第2課時用空間向量研究夾角問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握應(yīng)用向量法求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的大小,提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.體會向量方法在研究立體幾何問題中的作用,培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).知識梳理·自主探究師生互動·合作探究知識梳理·自主探究知識探究方向向量1.兩條異面直線所成的角一般地,兩條異面直線所成的角,可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的

的夾角來求得.也就是說,若異面直線l1,l2所成的角為θ,其方向向量分別是u,v,則cosθ=

=

=

.|cos<u,v>|思考1:θ的取值范圍是什么?B2.直線與平面所成的角方向向量法向量思考2:直線在平面內(nèi)或與平面平行時,θ的大小是多少?直線和平面垂直時,θ的大小是多少?θ的取值范圍是什么?C解析:直線l與平面α所成的角是60°.故選C.3.平面與平面的夾角如圖,平面α與平面β相交,形成四個二面角,我們把這四個二面角中

的二面角稱為平面α與平面β的夾角.不大于90°夾角補(bǔ)角思考3:平面α與平面β的夾角θ與這兩個平面形成的二面角有什么關(guān)系?答案:相等或互補(bǔ).做一做3:已知兩平面的一個法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面的夾角的大小為

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答案:45°師生互動·合作探究探究點一異面直線所成的角方法總結(jié)利用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求出兩直線的一個方向向量u,v;[針對訓(xùn)練](2021·浙江金華高二期末)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=3,PN=2ND,底面ABCD為直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,BC=2AD=2DC=3.求異面直線PA與CN所成角的余弦值.探究點二直線和平面所成的角[例2]如圖,已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形,PA=AD=2,M,N分別為AB,PC的中點.(1)求證:MN⊥平面PCD;[例2]如圖,已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形,PA=AD=2,M,N分別為AB,PC的中點.(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值.方法總結(jié)(2)設(shè)直線PA的方向向量為a,直線PA在平面α內(nèi)的投影向量為b,則直線PA與平面α所成的角θ滿足cosθ=|cos<a,b>|.(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.探究點三兩平面的夾角方法總結(jié)利用向量方法求兩個平面的夾角的大小時,多采用法向量的方法,即求出兩個平面的法向量,然后通過法向量的夾角得到兩個平面的夾角的大小,這種方法思路簡單,但運(yùn)算量大,所以求解時需特別注意仔細(xì)運(yùn)算.[針對訓(xùn)練](2022·北京高三模擬)如圖,四邊形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,∠DAB=60°,AB=AD=4,AE⊥DE,AE=DE,平面ABE與平面CDE交于EF.(1)求證:CD∥EF;(1)證明:因為AB∥CD,AB?平面ABE,CD?平面ABE,所以CD∥平面ABE,因為平面ABE∩平面CDE=EF,CD?平面CDE,所以CD∥EF.[針對訓(xùn)練](2022·北京高三模擬)如圖,四邊形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,∠DAB=60°,AB=AD=4,AE⊥DE,AE=DE,平面ABE與平面CDE交于EF.(2)若EF=CD,求二面角A-BC-F的余弦值.(2)解:取AD的中點N,連接BN,EN.在等腰△ADE中,EN⊥AD.因為平面ADE⊥平面ABCD,交線為AD,又EN⊥AD,所以EN⊥平面ABCD,又BN?平面ABCD,所以EN⊥BN.由題意易得AN⊥BN.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Nxyz,學(xué)海拾貝用向量法處理立體幾何中的探索性、存在性問題探索性、存在性問題是條件不完備、結(jié)論不確定的問題,利用向量的方法將這類問題由立體幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的方程(不等式)的解的問題,考查了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,也使學(xué)生體驗了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的發(fā)展過程.(1)求證:A1B⊥AC1;方法總結(jié)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問題,使幾何問題代數(shù)化,以數(shù)助形,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.同時本題還運(yùn)用了方程的思想,通過列方程、解方程使問題得以解決.這足以說明“向量的坐標(biāo)運(yùn)算”是“幾何”與“代數(shù)”間的一座新的橋梁.這類問題的基本形式是判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立,解決這類問題的基本策略是假設(shè)題中的數(shù)學(xué)結(jié)論成立,在這個前提下進(jìn)行邏輯推理,若由此導(dǎo)出矛盾,則否定假設(shè),否則,給出肯定證明.[應(yīng)用探究](2022·江蘇南通高二期中)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著,是《算經(jīng)十書》中最重要的一部,它對幾何學(xué)的研究比西方要早一千多年.在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵.如圖,在塹堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1=AB=AC=1,M,N分別是CC1,BC的中點,點P在線段A1B1上.(1)若P為A1B1的中點,求證:PN∥平面AA1C1C;[應(yīng)用探究](2022·江蘇南通高二期中)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著,是《算經(jīng)十書》中最重要的一部,它對幾何學(xué)的研究比西方要早一千多年.在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵.如圖,在塹堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1=AB=AC=1,M,N分別是CC1,BC的中點,點P在線段A1B1上.(2)是否存在點P,使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°?若存在,試確定點P的位置;若不存在,請說明理由.當(dāng)堂檢測DB3.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥CC1,AC⊥BC,AC=BC=2,∠C1CB=60°,CC1=3,點D,E分別在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,則平面BB1E與平面B1ED的夾角的余弦值為

.4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為

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備用例題解析:以D為原點,分別以DA,DC,DP所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)AE=m(0≤m≤2),則D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0),E(1,m,0),C(0,2,0),可取平面ABCD的一個法向量n1=(0,0,1),(1)求異面直線BE與GH所成角的余弦值;(2)求直線DF與平面BCD所成角的正弦值.[例3]如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)求證:O1O⊥底面ABCD;(1)證明:因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以O(shè)O1⊥AC,OO1⊥BD.因為AC∩BD=O,AC