正則變換

正則變換正則變換的目的：通過(guò)構(gòu)造新的Hamilton函數(shù)，該系統(tǒng)具有更簡(jiǎn)潔的正則形式和更多的循環(huán)坐標(biāo)，即得到系統(tǒng)更多的首次積分，且保證正則方程的形式不變。正則變換（Canonicaltransformation）母函數(shù)的各種形式

2正則變換(Canonicaltransformation)點(diǎn)變換描述同一力學(xué)系統(tǒng)可以采用不同的廣義坐標(biāo)，如q1,q2,…,qk和Q1,Q2,…,Qk，二者之間存在著一定的變換關(guān)系

上述變換是將一組舊廣義坐標(biāo)q1,q2,…,qk所確定的位形空間中的一個(gè)點(diǎn)，變換到一組新廣義坐標(biāo)Q1,Q2,…,Qk所確定的位形空間中的一個(gè)點(diǎn)。這種變換稱為點(diǎn)變換。

點(diǎn)變換不影響Lagrange方程的結(jié)構(gòu)。

3正則變換(Canonicaltransformation)

正則變量：q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk

正則變量（共軛變量）：Q1,Q2,…,Qk,P1,P2,…,Pk

變換關(guān)系：(正則變換)對(duì)舊的正則變量，正則方程為

正則變換(Canonicaltransformation)4通過(guò)變換，舊的Hamilton函數(shù)H=H(qj,pj,t)變換成新的Hamilton函數(shù)H*=H*(Qj,Pj,t)，且保持正則方程的形式不變，即

變量Q1,Q2,…,Qk,P1,P2,…,Pk仍稱為正則變量或共軛變量。相空間的變換并非全為正則變換，如何構(gòu)成正則變換？（兩組變量需滿足什么條件才能實(shí)現(xiàn)正則變換）要求：1.H*函數(shù)更簡(jiǎn)潔

2.有更多的循環(huán)坐標(biāo)

3.新變量表示的動(dòng)力學(xué)方程仍為正則的、簡(jiǎn)單、對(duì)稱。正則變換(Canonicaltransformation)5新舊兩組正則變量q、p和Q、P均應(yīng)滿足Hamilton原理即上面兩式同時(shí)成立時(shí)，兩個(gè)被積函數(shù)并非完全相等，可以相差任一函數(shù)F對(duì)時(shí)間t的全導(dǎo)數(shù)。如設(shè)F是q、Q和t的函數(shù)

由于系統(tǒng)在始末位置是確定的，則正則變換(Canonicaltransformation)6的構(gòu)造方法如下：對(duì)上式乘以dt，可變?yōu)檎齽t變換成立的充要條件是：變換式使得兩個(gè)微分式與的差等于某個(gè)函數(shù)F(q,Q,t)的全微分。正則變換(Canonicaltransformation)7將上式改寫成比較各項(xiàng)的系數(shù)，可以得到如下變換關(guān)系舊變量對(duì)F的關(guān)系新變量對(duì)F的關(guān)系新舊H函數(shù)關(guān)系變換是否為正則變換依賴于任意函數(shù)F(q,Q,t)的選擇，F(xiàn)稱為母函數(shù)。

正則變換(Canonicaltransformation)8母函數(shù)F如不含時(shí)間t時(shí)，有H*=H

一般情況下，當(dāng)給出了一組變換式以后，可根據(jù)微分式來(lái)判別變換是否為正則的.若給出一個(gè)母函數(shù)F，可由下式得到一組正則變換。在正則變換中，由于變換的廣泛性，使得經(jīng)過(guò)變換后的新變量可能不再具有原來(lái)物理意義上的“坐標(biāo)”和“動(dòng)量”了。正則變換(Canonicaltransformation)9母函數(shù)的各種形式為了實(shí)現(xiàn)兩組正則變量的變換，母函數(shù)F必須是包括兩組變量的函數(shù)。由于4k個(gè)兩組正則變量和時(shí)間t通過(guò)2k個(gè)變換關(guān)系聯(lián)系著，所以其中只有2k+1個(gè)變量是獨(dú)立的。母函數(shù)F在這2k個(gè)變量中要求兩組變量各占一半，只含新變量或只含舊變量均不能使下式成立。因此，母函數(shù)F所顯含的變量在最簡(jiǎn)單的情況下有四種不同形式：F1(q,Q,t),F2(p,Q,t),F3(q,P,t),F4(p,P,t)101)母函數(shù)為F1(q,Q,t)，該形式已討論過(guò)，有關(guān)結(jié)果為2)母函數(shù)為F2(p,Q,t)應(yīng)用勒讓德變換，在F1(q,Q,t)基礎(chǔ)上，確定F2(p,Q,t)的變換關(guān)系F1(q,Q,t)變量以p代替q；Q保持不變，且有：，于是取F2(p,Q,t)母函數(shù)的各種形式11則有得到

（，又由得到）將式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，可得因此Hamilton函數(shù)的變換關(guān)系為12母函數(shù)的各種形式3)母函數(shù)