46分大題保分練(四)(建議用時：40分鐘)17．(12分)(2019·福州模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a(eq\r(3)sinB－cosC)＝(c－b)cosA.(1)求角A；(2)若b＝eq\r(3)，點D在BC邊上，CD＝2，∠ADC＝eq\f(π,3)，求△ABC的面積．[解]法一：(1)根據(jù)正弦定理，及a(eq\r(3)sinB－cosC)＝(c－b)cosA，得sinA(eq\r(3)sinB－cosC)＝(sinC－sinB)cosA，所以eq\r(3)sinAsinB＋sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA，即eq\r(3)sinAsinB＋sinBcosA＝sin(A＋C)．又A＋C＝π－B，所以sin(A＋C)＝sinB，所以eq\r(3)sinAsinB＋sinBcosA＝sinB.又0＜B＜π，所以sinB＞0，所以eq\r(3)sinA＋cosA＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又0＜A＜π，所以eq\f(π,6)＜A＋eq\f(π,6)＜eq\f(7π,6)，所以A＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，解得A＝eq\f(2π,3).(2)如圖，在△ACD中，AC＝b＝eq\r(3)，CD＝2，∠ADC＝eq\f(π,3)，由正弦定理，得eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，即eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝eq\f(2,sin∠CAD)，所以sin∠CAD＝1，∠CAD＝eq\f(π,2).從而∠ACD＝π－eq\f(π,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,6)，∠ABC＝π－eq\f(π,6)－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,6)，所以AB＝AC＝eq\r(3).故S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sin∠BAC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×sineq\f(2π,3)＝eq\f(3\r(3),4).法二：(1)因為a(eq\r(3)sinB－cosC)＝(c－b)cosA，所以eq\r(3)asinB＝acosC＋(c－b)cosA，由余弦定理，得eq\r(3)asinB＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋(c－b)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，化簡得2eq\r(3)acsinB＝2bc－(b2＋c2－a2)，所以2eq\r(3)acsinB＝2bc－2bccosA，即eq\r(3)asinB＝b－bcosA.由正弦定理，得eq\r(3)bsinA＝b－bcosA.所以eq\r(3)sinA＝1－cosA，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又0＜A＜π，所以eq\f(π,6)＜A＋eq\f(π,6)＜eq\f(7π,6)，所以A＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，A＝eq\f(2π,3).(2)在△ACD中，AC＝b＝eq\r(3)，CD＝2，∠ADC＝eq\f(π,3)，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，即3＝AD2＋4－2×AD×2×eq\f(1,2)，解得AD＝1，從而AD2＋AC2＝CD2，所以∠CAD＝eq\f(π,2)，所以∠ACD＝π－eq\f(π,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,6)，∠ABC＝π－eq\f(π,6)－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,6)，所以AB＝AC＝eq\r(3).故S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sin∠BAC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×sineq\f(2π,3)＝eq\f(3\r(3),4).18．(12分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，M，N分別是AB，AA1的中點，且A1M⊥B1N(1)求證：B1N⊥A1C(2)求M到平面A1B1C[解]法一：(1)如圖，連接CM.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CM?平面ABC所以AA1⊥CM.在△ABC中，AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CM⊥平面ABB1A1因為B1N?平面ABB1A1，所以CM⊥B1N又A1M⊥B1N，A1M∩CM＝M，所以B1N⊥平面A因為A1C?平面A1CM，所以B1N⊥A(2)連接B1M在矩形ABB1A1中，因為A1M⊥B1N，所以∠AA1M＝∠A1B所以tan∠AA1M＝tan∠A1B1N，即eq\f(AM,AA1)＝eq\f(A1N,A1B1).因為△ABC是邊長為2的正三角形，M，N分別是AB，AA1的中點，所以AM＝1，CM＝eq\r(3)，A1B1＝2.設(shè)AA1＝x，則A1N＝eq\f(x,2).所以eq\f(1,x)＝eq\f(\f(x,2),2)，解得x＝2.從而S△A1B1M＝eq\f(1,2)S正方形ABB1A1＝2，A1C＝B1C＝2eq\r(2).在△A1CB1中，cos∠A1CB1＝eq\f(A1C2＋B1C2－A1B\o\al(2,1),2A1C·B1C)＝eq\f(3,4)，所以sin∠A1CB1＝eq\f(\r(7),4)，所以S△A1B1C＝eq\f(1,2)A1C·B1C·sin∠A1CB1＝eq\r(7).設(shè)點M到平面A1B1C的距離為d，由V三棱錐M-A1B1C＝V三棱錐C-A1B1M，得eq\f(1,3)S△A1B1C·d＝eq\f(1,3)S△A1B1M·CM，所以d＝eq\f(S△A1B1M·CM,S△A1B1C)＝eq\f(2\r(21),7)，即點M到平面A1B1C的距離為eq\f(2\r(21),7).法二：(1)同法一．(2)在矩形ABB1A1中，因為A1M⊥B1N，所以∠AA1M＝∠A1B所以tan∠AA1M＝tan∠A1B1N，即eq\f(AM,AA1)＝eq\f(A1N,A1B1).因為△ABC是邊長為2的正三角形，M，N分別是AB，AA1的中點，所以AM＝1，CM＝eq\r(3)，A1B1＝2.設(shè)AA1＝x，則A1N＝eq\f(x,2)，所以eq\f(1,x)＝eq\f(\f(x,2),2)，解得x＝2.如圖，取A1B1的中點D，連接MD，CD，過M作MO⊥CD于O.在正方形ABB1A1中，易知A1B1⊥MD，由(1)可得CM⊥A1B1又CM∩MD＝M，所以A1B1⊥平面CDM.因為MO?平面CDM，所以A1B1⊥MO.又MO⊥CD，A1B1∩CD＝D，所以MO⊥平面A1B1C即線段MO的長就是點M到平面A1B1C由(1)可得CM⊥MD，又MD＝2，所以由勾股定理，得CD＝eq\r(CM2＋MD2)＝eq\r(7).S△CMD＝eq\f(1,2)·CD·MO＝eq\f(1,2)·CM·MD，即eq\f(1,2)×eq\r(7)×MO＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2，解得MO＝eq\f(2\r(21),7)，故點M到平面A1B1C的距離為eq\f(2\r(21),7).19．(12分)(2019·合肥模擬)“工資條里顯紅利，個稅新政入民心”．隨著2019年新年鐘聲的敲響，我國自1980年以來，力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實施的階段．某IT從業(yè)者為了解自己在個稅新政下能享受多少稅收紅利，繪制了他在26歲～35歲(2009年～2018年)之間各年的月平均收入y(單位：千元)的散點圖：(1)由散點圖知，可用回歸模型y＝blnx＋a擬合y與x的關(guān)系，試根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程；(2)如果該IT從業(yè)者在個稅新政下的專項附加扣除為3000元/月，試?yán)?1)的結(jié)果，將月平均收入視為月收入，根據(jù)新舊個稅政策，估計他36歲時每個月少繳納的個人所得稅．附注：1.參考數(shù)據(jù)：eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))xi＝55，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))yi＝155.5，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝82.5，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝94.9，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))ti＝15.1，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝4.84，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝24.2，其中ti＝lnxi；取ln11＝2.4，ln36＝3.6.2．參考公式：回歸方程v＝bu＋a中斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do9(i＝1))ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up9(n),\s\do9(i＝1))ui－\x\to(u)2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(u)).3．新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計算方法及稅率表如下：舊個稅稅率表(個稅起征點3500元)新個稅稅率表(個稅起征點5000元)繳稅級數(shù)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點稅率(%)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點－專項附加扣除稅率(%)1不超過1500元的部分3不超過3000元的部分32超過1500元至4500元的部分10超過3000元至12000元的部分103超過4500元至9000元的部分20超過12000元至25000元的部分204超過9000元至35000元的部分25超過25000元至35000元的部分255超過35000元至55000元的部分30超過35000元至55000元的部分30……………[解](1)令t＝lnx，則y＝bt＋a.eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(10),\s\do9(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up9(10),\s\do9(i＝1))ti－\x\to(t)2)＝eq\f(24.2,4.84)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(\o(∑,\s\up9(10),\s\do9(i＝1))yi,10)＝eq\f(155.5,10)＝15.55，eq\x\to(t)＝eq\f(\o(∑,\s\up9(10),\s\do9(i＝1))ti,10)＝eq\f(15.1,10)＝1.51，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(t))＝15.55－5×1.51＝8，所以y關(guān)于t的回歸方程為y＝5t＋8.因為t＝lnx，所以y關(guān)于x的回歸方程為y＝5lnx＋8.(2)由(1)得該IT從業(yè)者36歲時月平均收入為y＝5ln11＋8＝5×2.4＋8＝20(千元)．舊個稅政策下每個月應(yīng)繳納的個人所得稅為1500×3%＋3000×10%＋4500×20%＋(20000－3500－9000)×25%＝3120(元)．新個稅政策下每個月應(yīng)繳納的個人所得稅為3000×3%＋(20000－5000－3000－3000)×10%＝990(元)．故根據(jù)新舊個稅政策，該IT從業(yè)者36歲時每個月少繳納的個人所得稅為3120－990＝2130(元)．選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．(10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(3,5)t,y＝1＋\f(4,5)t))(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(2,1＋sin2θ)，點P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4))).(1)求C的直角坐標(biāo)方程和P的直角坐標(biāo)；(2)設(shè)l與C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，求|PM|.[解](1)由ρ2＝eq\f(2,1＋sin2θ)得ρ2＋ρ2sin2θ＝2①，將ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ代入①并整理得，曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(x，y)，因為點P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，所以x＝ρcosθ＝eq\r(2)coseq\f(π,4)＝1，y＝ρsinθ＝eq\r(2)sineq\f(π,4)＝1.所以點P的直角坐標(biāo)為(1,1)．(2)法一：將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(3,5)t,y＝1＋\f(4,5)t))代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可設(shè)方程的兩根分別為t1，t2，則t1，t2為A，B對應(yīng)的參數(shù)，且t1＋t2＝－eq\f(110,41).依題意，點M對應(yīng)的參數(shù)為eq\f(t1＋t2,2).所以|PM|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2)))＝eq\f(55,41).法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)，y0＝eq\f(y1＋y2,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(3,5)t,y＝1＋\f(4,5)t))，消去t，得y＝eq\f(4,3)x－eq\f(1,3).將y＝eq\f(4,3)x－eq\f(1,3)代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，并整理得41x2－16x－16＝0，因為Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2880＞0，所以x1＋x2＝eq\f(16,41)，x1x2＝－eq\f(16,41).所以x0＝eq\f(8,41)，y0＝eq\f(4,3)x0－eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)×eq\f(8,41)－eq\f(1,3)＝－eq\f(3,41)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,41)，－\f(3,41))).所以|PM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,41)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,41)－1))2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,41)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(44,41)))2)＝eq\f(55,41).23．(10分)[選修4－5：不等式選講]已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|ax－3|(a＞0)．(1)當(dāng)a＝2時，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若y＝f(x)的圖象與x軸圍成直角三角形，求a的值．[解](1)當(dāng)a＝2時，不等式f(x)＞1即|x＋1|－|2x－3|＞1.當(dāng)x≤－1時，原不等式可化為－x－1＋2x－3＞1，解得x＞5，因為x≤－1，所以此時原不等式無解；當(dāng)－1＜x≤eq\f(3,2)時，原不等式可化為x＋1＋2x－3＞1，解得x＞