【2022版】典型高考數(shù)學(xué)試題解讀與變式

考點(diǎn)06指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)

一'知識儲備匯總與命題規(guī)律展望

1.知識儲備匯總：

(1).〃次方根概念與表示

定義一般地，如果爐=〃，那么X叫做4的"次方根，其中〃>1,且〃6N*.

正數(shù)的n次方根是一

個正數(shù)

”是奇數(shù)。的"次方根用符號簫表示

負(fù)數(shù)的〃次方根是一

個負(fù)數(shù)

性質(zhì)

正數(shù)4的正的〃次方根用符號缶表示，負(fù)的〃

及表正數(shù)的n次方根有兩

個，這兩個數(shù)互為相反次方根用符號一缶表示.正的"次方根與負(fù)的

示〃是偶數(shù)

數(shù)

n次方根可以合并寫成土名(a>0).

負(fù)數(shù)沒有偶次方根

0的任何次方根都是0,記作如=0.

(2)根式概念

式子名叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，〃叫做被開方數(shù).

(3)根式的性質(zhì)

a,〃為奇數(shù)

①函）"=〃.②"=?

為偶數(shù);

(4)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

in1*tni

①6（”>0,加,〃eN,且〃>1）,②a〉0,加,N*,且〃>1）

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)某沒有意義

(5)無理數(shù)指數(shù)幕

一般地，無理數(shù)指數(shù)幕43>0,a是無理數(shù))是一個確定的實(shí)數(shù);

(6)實(shí)數(shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)

①ar-as=a,+s（a>0,r,s^R）.②（a‘）'=。"（。>0",s￡R）.

③（a匕）r=a1br{a>0,h>0,rG/?）.

(7)指數(shù)函數(shù)概念：形如y=a、(a>0且awl)函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函

數(shù)定義域?yàn)镽.

(8)指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)

y=axa>\0<4<1

片nr

…普,1

圖像-?半一片1

-c7|~I?0,~

定義域R

值域(0,+oo)

性

過定點(diǎn)(0,1)

質(zhì)

單調(diào)性在(-8,+8)上是增函數(shù)在(-8,+8)上是減函數(shù)

函數(shù)值分布當(dāng)x>0r時,y>1；x<0時，0<><1當(dāng)x>0時，0<><1；x<0時，y>l

(9)指數(shù)函數(shù)在第一象限按逆時針方向底數(shù)依次增大.

2.命題規(guī)律展望：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)概念、圖像、性質(zhì)是歷年的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，常以指數(shù)函數(shù)及

其圖像與性質(zhì)為載體，考查指數(shù)型函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等圖像與性

質(zhì)，特別是以指數(shù)函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)更是考查的重點(diǎn)，難度既有容易題也有中檔題還有

難題，分值常為5分.學(xué)％科網(wǎng)一

二'題型與相關(guān)高考題解讀

1.指數(shù)運(yùn)算

1.1考題展示與解讀

例1.【2020年高考全國I卷文數(shù)8】設(shè)alog34=2,則=()

A.—B.-C.-D.-

16986

【答案】B

【思路導(dǎo)引】首先根據(jù)題中所給的式子,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則，得到log34〃=2，即4“=9，

進(jìn)而求得4“=",得到結(jié)果.

【解析】由alog34=2可得log34"=2,；.半=9，有4一"=g,故選B.

【專家解讀】本題的特點(diǎn)是注重基礎(chǔ)，本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查塞的運(yùn)算性

質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)科素養(yǎng).解題關(guān)鍵是正確進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化.

1.2【典型考題變式】

【變式1：思維變式】已知九,log32=l,則4"=()

A.4B.6C.4啕9D.9

【答案】D

【解析】?.”,log32=l,，x=log23,晦3=4啕9=9,故選D

,、3、，x<01

【變式2：改編條件】已知函數(shù)f(x)=4、，則的值是()

log2x>x>02

A.-1B.3C.D.V3

3

【答案】c

【解析】由題意可得，f(工)=102』=-1，(f(!))=f(-1)=3一|=!，故選c.

§

22223

2*T—1X^1

【變式3：改編結(jié)論】已知函數(shù)/5)=,二一，若/(a)=l,則/(I-4)=()

-log2(3-x),x<1

A.2B.-2

C.1D.-1

【答案】B

【解析】當(dāng)a之1時,20-i-1=1,即a=2,則/(1-a)=-log24=-2>當(dāng)a<1時,-log式3-。)=L即

a=|，不合題意，故f(l-a)=-2應(yīng)選B.

f(x+1),x<4

【變式4：改編問法】已知f(x)=11?、，貝If(k)g23)=()

(y)-x>4

A.B.J-C.1D.1

122442

【答案】B

【解析】由題意的,V2=log24>log23>log22=1,.*.f(log23)=f(l+log23)=f(2+log23)

=f(3+log23)=(1)3+log23=li故選B.

224

2.比較指數(shù)值大小

2.1考題展示與解讀

421

例2【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知a=2?,b=^,c=25§,則()

(A)b<a<c(B)a<b<c(C)b<c<a(D)c<a<b

【命題意圖探究】本題主要考查指數(shù)函數(shù)與黑函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是容易題.

【答案】A

422j22

【解析】因?yàn)閍=2§=4§>45=b,c=253=53>43=a,所以8<a<c,故選A.

【解題能力要求】轉(zhuǎn)化與化歸思想、運(yùn)算求解能力

【方法技巧歸納】比較指數(shù)的大小常常根據(jù)三個數(shù)的結(jié)構(gòu)聯(lián)系相關(guān)的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、

幕函數(shù)的單調(diào)性來判斷，如果兩個數(shù)指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮基函數(shù)的單調(diào)性；如果指

數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；如果涉及到對數(shù)，則一聯(lián)系對數(shù)的單調(diào)性來

解決.

2.2【典型考題變式】

【變式1：改編條件】若0<c<l,則

A.ac<hcB.abc<hac

C.a\oghc<b\ogucD.log/〈log/

【答案】C

【解析1選項(xiàng)A,考慮基函數(shù)y=x,，因?yàn)閏>(),所以y=為增函數(shù)，又。>匕>1,

所以a?！?。。，A錯.對于選項(xiàng)B,abc<bac又y=(2)*是減函數(shù)，所以B

aaa

錯.對于選項(xiàng)D,由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知D錯，故選C.

x

【變式2：改編結(jié)論］已知實(shí)數(shù)x,y滿足a<ay(0<a<l),則下列關(guān)系式恒成立的是()

A.In(x2+l)>ln(y2+l)B.sinx>siny

C.x3>y3D.—>~—

x2+ly2+l

【答案】C

【解析】：實(shí)數(shù)x,y滿足ax<ay(OVaVl),；.x>y,A.取x=2,b=-3,不成立；B.取

x=jt,y=-兀，不成立；C.由于y=x3在R上單調(diào)遞增，因此正確；D.取x=2,y=-1,不

成立，故選C.

【變式3：.改編問法】設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a,"，e"-l的大

小關(guān)系為()

A.e"-1<a<a'B.a'<a<e"—1C.a'<e"-l<aD.a<e"-l<a’

【答案】B

【解析】因?yàn)?)<a<l，所以l<e"<e,相<1,故e"-1最大，而當(dāng)0<a<1時，y=ax

為.遞減函數(shù)，所以#'<“，故選B。

3.含指數(shù)型函數(shù)的圖象應(yīng)用

3.1考題展示與解讀

例3.【2018年理新課標(biāo)I卷】已知函數(shù)/(%)=<‘'*'°'g(x)=/(%)+X+〃.若g(x)

Inx,x>0,

存在2個零點(diǎn)，則。的取值范圍是

()

A.[—1,0)B.[0,+co)C.[-1,+co)D.[1,+co)

【答案】C

【解析】函數(shù)g(x)=/(x)+x+a存在2個零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程/(x)=-x—。有2個

不同的實(shí)根，即函數(shù)/(x)的圖象與直線y=—x—a有2個交點(diǎn)，作出直線丁=一工一。與函

數(shù)/(幻的圖象，如圖所示，由圖可知，一解得故選C.

【解題能力要求】轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想

(方法技巧歸納】己知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法

.(1)直接法：直.接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn).化成求函數(shù)值域問題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形

結(jié)合求解.

3.2【典型考題變式】

【變式1：改編條件】函數(shù)/(X)=2'+log2W的零點(diǎn)個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】令y=2*,y=-log2|x|,在同一直角坐標(biāo)系，作出函數(shù)y=2-'與y=-log2|X

的圖像，如下圖

y

2

^3-2Xl\O1k23x

由圖像可知，函數(shù)“力=2'+蜒2兇的零點(diǎn)個數(shù)為2個.

【變式2：改編結(jié)論】若函數(shù)〃x)=|log“乂一2r(a>O,aHl)的兩個零,點(diǎn)是根,〃，則

()

A.rnn=\B.nm>\C.mn<\D.以上都不對

【答案】C

t解析】由題設(shè)可得|logK=；S,不妨設(shè)4>1,畫出方程兩邊函數(shù)y=|l

ogHj=的圖像如圖,

結(jié)合圖像可知0<m(L力1,且Tog產(chǎn)=；!；，log/=；；；，

以上兩式兩邊相減可得

loga(?MM)=；1j1［<0,所以0<WM<1,應(yīng)選答案C。

,m1n2

【變式3：改編條件和結(jié)論】函數(shù)y=2f一*在［_2,2］的圖像大致為

A.B.

【答案】D

【解析】:y=2>一6同是偶函數(shù)，設(shè)y=2，-eE,則/⑵=2x2?-e?=8-e?,所

以0</(2)<1,所以排除A,B；當(dāng)0領(lǐng)Jx2時，y=2x2-ex,所以y'=4x—e"

又(yy=4-e"當(dāng)0<x<ln4時，(y')'>0,當(dāng)In4cx<2時，(y')'<0，所以

y=4x-e*在(0,ln4)單調(diào)遞增，在(In4,2)單調(diào)遞減，所以y'=4無一e'在［0,2］有

-1W4(ln4-l),所以y'=4x—e'在［0,2］存在零點(diǎn)￡,所以函數(shù)>=2/一"在

［0,￡)單調(diào)遞減,在(￡,2］單調(diào)遞增,排除C,故選D.

指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)

4.1考題展示與解讀

例4.［2021新高考I卷13］已知函數(shù)/(x)=x3(a.2'_2T)是偶函數(shù)，則

【答案】1

【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)。的值.

【解析】V/(x)=x3(a-2x-2-v),故〃—x)=—六。？*—2,),?.?/(X)為偶函數(shù),

3xx3x-A

故/(-x)=/(x),時x(a-2-2-)=-x(a-2--2'),整理得到(a-1)(2'+2)=0,

故a=l,

故答案為：I.

【方法技巧歸納】對指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的問題，對奇偶性的問題，利用奇偶性定義和指數(shù)運(yùn)算

進(jìn)行判定，對已知函數(shù)性質(zhì)，求參數(shù)問題，可以用特值法.

4.2【典型考題變式】

【變式1：改編條件】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,長。)上單調(diào)遞增的是()

cosx

A.y=ln(|x|-l)c.yD.y^ex+e~x

w

【答案】D

【解析】四個函數(shù)均為偶函數(shù)，下面判斷單調(diào)性;

對于A,y=ln(|x|—1)在區(qū)間(0,1］無意義，故A錯誤；

對于B,y=X—：在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞減，故B錯誤；

COSX

對于C,y=cosx為周期函數(shù)，所以y丁在(0,+。。)上不具有單調(diào)性；

對于D,y=e*+e-*是偶函數(shù)，又在(0,+8)上單調(diào)遞增.，故選：口學(xué)@科網(wǎng)

【變式2：改編結(jié)論】若函數(shù)〃x)=l—］七是奇函數(shù)，則使成立的x的取值

范圍是.

【答案】［1,+8)

［解析］由題意得〃x)+/(_x)=0nl_7T三+］_亍三=0=(。_1)(2=1)=0=>4=1

21

X

^1-_^>A=>2>2=>X>1

2+13

【變式3：改編問法】已知函數(shù)必為=q普是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)以乃=?在

(0,+8)±單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【解析】?.?函數(shù)/■(6=嗤1是定義在R上的奇函數(shù)，二函數(shù)r(o)=噤=o,則。=±1，若

函數(shù)g(x)=號=1+g在(0,+8)上單調(diào)遞增，貝必<0，［a=-1，故選A.

4.指數(shù)型函數(shù)與不等式

5.1考題展示與解讀

例5.【2020年高考北京卷6】已知函數(shù)/(外=2'-彳-1,則不等式/。)>0的解集是()

A.(-1,1)B.y,_i)u(i,+8)C.(0,1)

D.(,,0)U(l，+8)

【答案】c

【解析】不等式f(X)>0化為2“>x+l,在同-直角坐標(biāo)系下作出y=2x,y=x+l的圖象(如

圖)，得不等式/(x)>0的解集是(0/)，故選C.

【專家解讀】本題的特點(diǎn)是注重基礎(chǔ)，本題考查了簡單指數(shù)不等式的解法，考查數(shù)形結(jié)合思

想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)直觀學(xué)科素養(yǎng).解題關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象，利用圖象解決問題.

5.2【典型考題變式】

2~x-l,x<0

【變式1：改編條件】函數(shù)f(x)={，滿足f(x)>l的x的取值范圍()

X2.X>O

A.(-1,1)B.(-1,+oo)C.{x|x>0或x<-2}D.{x|x>l或x<-l}

【答案】D

【解析】當(dāng)蟀0時，f(x)>1即2X>2=21,/.-x>l,x<-1,當(dāng)x>0時，f(x)>1即

2

x>bx>l,綜上，x<-1或x>l,故選D.

【變式2：改編結(jié)論】設(shè)/■(4)=弓尸一爐，已知0<a<b<c,且若%o

是函數(shù)“幻的一個零點(diǎn)，則下列不等式不可能成立的是()

A.x0<aB.0<x0<1C.b<XQ<CD.a<xQ<b

【答案】D

【解析】因/■'(%)=(1)xlni-3x2,且(療>0,嗎<0,-3/±0,故

/■，(x)=(i)xln|-3x2<0.即函數(shù)〃?=(?*—爐單調(diào)遞減，即該函數(shù)只有一個零點(diǎn)，因

此若x(j<a,則0>/(a)>f(b)>/(c］，即/'(al/Xb)/。:)<0成立，答案A正確；因

/■(1)=1-1<0，若xo<l<a<b<c,貝ijf(a)>O,f(b)>0,f(c)<0，若

0<%o<a<1<b<c,則/'(a)■/1(bl/XGCO也成立，故答案B正確。若b<而<c,則

/(a)>O,f(b)>0J?<0,則有<0成立，故答案C正確：若a<孫<b,

則/"(a)>O,f(b)<OJ(c)<0,，則<0不成立，應(yīng)選答案D。

【變式3：改編問法】函數(shù)/(x)=，2*-；+也(1一九)的定義域是()

A.[-1,2)B.(-2,1)C.(-2,1]D.[-2,1)

【答案】D

2X—1>0

【解析】由題意得，{「陶=>-2<x<1,故函數(shù)“X)的定義域?yàn)閇—2,1),故選D.學(xué)。

科網(wǎng)

5.指數(shù)型函數(shù)方程

6.1考題展示與解讀

例6【2015高考山東，理10]設(shè)函數(shù)/(x)T,，則滿足/(/(a))=2/?的a取

2,x21

值范圍是()

■?1「2\

(A)-,1(B)[0,1](C)-,+oo(D)[l,+oo)

-3」|_3J

【命題意圖探究】本題主要考查分段函數(shù)、函數(shù)方程及分類整合思想，是難題.

【答案】C

【解析】當(dāng)。之1時，f(a)=2a>l,所以，/(/(?))=2/(a，,即a>1符合題意.

22

當(dāng)時，"4)=為一1若/(〃可)=2m'，則/9)21,en：3a-l>La>-，所以

適合題意綜上，a的取值范圍是[故選C.

【解題能力要求】運(yùn)算求解能力、分類整合思想

【方法技巧歸納】方程/(x)=0的根的個數(shù)等價(jià)于函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù),

若函數(shù)y=/(x)的圖象不易畫出，可以通過等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)

個數(shù)問題.

6.2【典型考題變式】

【變式1：改編條件】設(shè)函數(shù)/(x)={2，X~Q，若對于任意給定的ye(2,+oo)都存

log2x,x>0

在唯一的xeR,滿足/(/(x))=2a2y2+沖，則正實(shí)數(shù)a的最小值是()

A.2B.-C.-D.4

24

【答案】C

【解析】函數(shù)〃上{?*>0的值域?yàn)閱T

,.,/(x)=2x,(xC0)的值域?yàn)?0J;/(x)=7og,x(x>0)的值域?yàn)榉?/p>

..4x)的值域?yàn)?0J上有兩個解,

要想/(/(切=2『/+④在［E。y)上只有唯一的x€R滿足，

必有/(/(X))>l(2fl>2+ay>0).

..<x)>2即7og?x>2,解得：x>4.

當(dāng)r>4時n與加(x))存在一一對應(yīng)的關(guān)系。

二問題轉(zhuǎn)化為2a2y2+丹〉Lye(Z+oo)，且必).

??.(2@T)0+i)>0解得：y>^~或者y<-1(舍去).

2aa

，W2彳導(dǎo):9故選C.

2a4

X

【變式2：改編結(jié)論】已知函數(shù)/(6=區(qū)^-<x<e2^,與函數(shù)g(x)=e),若/(x)

與g(x)的圖象上分別存在點(diǎn)M,N,使得MN關(guān)于直線y=x對稱，則實(shí)數(shù)上的取值范圍

是().

1］「2］(2、「3一

A.—,cB.—,2eC.—,2eD..—,3e

_e\eJ\e)Le

【答案】B

【解析】由題設(shè)問題可化為函數(shù)y=g(x)的反函數(shù)y=loggx的圖像與/(%)=依在區(qū)間

丁磊］上有解的問題。即方程近=log『在區(qū)間［7/］上有解，由此可得-4〈依《2,

422F2

即一一<k<~,所以一一<k<2e,應(yīng)填答案——,2e。

xxe\_e

【變式3：改編問法】設(shè)函數(shù)/(力={1「",若互不相等的實(shí)數(shù)Q/,C滿足

-x+5,x>2

/(a)=/(》)=/(c),則2"+2”+2c的取值范圍是()

A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)

【答案】B

【解析】畫出函數(shù)/（x）的圖象如圖所示，不妨令a<b〈c,則1—2"=2"—1,則

2"+2”=2.結(jié)合圖象可得4<c<5,故16<2'<32,...18<2"+2〃+2'<34.選B.學(xué)

科#網(wǎng)

三'課本試題探源

必修1P62頁習(xí)題2.1B第1題：求不等式。2口>。且。71）中x的取值范圍.

【解析】當(dāng)0<a<l時，y=a*在區(qū)間+~）上是減函數(shù)，所以原不等式等價(jià)于

2x-7v4x-l,解得1>-3；

當(dāng)。>1時，丁=優(yōu)在區(qū)間（-8,+8）上是增函數(shù)，所以原不等式等價(jià)于2x—7>4x—1,

解得x>—3>

綜上所述，當(dāng)0<。<1時，x的取值范圍為（一3,+8）；當(dāng)a>l時，x的取值范圍為（一8,-3）.

四'典型高考模擬試題演練

一、單選題

2

1.（2021?陜西高三其他模擬（理））已知函數(shù)〃、）=不行（4>1）,給出下列四個命題：

①〃x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)；

②g（x）="x）-l是非奇非偶函數(shù)；

③/z（x）=/'（x）+/（l-X）的圖象關(guān)于直線x=l對稱；

④F（X）=|〃X）T是偶函數(shù)且有唯一一個零點(diǎn).

其中真命題有（）

A.①③B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【分析】

利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法判斷〃》）=島（。>1）單調(diào)性，判斷g（-x）+g（x）=0是否成立

即可判斷g(x)的奇偶性，應(yīng)用特殊值求出M。)、力⑵，反證法判斷圖象是否關(guān)于直線x=l

對稱，利用尸(x)=V(x)-l|的性質(zhì)即可確定零點(diǎn)的個數(shù).

【詳解】

29

函數(shù)f(x)=/w(a>l)可看成函數(shù)〃=優(yōu)+1(〃>1)與函數(shù)y=￡的復(fù)合函數(shù)，

2

①函數(shù)“在R上是增函數(shù)，函數(shù)y在(0,+?)上是減函數(shù)，故f(x)在定義

域內(nèi)是減函數(shù)，真命題；

②g(x)=y(x)-l=-^-l,且g(T)+g(x)=0,故g(x)是奇函數(shù),假命題；

③〃(O)=/(O)+f⑴=1+高，〃(2)=〃2)+/(-1)=島+葛，若〃(0)=〃(2),則。=1,

假命題；

④g(x)=/(x)—l是奇函數(shù)，則*x)=|/(x)-l|是偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，

產(chǎn)(》)=/四一1|=1一品在(0,+?)上是增函數(shù)，故F(x)>F(0)=0,函數(shù)有唯一個零

點(diǎn)0,真命題.

故選：D.

2.(2021.四川省綿陽南山中學(xué)高三其他模擬(文))函數(shù)/")=的圖象大致為()

【答案】B

【分析】

先判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A,再根據(jù)/(1)>1排除選項(xiàng)D,又當(dāng)x―物時，f(x)f+=?,

排除選項(xiàng)C,即得解.

【詳解】

由題得{RXKO},函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

/(-x)=一r-='?「=-/(x),所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，

所以排除選項(xiàng)A：

又,(1)=一『>0,所以排除選項(xiàng)D：

又當(dāng)xf3時，f(x)=《士，e-'fO,指數(shù)函數(shù)丫=?，是爆炸式增長，所以+oo,

XX

/(x)~+8,所以排除選項(xiàng)C；

故選：B

3.(2021?全國高三其他模擬(理))已知。月=則下列結(jié)論一定正確

a〃+1

的是()

A.ln(tz+Z?)>2B.ln(a-/?)>0

C.2U+1<2bD.2rt+2ft<23

【答案】B

【分析】

(,a+1/J+l1paJ+l1

a>tb>\,且J=即J=—+」_得一一上—二，>o,構(gòu)造函數(shù)

a/?+1ab+1b+1ab+1b+1

f(x)=￡,x>l,求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得函數(shù)單調(diào)遞增，利用/(。)-/。+1)>0得

a-b>\,結(jié)合賦值法即可判斷出結(jié)果.

【詳解】

.,...eb+'+\印""1陽e"eM1八

a>\,b>l,且一=-----，即一=----+----得--------=---->0

ab+\ab+\b+\ab+\b+\

設(shè)〃x)=?,x>l,

則/（"=￡與11>0恒成立,

在（1，茁）上單調(diào)遞增,

/、/xea尸1

a>b+\,即。一〃>1,

故ln（a-b）>0,B正確；

令。=42=2滿足。-6>1,但山（。+與>2不成立，故A錯誤;

令。=41=2滿足4一萬>1,2"+I<2’不成立，故C錯誤；

令。=41=2滿足。―匕>1,2"+2”<23不成立，故D錯誤；

故選：B.

4.（2021?全國高三其他模擬（理））已知函數(shù)〃x）為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，/（x）=2'+2,

則〃1）=（）

A.-4B.--C.4D.-

22

【答案】B

【分析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)有f⑴,結(jié)合x<0的函數(shù)解析式即可求值.

【詳解】

由題設(shè)知：/(D=-/(-D=-(2-1+2)=-1.

故選：B

5.（2021.山東高三其他模擬）已知函數(shù)/（x）=|U'（:<D，滿足對任意西工々，都

（?-2）x+3a,（x>l）

有3^J<o成立，則。的取值范圍是（）

占一尤2

A.?e（0,l）B.ae,C.ae（0,1D.?e：,2）

【答案】C

【分析】

將條件"*）［"*）<0等價(jià)于函數(shù)函數(shù)〃x）為定義域上的單調(diào)減函數(shù)，由分段函數(shù)的單

X\~X2

調(diào)性要求，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、詼函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于。的不等式組，求解即得.

【詳解】

由題意，函數(shù)/%）對任意的x戶馬都有<0成立，

ax-',(x<l)

即函數(shù)f（x）=為R上的減函數(shù),

(Q-2)X+3〃,(XN1)

0<a<l

可得，a-2<0，解得0<“43,

4

\>a-2+3a

故選:C.

,2、

3/［\log—3

6.（2021?全國高三其他模擬（理））若a=5'叼/=仁］31=（6廣f，則（）

A.c>a>hB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【分析】

根據(jù)指對數(shù)運(yùn)算法則化簡成相同真數(shù)，底數(shù)不同的對數(shù)式，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得

數(shù)的大小關(guān)系.

【詳解】

23|33

由指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)知，6=5"叼=5"呵,c=5”叼=5,臉，

333

貝U由log2->log?->log4-知

5陛4>5吹尚>5^4,U\ia>b>c

故選：D

7.（2021?全國高三其他模擬）設(shè)xeR,則“4、>2'''是。>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】

把命題4，>2,化簡為x>0,再考查以x>0,x>l分別為題設(shè)，結(jié)論和結(jié)論，題設(shè)的兩個

命題真假即可作答.

【詳解】

因4'>2*。22*>2'o2x>xox>0,

乂x>0&x>l,而x>l=x>0,即“x>0"是"x>l"的必要不充分條件，

所以“4、>2,”是“x>l”的必要不充分條件.

故選：B

8.（2021?全國高三其他模擬）毛衣柜里的樟腦丸會隨著時間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新

丸體積為。，經(jīng)過f天后體積V與天數(shù)r的關(guān)系式為丫若新丸經(jīng)過50天后，體積變

為丁,則一個新丸體積變?yōu)辄c(diǎn)〃需經(jīng)過的時間為（）

A.125天B.100天C.75天D.50天

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意將當(dāng)t=50時代入計(jì)算出e"=夠，然后再代入計(jì)算即可求出結(jié)果.

【詳解】

解析：由題意知a>0,當(dāng)f=50時，有=

嗚=（"「得白哂

QQ

所以當(dāng)丫=丁。時，有=4=小0”.

所以，=75.

故選：C

9.（2021?遼寧高三其他模擬）漁民出海打魚，為了保證運(yùn)回魚的新鮮度（以魚肉內(nèi)的三甲

胺的多少來確定魚的新鮮度，三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細(xì)菌分解

產(chǎn)生的，三甲胺積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質(zhì)，進(jìn)而腐敗），負(fù)被打上船后，

要在最短的時間內(nèi)將其分揀，冷藏，已知某種魚失去的新鮮度力與其出海后時間?（分）滿足

的函數(shù)關(guān)系式為〃（f）=〃?”'，若出海后20分這種魚失去的新鮮度為20%；出海后30分鐘，

這種魚失去的新鮮度為40%,那么若不及時處理，打上船的這種魚大約在多長時間剛好失

去50%的新鮮度（）考數(shù)據(jù)：lg2“0.3

A.23分鐘B.33分鐘C.50分鐘D.56分鐘

【答案】B

【分析】

h（2O}=ma20=0.2（1Y（1Y

由題得3。八，，解方程可得Mt）=0°5x2博，再解方程0.05x21。=0.5即

h[30）=ma=0.4v7（J（J

可得答案.

【詳解】

/?（20）=ma2{}=0.2i

由題意可得%（30）=.3。=0.4'解得°=2而，瓶=0.05.

（_i_V

/?（?）=0.05x2記.

令力⑺=0.05x2,=0.5,即2三=10，

兩邊同時取對數(shù)，故"10?譬=33分鐘

1g2

故選：B

10.（2021.湖南高三其他模擬）若a=0.3°7,b=0.1°3,c=1.2°\則a,b,c的大小關(guān)系

是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與暴函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定。，瓦c的范圍，對于a,b需要借助中間數(shù)據(jù)0.303進(jìn)

行比較，然后與。比較大小即可.

【詳解】

???函數(shù)y=0.3"在/?上是減函數(shù)，

.?.0<0.3°7<0.3°3<0.3°=1,

又,基函數(shù)y=X03在（0,+8）上單調(diào)遞增，0.3<0.7,

.-.0<0.3°3<0.7°-3.所以

而函數(shù)y=1.2,是R上增函數(shù)，

.-.C=1.203>1.2°=1,:.c>b>a

故選：B.

11.（2021?河北唐山一中高三其他模擬）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)凡是指在沒有外力介入，

同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).凡一般由疾病的感染周期、

感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.假設(shè)某種傳染病的基本傳染

數(shù)以=3.8,平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要

（）輪傳染？（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這4個人每人再傳染幾個人為

第二輪傳染……）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意列出方程，利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【詳解】

感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染，

則每輪新增感染人數(shù)為7V,

經(jīng)過〃輪傳染，總共感染人數(shù)為：

+|

1+9+琉+…I_/2?

1一%

1_□Qzr+I

即——：—=1000,解得〃a4.94,

1-3.8

所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要5輪傳染，

故選：B

【點(diǎn)睛】

等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等

比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式時,

應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程.

12.（2021?重慶一中高三其他模擬）已知〃力=加+加是定義在［。-1,2目上的偶函數(shù)，那

么y=/（a"+。）的最大值是（）

A.1B.-C.5/3D.—

3、27

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義分析“、6的值，即可得），=八。”+力的解析式，由復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性的判斷方法分析￥=/（"'+與的單調(diào)性，據(jù)此分析可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，/（6=加+區(qū)是定義在ST,20上的偶函數(shù)，則有（。-1）+2。=3?-1=（）,

則a=；,

同時/（一x）=/（x），即at2+加=〃（_幻2+力（_l），則有法=0,必有6=0,

則/*）=$2,其定義域?yàn)椋?］,|］,

11o107

則y=/（?"+力=力（尹，設(shè)r=（-）",若--W-）"則有?-.-iog3->o,

2

在區(qū)間［-iog3§，+?）上，r>0且為減函數(shù)，

一。）=31/在區(qū)間（0,9上為增函數(shù)，

1224

則產(chǎn)〃（$"］在「1。5；，+8）上為減函數(shù)，其最大值為/（1=方■,

故選：D.

2

13.（2021?全國高三其他模擬（文））（墨.

1Q

【答案】H

【分析】

利用指數(shù)塞和對數(shù)的運(yùn)算宜接求出.

【詳解】

1Q

故答案為：

14.（2021?上海市青浦高級中學(xué)局三其他模擬）已知常數(shù)。>0,函數(shù)/*）=J一的圖象

經(jīng)過點(diǎn)尸（P，g）、。（4，-"）,若2i=16pq,貝心=一。

【答案】4:

【分析】

首先將點(diǎn)P,。代入函數(shù)，并且變形為羅=-：，翁=-6,兩式相乘并結(jié)合已知條件即可求

【詳解】

2"_6_1_6

由條件可知于石=二=搟=二，得景1①

T_1_1___]_

2"+aq~~5^~~aq~~5，得翳=-6(2)

1+F2

①X②得立￡=1,

-2Pq

?/2p+q=16pq

2

=1,又。＞0,得。=4.

16

故答案為：4

15.(2021?四川高三三模(理))函數(shù)/U),g(x)分別是定義在H上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且

J(x)+2g(x)=ex,若對任意x￡(0,2],不等式y(tǒng)(2x)-mg(x)N0成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

【答案】(―，4夜]

【分析】由函數(shù)的奇偶性列方程組求解函數(shù)./U),g(x)的解析式，由_X2x)-〃?g(x巨0分離參數(shù)

得m4華?，通過換元法構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合基本不等式求取最值即可有結(jié)果.

g(x)

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)兀)g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，旦./U)+2g(x)=e',①

可得“一力+2g(-x)=el即/(%)-2g(x)=e-*,②

聯(lián)立①②，解得/(x)=；(，+eT),g(x)=；(e'-e-'),

設(shè)/=ex—e~x,

由不￡(0,2],可得，由"爐_二在xc(O,2]遞增，可得"(0,/—二),

對任意x￡(0,2],不等式人2戈)-〃吆(工巨0成立，

即m<〃2x)_2"/)2x丫+2產(chǎn)+2J2)

g(x)tLt)

又由f?0,e2—e-2],piij/+1>2>/2,

當(dāng)且僅當(dāng)f=0時等號成立，

貝ij止a=2x佇*l^=2x匚土2=2X(7+2]的最小值為4及，

g(x)e-，t<t)

若m?1((J在(°2]上恒成立，必有機(jī)《4\萬，

即用的取值范圍為(—co,4^2J

故答案為：(-8,4a].

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：

(1)函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決：

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

16.(2021.浙江學(xué)軍中學(xué)高三其他模擬)已知函數(shù)/(x)=—三+彳3>0,"1)名。)=，

若對任意的不等式/(x)g(x-l)<3-"x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】(0，1)U(2,+8)

【分析】

113

/(x)g(x-l)<3-/(X)恒成立等價(jià)于滔、+]-；X<0恒成立，構(gòu)造函數(shù)/I(x)

113

=士+；-；犬，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.

a'-122

【詳解】

8(工)=寧，g(x-l)=^—

1+XX

a-I2

因此/(x)g(x-l)<3-/(x),BP/(x)[g(x-l)+l]<3

,.,xe[l,+oo)

當(dāng)“>1時，〃(x)<0,即網(wǎng)力在xefl,y)上單調(diào)遞減

???〃(》)3=可1)=二1+51一：3<。解得。>2

U—1Z乙

故。＞2

1

當(dāng)0＜。＜1時，-y—＜0,則力（力=J1+

u—1“-122\2z.）

即當(dāng)0＜。＜1時，//（犬）＜0在》€(wěn)口,+8）恒成立

綜上：?e（0,1）U（2,a）

故答案為：（0,1）U（2,+8）

【點(diǎn)睛】

恒成立問題解題思路：

（1）參變量分離：

（2）構(gòu)造函數(shù)：①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；②構(gòu)

造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之后參數(shù)分離即可解決問題.

17.（2021.湖南高三其他模擬）已知函數(shù)/"）=優(yōu)3＞0且"1）的圖像過點(diǎn)A（-3,8）.

（1）求函數(shù).f（x）的解析式；

（2）若函數(shù)/（x）在區(qū)間何2向上的最大值是最小值的4倍，求實(shí)數(shù)加的值.

【答案】（1）/