6.4.3第二課時正弦定理如圖所示，若想知道河對岸的一點(diǎn)A與岸邊一點(diǎn)B之間的距離，而且已經(jīng)測量出了BC的長度，也想辦法得到了∠ABC與∠ACB的大小.問題你能借助這三個量，求出AB的長度嗎？

知識點(diǎn)正弦定理文字語言在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等符號語言asinA＝bsinB＝csinC（△ABC中角A，B，C的對邊分別為提醒正弦定理的變形形式：若R為△ABC外接圓的半徑，則①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；③sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；如圖，在Rt△ABC中，asinA，bsinB提示：asinA＝bsinB＝1.在△ABC中，下列等式總能成立的是（）A.acosC＝ccosAB.bsinC＝csinAC.absinC＝bcsinB D.asinC＝csinA解析：D由正弦定理易知，選項D正確.2.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則sinB＝（）A.33 B.C.22 D.解析：A由asinA＝bsinB，故1532＝10sinB，3.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，則AC＝（）A.43 B.23C.3 D.3解析：B由正弦定理BCsinA＝ACsinB，得32sin60°＝ACsin45°，所以題型一已知兩角及一邊解三角形【例1】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.解A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.由asinA＝csinC得，c＝8×2＋6422＝所以A＝45°，c＝4（3＋1）.通性通法已知兩角及一邊解三角形的一般步驟在△ABC中，B＝2π3，C＝π6，a＝5，則此三角形的最大邊長為解析：∵B＝2π3，C＝π6，∴A＝π6，∴B所對的邊最大，∵asinA＝bsinB，∴b答案：53題型二已知兩邊及一邊的對角解三角形【例2】在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，解此三角形.解由正弦定理asinA＝bsinB，知sinA＝∵b＜a，∴A＝60°或120°，當(dāng)A＝60°時，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝bsinCsinB＝當(dāng)A＝120°時，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝bsinCsinB＝故當(dāng)A＝60°時，C＝75°，c＝6＋當(dāng)A＝120°時，C＝15°，c＝6－（變條件）若本例中“B＝45°”變?yōu)椤癆＝60°”其他條件不變，解此三角形.解：由正弦定理asinA＝bsinB，知sinB＝∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，∴c＝bsinCsinB＝通性通法已知兩邊及一邊的對角解三角形的步驟1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a＝4，b＝3，sinA＝23，則B＝（A.π6 B.C.π6或5π6 D.解析：A由題意可得sinB＝bsinAa＝3×234＝12，則B＝π6或B＝5π6.因為b＜a，所以2.在△ABC中，若a＝6，b＝63，A＝30°，則B＝（）A.60° B.60°或120°C.60°或150° D.120°解析：Ba＜b?A＜B?B＞30°，由正弦定理可知asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝63×126＝32，∵B∈（30°，180題型三判斷三角形的形狀【例3】（1）若acosB＝bcosA，則△ABC是三角形；

（2）若acosA＝bcosB，則△ABC是三角形.

解析（1）由正弦定理asinA＝bsinB，得ab＝sinAsinB.又acosB＝bcosA，所以ab＝cosAcosB，所以sinAsinB＝cosAcosB，所以sinA·cosB＝sinB·cosA，即sinA·cosB－sinB·cosA＝0，故sin（A－B）＝0.因為A，B是三角形內(nèi)角（2）由正弦定理asinA＝bsinB，得ab＝sinAsinB.又acosA＝bcosB，所以ab＝cosBcosA，所以sinAsinB＝cosBcosA，所以sinA·cosA＝sinB·cosB，所以2sinA·cosA＝2sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.因為A，B為三角形內(nèi)角，所以2A＝2B或2A＋2B＝答案（1）等腰（2）等腰或直角通性通法利用正弦定理判斷三角形形狀的方法（1）化邊為角：將題目中的所給條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識得到三個內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀；（2）化角為邊：將題目中的所給條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)代數(shù)恒等變換得到邊的關(guān)系（如a＝b，a2＋b2＝c2），進(jìn)而確定三角形的形狀.已知在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若cosAa＝cosBb＝sinCc，則A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰直角三角形D.有一個內(nèi)角是30°的直角三角形解析：C已知cosAa＝cosBb＝sinCc，由正弦定理可得cosA＝sinA，cosB＝sinB，故A＝B＝π4，C＝π21.在△ABC中，a＝5，b＝3，則sinAsinB＝A.53 B.C.37 D.解析：A根據(jù)正弦定理，得sinAsinB＝a2.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若A＝60°，a＝3，則△ABC外接圓半徑等于（）A.2 B.3C.32 解析：D設(shè)△ABC外接圓半徑為R，根據(jù)正弦定理可得2R＝asinA＝3sin60°＝332＝2，所以R＝1，即3.在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝4，則AC＝（）A.1 B.2C.22 D.23解析：C由題意可得B＝180°－A－C＝30°，由正弦定理ACsin30°＝ABsin45°，因此，AC＝4×14.在銳角△ABC中，若a＝2，b＝3，A＝π6，則cosB＝.解析：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝b·sinAa＝3×122＝34，又△答案：7三角形解的個數(shù)問題1.已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.怎樣判斷解的個數(shù)呢？具體方法如下：（1）代數(shù)法：三角形解的個數(shù)可由三角形中“大邊對大角”來判定.不妨設(shè)A為銳角，若a≥b，則A≥B，從而B為銳角，有一解.若a＜b，則A＜B，由正弦定理得sinB＝bsinAa，①sinB＞1，即a＜bsinA，無解；②sinB＝1，即a＝bsinA，一解；③sinB＜1，即bsinA＜a＜b（2）幾何法：在△ABC中，已知a，b和A，以點(diǎn)C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，此弧與除去頂點(diǎn)A的射線AB的公共點(diǎn)的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)，見下表：分類A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數(shù)一解兩解一解一解【例】不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù)：（1）a＝5，b＝4，A＝120°；（2）a＝9，b＝10，A＝60°；（3）b＝72，c＝50，C＝135°.解（1）sinB＝basin120°＝45×32＜3（2）sinB＝basin60°＝109×32＝539，而所以當(dāng)B為銳角時，滿足sinB＝539的角B的取值范圍是60°＜B＜90°.滿足A＋B＜180當(dāng)B為鈍角時，滿足sinB＝539的角B的取值范圍是90°＜B＜120°，也滿足A＋B＜180°.（3）sinB＝bsinCc＝7250sinC＞sin所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形無解.方法總結(jié)1.在△ABC中，0＜sinB≤1，故1sinB≥1.∵asinA＝bsinB，∴a＝bsinAsinB，∴a≥bsinA.這是已知a，b，A2.解三角形時，可以先求出sinB的值并與1進(jìn)行比較，再結(jié)合已知條件判斷三角形解的個數(shù).1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A.a＝30，b＝50，A＝36°B.a＝50，b＝30，A＝36°C.a＝30，b＝60，A＝30°D.a＝30，B＝20°，A＝136°解析：AA選項，bsinA＝50sin36°＜a，又a＜b，所以三角形有兩個解；B選項，bsinA＝30sin36°＜a，又a＞b，所以三角形有一個解；C選項，bsinA＝60sin30°＝30＝a，所以三角形有一個解；D選項，可得C＝24°，所以三角形有一個解，故選A.2.在△ABC中，b＝43，c＝2，C＝30°，那么此三角形（）A.有一解 B.有兩解C.無解 D.解的個數(shù)不確定解析：C法一由正弦定理和已知條件，得43sinB＝2sin30°，∴sinB＝3.∵3＞法二∵c＝2，bsinC＝23，∴c＜bsinC，故此三角形無解.法三作∠ACD＝30°，AC＝b＝4