第12講等邊三角形（核心考點(diǎn)講與練）一．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．二．等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說(shuō)明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來(lái)判定；若已知或能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來(lái)證明；若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°，則用判定定理2來(lái)證明．一．七巧板（共1小題）1．（2019秋?奉賢區(qū)期中）七巧板是我們民間流傳最廣的一種古典智力玩具，由正方形分割而成（如圖），圖中6號(hào)部分的面積是正方形面積的（）A． B． C． D．二．等邊三角形的性質(zhì)（共6小題）2．（2020秋?上海期末）若把一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的等邊△ABC向右平移a厘米，則平移后所得三角形的周長(zhǎng)為厘米．3．（2021春?靜安區(qū)校級(jí)期末）小宋把一張等邊三角形的紙片放在如圖所示的兩條平行線m、n上測(cè)得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度數(shù)是．4．（2020秋?靜安區(qū)期末）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)是1的等邊三角形ABC，將它沿直線l作順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，求滾動(dòng)100次，B點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程（結(jié)果保留π）．5．（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知直線l1∥l2，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線l1、l2上，如果邊AB與直線l1的夾角∠1＝26°，那么邊BC與直線l2的夾角∠2＝度．6．（2020秋?上海期末）邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形的面積是．7．（2021春?楊浦區(qū)期末）甲、乙兩人沿邊長(zhǎng)為60米的等邊三角形ABC的邊按A→B→C→A的方向行走，甲每分鐘走65米，乙每分鐘走50米，設(shè)甲在頂點(diǎn)A時(shí)，乙在頂點(diǎn)C，幾分鐘后甲、乙兩人可第一次行走在同一條邊上？（不含甲、乙兩人在三角形相鄰頂點(diǎn)時(shí)的情形）三．等邊三角形的判定（共3小題）8．（2021春?閔行區(qū)期末）在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形狀為．9．（2019?金山區(qū)二模）在△ABC中，AB＝AC，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件使得△ABC成為等邊三角形，這個(gè)條件可以是（只要寫(xiě)出一個(gè)即可）．10．（2019春?虹口區(qū)期末）說(shuō)理填空：如圖，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求證：△BEC為等邊三角形．解：因?yàn)镈F平分∠CDA（已知）所以∠FDC＝∠．因?yàn)椤螩DA＝120°（已知）所以∠FDC＝°．因?yàn)镈F∥BE（已知）所以∠FDC＝∠．（）所以∠BEC＝60°，又因?yàn)镋C＝EB，（已知）所以△BCE為等邊三角形．（）四．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）11．（2020春?寶山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、CA上，△DEF是等邊三角形，且∠1＝∠2＝∠3，△ABC是等邊三角形嗎？試說(shuō)明理由．12．（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知等邊△ABC和等邊△CDE，P、Q分別為AD、BE的中點(diǎn)．（1）試判斷△CPQ的形狀并說(shuō)明理由．（2）如果將等邊△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△CPQ的形狀會(huì)改變嗎？請(qǐng)你將圖2中的圖形補(bǔ)畫(huà)完整并說(shuō)明理由．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一．選擇題（共1小題）1．（2016春?閔行區(qū)期末）如圖，△ABC、△DEF和△GMN都是等邊三角形，且點(diǎn)E、M在線段AC上，點(diǎn)G在線段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．90° B．120° C．150° D．180°二．填空題（共6小題）2．（2019秋?閔行區(qū)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的等邊△ABC沿邊BC向右平移1.5cm得到△DEF，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為．3．（2018秋?浦東新區(qū)期中）等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則它的周長(zhǎng)為．4．（2021春?普陀區(qū)校級(jí)月考）等邊三角形的面積為8，則它邊長(zhǎng)是．5．（2020秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，將邊長(zhǎng)為6cm的等邊△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF．平移后，如果四邊形ABFD的周長(zhǎng)是22cm，那么平移的距離應(yīng)該是cm．6．（2018秋?金山區(qū)期末）將邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形ABC向右平移一定的距離后得到三角形DEF，已知EC＝2cm，那么平移的距離為cm．7．（2019?金山區(qū)二模）在△ABC中，AB＝AC，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件使得△ABC成為等邊三角形，這個(gè)條件可以是（只要寫(xiě)出一個(gè)即可）．三．解答題（共2小題）8．（2019春?崇明區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，邊AB＝6厘米，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為1厘米/秒，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝3時(shí)，判斷AP與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)△PBC的面積為△ABC面積的一半時(shí)，求t的值；（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為1.5厘米/秒，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分．9．（2019春?虹口區(qū)期末）說(shuō)理填空：如圖，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求證：△BEC為等邊三角形．解：因?yàn)镈F平分∠CDA（已知）所以∠FDC＝∠．因?yàn)椤螩DA＝120°（已知）所以∠FDC＝°．因?yàn)镈F∥BE（已知）所以∠FDC＝∠．（）所以∠BEC＝60°，又因?yàn)镋C＝EB，（已知）所以△BCE為等邊三角形．（）題組B能力提升練一．填空題（共3小題）1．（2020秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如果一個(gè)三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱這個(gè)三角形是“優(yōu)三角形”，這兩條邊的比稱為“優(yōu)比”（若這兩邊不等，則規(guī)定優(yōu)比是較大邊與較小邊的比）．比如等邊三角形就是一個(gè)優(yōu)比為1的優(yōu)三角形．若△ABC是優(yōu)三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．則這個(gè)三角形的面積是．2．（2017秋?浦東新區(qū)期末）如果等邊三角形的邊長(zhǎng)為m厘米，那么這個(gè)三角形的面積等于平方厘米（用含m的代數(shù)式表示）．3．（2018春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是線段BO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝度．二．解答題（共6小題）4．（2019秋?瀘縣期末）等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問(wèn)△APQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論．5．（2007春?靜安區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，連接BD，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝CD，連接DE．（1）∠E等于多少度？（2）說(shuō)明DB與DE相等的理由．6．（2008春?閔行區(qū)期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上．（1）如果AD⊥BC，BE⊥AC，試證明∠APE＝60°的理由；（2）如果BD＝EC，那么“∠APE＝60°”是否還能成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2006秋?楊浦區(qū)期末）已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分線AD、BE交于點(diǎn)P．（1）當(dāng)△ABC為等邊三角形（如圖1）時(shí)，求證：EP＝DP；（2）當(dāng)△ABC不是等邊三角形，但∠ACB＝60°（如圖2）時(shí)，（2）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2015秋?諸城市期末）如圖（1），等邊△ABC中，D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE．（1）△DBC和△EAC會(huì)全等嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由；（2）試說(shuō)明AE∥BC的理由；（3）如圖（2），將（1）動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到邊BA的延長(zhǎng)線上，所作仍為等邊三角形，請(qǐng)問(wèn)是否仍有AE∥BC？證明你的猜想．9．