函數(shù)的基本性質一一奇偶性

【學習目標】

1.理解函數(shù)的奇偶性定義；

2.會利用圖象和定義判斷函數(shù)的奇偶性；

3.掌握利用函數(shù)性質在解決有關綜合問題方面的應用。

【學習重難點】

1.學習重點：函數(shù)奇偶性概念的形成和函數(shù)奇偶性的判斷。

2.學習難點：理解函數(shù)奇偶性的概念，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法

【學習過程】

要點一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟

1.函數(shù)奇偶性的概念

偶函數(shù)：若對于定義域內的任意一個X,都有〃-x)=_f(x),那么/(X)稱為偶函數(shù)。

奇函數(shù)：若對于定義域內的任意一個X,都有“_x)=-/(x),那么/(X)稱為奇函數(shù)。

要點詮釋：

(1)奇偶性是整體性質；

(2)x在定義域中，那么-X在定義域中嗎？一一具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關

于原點對稱的；

(3)/(一彳"/⑴的等價形式為：/(x)-/(-x)=O,止2=l(/(x-0),

/(x)

〃T)=-/(x)的等價形式為：/(%)+/(-%)=0,與?=T(/(x)wO)；

f(x)

(4)由定義不難得出若一個函數(shù)是奇函數(shù)且在原點有定義，則必有/(x)=0；

(5)若/(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有/(x)=0.

2.奇偶函數(shù)的圖象與性質

(1)如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖

形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函

數(shù)。

(2)如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關于y軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關于

y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)。

3.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟

(1)求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，

則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關于原點對稱，則進行下一步；

(2)結合函數(shù)/(x)的定義域，化簡函數(shù))(x)的解析式；

(3)求/(-X),可根據(jù)/(-X)與“X)之間的關系，判斷函數(shù)“X)的奇偶性。

若/(-%)=-/(%),則/(%)是奇函數(shù)；

若,則/(%)是偶函數(shù)；

若/(-X)H±/(x),則/(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；

若/(-X)=/(X)且/(-%)=-/(%),則/(X)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)

要點二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法

(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也

不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關于原點對稱的，再判斷/(-X)與±/(x)之一是否相等。

(2)驗證法：在判斷了(-X)與/(x)的關系時，只需驗證/(-x)±/(x)=O及正至=±1是否成

/(X)

立即可。

(3)圖象法：奇(偶)函數(shù)等價于它的圖象關于原點(y軸)對稱。

(4)性質法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的

積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。

(5)分段函數(shù)奇偶性的判斷

判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷。在函數(shù)定義域內，對自變量x的不同取

值范圍，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)。分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個

函數(shù)。因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，然后判斷了(-X)與/(x)的

關系。首先要特別注意尤與r的范圍，然后將它代入相應段的函數(shù)表達式中，與/(-X)對

應不同的表達式，而它們的結果按奇偶函數(shù)的定義進行比較。

要點三、關于函數(shù)奇偶性的常見結論

奇函數(shù)在其對稱區(qū)間可和上具有相同的單調性，即已知/⑴是奇函數(shù)，它在區(qū)

間上是增函數(shù)（減函數(shù)），則/（x）在區(qū)間［-4-句上也是增函數(shù)（減函數(shù)）；偶函數(shù)在其對

稱區(qū)間［a,b］和［-b,-a］上具有相反的單調性，即已知/⑴是偶函數(shù)且在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)

（減函數(shù)），則f（x）在區(qū)間［-4-句上也是減函數(shù)（增函數(shù)）。

類型一、判斷函數(shù)的奇偶性

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性:

⑴〃x)=(x+D]尸；

(2)/(x)=x2-41x|+3；

V1+x

(3)/(x)=|x+3|-|x-3|；(4)/(%)=

\x+2\-2

2

/八-X+x(x>0)(6)/(x)=g[g(x)-g(—x)](xeR)。

(5)/(%)=2'；

x+x(x<0)

思路點撥.利用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷。

答案：（1）非奇非偶函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）奇函數(shù)；（4）奇函數(shù)；（5）奇函數(shù)；（6）奇

函數(shù)。

解析；

（1）???/（尤）的定義域為（-1』，不關于原點對稱，因此/（無）為非奇非偶函數(shù);

(2)對任意xeR,都有—xeR,且/'(-x)=/-4國+3=f(x),則/(尤)=公-4國+3為偶函

數(shù)；

(3),?xeR,f(—x)=|—x+31—|—x-31=|x—31—|x+31=—f(x),??/(x)為奇函數(shù)；

1-x2>0

(4)Q/.XG[-1,0)U(0,1]

x+2w±2xw0且％w-4

(x+2)-2x

/(_x)=JEEIE==_/(x),/co為奇函數(shù);

(5)xGR,/(x)=-x|x|+x

.#*f(-x)=一(一％)|—x|+(-x)=XIX|—X=—f{x)，

???/(x)為奇函數(shù)；

(6)*.*/(-x)=|{g(-x)-g[-(-j：)]}=^[g(-x)-g(x)]=-f(x),

/(x)為奇函數(shù)。

總結升華,判定函數(shù)奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數(shù)的定義域。函數(shù)的定義域關于

原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，因此研究函數(shù)的奇偶性必須“堅持定義域優(yōu)先”的原

則，即優(yōu)先研究函數(shù)的定義域，否則就會做無用功。如在本例(4)中若不研究定義域，在去

掉|x+2|的絕對值符號時就十分麻煩。

舉一反三：

變式L判斷下列函數(shù)的奇偶性：

3x21*?+2Y

(1)/(x)=^—；(2)/(x)=|x+l|+|x—1|；(3)/?=-――；

x+2x-l(x<0)

(4)/(x)=<0(x=0)o

—x+2x+1(x>0)

答案：(1)奇函數(shù)；(2)偶函數(shù)；(3)非奇非偶函數(shù)；(4)奇函數(shù)。

解析；

(1)/⑺的定義域是R,

又/(-%)=，”)=一^^=-/(%)，；J(x)是奇函數(shù)。

(-%)-+3x+3

(2)的定義域是R,

又/(-x)M-x+l|+|-x-l|=|x-l|+|x+l|=/(x),.?./(%)是偶函數(shù)。

(3)函數(shù)定義域為xf-1,定義域不關于原點對稱，.../(x)為非奇非偶函數(shù)。

(4)任取則-x<0,/(-x)=(-x)2+2(-x)-l=x2-2x-l=-^-x2+2x+l^=-/(x)

任取x<0,則_%>0,/(-x)=-(-x)2+2(-x)+l--x2-2x+l=-^x2+2x-l^=-f(x)

x=0時，/(0)=-/(0).，.xeR時，/(—x)=—/(x)_f(x)為奇函數(shù)。

變式2：

已知/(x),g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證：/(x)+g(x)為奇函數(shù)，/(x)?g(x)為偶

函數(shù)。

證明：設/(x)=/(X)+g(x)，G(x)=/(xAg(x)則

尸(一X)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=~[f(x)+g(x)]=-f(x)

G(—x)=f(-x)-g(-x)=-/(%)■[—g(x)]=/(%)-g(x)=G(x)

.../(x)+g(x)為奇函數(shù)，/(x)?g(x)為偶函數(shù)。

變式3,

設函數(shù)/(x)和g(尤)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結論

恒成立的是()o

A.y(x)+|g(x)|是偶函數(shù)

B./(x)-|g(x)|是奇函數(shù)

C.|/(x)|+g(x)是偶函數(shù)

D.|/(x)|-g(x)是奇函數(shù)

答案,A

類型二、函數(shù)奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合)

例2.已知/(%)=尤5+辦3-法-8,且/(—2)=10,求/⑵。

答案「26

解析,法一：,/f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8^-40-8a+2b=10

/.8fl-2Z?=-50

/(2)=25+23a—2b—8=8a—2b+24=—50+24=—26

法二：令g(x)=/(x)+8易證g(x)為奇函數(shù)

g(-2)=_g⑵

??y(—2)+8=—y(2)—8

/(2)=-/(-2)-16=-10-16=-26.

總結升華:本題要會對已知式進行變形，得出/6)+8=/+仆3_法為奇函數(shù)，這是本題的

關鍵之處，從而問題g(2)便能迎刃而解。

舉一反三：

變式L已知為奇函數(shù)，g(x)=/(%)+9,g(-2)=3,則/(2)為()o

答案,6

解析：g(-2)=/(-2)+9=3,BIJ/C-2)=-6,又為奇函數(shù)，所以/(2)=-/(-2)=6。

例3.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，/(X)=X2+3X-1,求/⑺的解析式。

x2+3x-1,x>0,

答案：f(x)=-0,x=0,

—x~+3x+1,x<0.

解析：Q/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

/(-%)=-/(x),,當x<0時，-x>0,

.,"⑴=-A-X)=-[(-x)2+3(-x)-l]

=-f+3x+1

又奇函數(shù)/(X)在原點有定義，/(0)=0o

x2+3x-1,x>0,

/(x)=?0,x-Q,

—x~+3x+1,x<0.

總結升華，若奇函數(shù)/(X)在x=0處有意義，則必有/(0)=0,即它的圖象必過原點(0,0)。

舉一反三：

變式1

(1)已知偶函數(shù)/(x)的定義域是R,當xWO時/(x)=--3x-1,求/(x)的解析式。

(2)已知奇函數(shù)g(x)的定義域是R,當xVO時，g(x)=f+2x-l,求g(x)的解析式。

x2+2x-l(x>0)

公安r，XX+3x—l(x>0)、

合菜：(1)/(%)=〈c；(2)g(x)=<0(元=0)

x2-3x-l(x<0)

-x2+2x+l(x<0)

例4.設定義在［-2,2］上的偶函數(shù)/(x)在［0,2］上是單調遞增，當/(〃+1)</3)時，求。的取

值范圍。

答案：-2<a<-—

2

解析：Vf(a-l)<f(A)

而|a+l|,|a|e[0,2]

|a+11<|a|2o+l<0

<-2<a+1<2<-3<67<1:.-2<a<--o

2

-2<a<2-2<a<2

總結升華：若一個函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，則一定有/(x)=/(|x|),這樣就減少了討論的麻煩。

類型三、函數(shù)奇偶性的綜合問題

例5.設a為實數(shù)，函數(shù)〃尤)=/+,_4+：!,xeR,試討論/(x)的奇偶性，并求/(x)的最

小值。

思路點撥：對。進行討論，把絕對值去掉，然后把廣(X)轉化成二次函數(shù)求最值問題。

答案：當a=O時，函數(shù)為偶函數(shù)；當a#0時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。當工時，

2

Q1Q11

+

/Wlmin=--?；a>］時，/Wlmin=-?；當一/<。<耳時，/(%)Imin=/+］。

解析：當a=0時，f(x)=x-+\x-a\+l,此時函數(shù)為偶函數(shù)；

當。#0時，y(x)=x2+|x-a|+l?為非奇非偶函數(shù)。

1Q

2a

(1)當入2Q時，/(x)=(J；+—)+—~

①G4一2時,函數(shù)/(%)在［〃,+8)的最小值為/(-；)］-a,且/f—/(a).

2

②a〉-；時，函數(shù)/(x)在+8)上單調遞增,

/(%)在［。,+8)上的最小值為/(A)=tz2+1.

(2)當xva時,J/(?/X、)=X2_%+〃+1］=(/X—-l、)2+6Z+—3

①時，函數(shù)/'(x)在(但,可上單調遞減，，/(x)在(。，a］上的最小值為/(a)=/+1

②時，/(x)在(-8,句上的最小值為/(g)=1+a,>(1)</(?).

1313

綜上:時,/(x)1mhi="a；a>］時，/^)\^=-+a;

時，/(X)Lin=/+l。

舉一反三：

變式L判斷/(x)=|x+a|-|x-a|(aeR)的奇偶性。

答案.當a=0時，函數(shù)/(尤)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

當4W0時，函數(shù)/(x)是奇函數(shù)。

解析.對。進行分類討論。

若4=0,則f(x)=|x|—I尤1=0。

QxwA,定義域R關于原點對稱，.?.函數(shù)/(x)既