng)）（修>0內(nèi)2>0）,則由點P分質(zhì)所成的比才=黃=2,得尸點坐

標(biāo)為（中,『）,又點「在雙曲線［率T上，所以齒立（X]―24/_[

9〃2

即（為+2應(yīng)）2—但一2^2尸=9〃2,整理得Sx\X2=9a2①

又I。41=JX|2+%]2=半毛JOp|=

X2

93

2tanPjOx_X2_12

sinPOP=

}21+tan2Pox]+213

4

11131227

??兒勺?，?耳1。巴110%l?sinP]。%=--XjX--=

2T

a

即X}X2=—②

2

由①、②得々2=4力2=9

29

故雙曲線方程為二-二=1.

49

?錦囊妙計

一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.

定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.

定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點不確定在

哪個坐標(biāo)軸上時，可設(shè)方程為//2A2+/?J?2=1（tn>0,n>0）.

定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小.

?殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)已知直線x+2y—3=0與圓/+尸+*-6)＞+而=0相交于P、。兩點，。為坐標(biāo)

原點，若OP，。。，則皿等于()

A.3B.-3C.lD.-1

2.(***初中心在原點，焦點在坐標(biāo)為(0,±5后)的橢圓被直線3彳一丫-2=0截得的

弦的中點的橫坐標(biāo)嗎，則橢圓方程演)

A2x22y2B.空+支=]

A.-----+-^—=1

25757525

2222

D.jj

25757525

二、填空題

3.(****)直線I的方程為y=x+3,在/上任取一點P,若過點?且以雙曲線12/—4丁=3

的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為.

4.(★★★★)已知圓過點P(4,—2)、。(一1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4VL

則該圓的方程為.

三、解答題

5.(*****)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F,例是

橢圓上的任意點，IMFI的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2,橢圓匕存在著以y=x為軸的對

稱點必和Mi，且1MlM21=士乎，試求橢圓的方程.

6.(****)某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支

撐，求其中最長的支柱的長.

7.(*****)已知圓C|的方程為(x—2尸+(y—1尸=??，橢圓

G的方程為二7+當(dāng)~=1(。＞匕＞。)，。2的圖心率為'二，如果C[

a2b22

與C2相交于48兩點，且線段AB恰為圓G的直徑，求直線AB的方程和橢圓。2的方程.

參考答案

難點磁場

1.解析：設(shè)F|(-c,O)、F2(C,0)、P(x,y),則

22

\PF{F+IP&F=2(|po|2+|F|0|2)<2(5+C),

即伊尸『+仍尸2|2<50+2。2,

又?.?|尸產(chǎn)1|2+|「3|2=(爐產(chǎn)||一衣尸21)2+2仍尸11*\PF2\,

依雙曲線定義，有IPQITPF2l=4,

依已知條件有IPQI?1尸產(chǎn)21=條1尸2產(chǎn)=4。2

/.I6+8C2<50+2C2,.\C2<—,

3

又C2=4+/>2<—Z>2<—b2=\.

33

答案：1

2.解法一：設(shè)所求圓的圓心為P(a,b),半徑為r,則點P到x軸、)，軸的距離分別為冏、lai

?.?圓P截y軸所得弦長為2,Ar2=a2+l

又由題設(shè)知圓尸截x軸所得劣弧對的圓心角為90°,故弦長481=立廠,故/=2后,從而有

2/>2-a2=l

又?.?點P(a,b)到直線x—2)，=0的距離,

因此，5d2=|〃—2h\2=a2+4h2—4ah^a2+4h2—2(6/2+/?2)=2Z>2—a2=l,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時上式等號成立，此時5d2=1,從而d取最小值，為此有

a=b”。=1a

2Z=］得或

b=\匕=一1'

*.*r2=2/72,r2=2

于是所求圓的方程為：(X—1)二(y—1)2=2或。+1)2+。，+1)2=2

解法二：設(shè)所求圓P的方程為(無一〃9+(y—y=J(r>0)

設(shè)4(0,巾)/(0,g)是圓與y軸的兩個交點，則乃、g是方程a2+(y—h)2=r2的兩根，

?\y\.2=5±\r2-a2

由條件①得1481=2,而1431=1以一力1,得r2-a2=l

設(shè)點。但,0)、力(必,0)為圓與工軸的兩個交點，則即也是方程。一。)2+/=/的兩個根,

.*.%].2=々土J廠2—匕2

山條件②得1。。1=血匕又山1。。1=卜2一川，得2/=/,故2h2=a2+1

設(shè)圓心必到直線尤一2尸0的距離為d」。濯

：.a-2b^±亞d,得/=(2任亞42=4/±4否從/+5/

又,.?/=2及一[,故有2b2±4石機/+5/+1=0.把上式看作b的二次方程,

???方程有實根.

:.4=8(5/—1)20,得5屋21.

2+1=0,

得2b2±4b+2=0,解得b=+l.

從而/=2b?=2,a=±Jr?-1=±1

于是所求圓的方程為（犬一1）2+。-1y=2或（X+1）2+。，+1）2=2

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：將直線方程變?yōu)閤=3—2y,代入圓的方程F+y'+x—6y+m=0,

得（3—23?）2+}'2+（3—2y）+〃?=（）.

整理得5）1一20），+12+m=0,設(shè)尸（無必）、。（工2?2）

12+m

貝ll"2=-,-y-,-+-j-2=4.

又,：P、。在直線x=3-2y上,

，X,X2=(3—2y0(3—2y2)=4yly2-6?！?丫2)+9

故)仍+可工2=5)“)，2-6(yi+y2)+9=，〃-3=0,故m=3.

答案：A

2.解析：由題意，可設(shè)橢圓方程為：彳+―=1,且/=50+應(yīng)

ab

即方程為y

50+/

將直線3x-j-2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程.

由片+必=1可求得//=25,J=75.

答案：C

二、3.解析：所求橢圓的焦點為吊（一l,0）,F2（l,0）,2"=IPQI+IPF2l.

欲使2a最小，只需在直線/上找一點P.使IPQI+IPFJ最小，利用對稱性可解.

22

答案：—+^-=1

54

4.解析：設(shè)所求圓的方程為（x—af+G一6）2=尸

(4-4)2+(-2—6)2=產(chǎn)a=1a=5

則有，(-1-4)2+(3-6)2=尸=,b=0或b=4

\a\2+(2百)2=戶j2=13r2=27

由此可寫所求圓的方程.

答案：x2+y2~2x~12=0或x2+7-10A—8y+4=0

三、5.解：IMFImaxUq+C'JMFIminUa-C,則(a+c)(a—c)=/—<2=/?2,

22

=4,設(shè)橢圓方程為靛+?=1

設(shè)過M\和M2的直線方程為y=~x+m②

將②代入①得：（4+〃2）/2—2〃2mx+〃為2—4。2=0③

設(shè)MGl田）、M2a2J2）,M]M2的中點為（XoJo）,

a2in4m

Xo=2)=

則彳(占+尤------T,yo=—xn+m=-----.

24+a-------------4+a

24m

代入y=X,得

4+a4+/

山于a2>4,.*./H=0,/.由③知X]+x）=O內(nèi)必=一,

4+。/

又IA/]“21=+々)--4x/2=-,

22

代入乃+必可尤2可解/=5,故所求橢圓方程為：—+^